2023年中考數(shù)學二輪復習-線段問題（旋轉綜合題）

2023年中考數(shù)學二輪專題復習一線段問題（旋轉綜合題）

一、解答題

1.（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90。，點F為BC上一點，以BF為邊作正

方形8FEQ,點E在AB上，若AC=BC=2,BF=五,則一=；

CF

AT

（2）類比探究：如圖2,在（1）的條件下，將正方形8FEO繞點B旋轉，連接AE,BE,CF,求百的值；

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，當A,E,F三點共線時，直接寫出線段CF的長.

備用圖

如圖1,在RLABC中，AC=6BC=\.將.ABC繞點B順時針方向旋轉90。，點A的對應點為點E,連

接AE,則AE=

圖1

（2）【問題解決】

如圖2,在RtABC中，AC=5,8C=3,NACB=90。，延長CB到M,使CM=AC,將斜邊A8繞點8

順時針旋轉90。到BE,連接CE,ME.求ME的長.

A

CBM

圖2

(3)【拓展延伸】

如圖3,在四邊形48。尸中，BCA.AF,垂足為C,ZABC=NBDF,AC=CF=\,々=k,DF=4,請

用含k的式子表示A。的長.

ACF

圖3

3.綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，老師向大家展示了一個圖形變換的問題.如圖1.將正方形紙片ABC。折疊，使

邊AB,AO都落在對角線AC上，展開得折痕4E,AF,連接EF.試判斷尸的形狀.

獨立思考：

(1)請解答問題情境提出的問題，并寫出證明過程.

實踐探究：

(2)如圖2.將圖1中的—E4尸繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC,CD于點P,Q,連接PQ.請猜想線

段8P,PQ,。。之間的數(shù)量關系，并加以證明.

問題解決：

(3)如圖3.連接正方形對角線B。，若圖2中的NPAQ的邊AP,AQ分別交對角線8。于點M,N,將圖3

中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4所示.若BM=7,DN=24,求MN的長.

4.如圖1,是邊長為6cm的等邊三角形，邊在射線0M上，且。4=9cm.點。從。點出發(fā)，沿

0M方向運動.當點。不與點A重合時，將線段8繞點C逆時針方向旋轉60。得到CE.連接BE,DE.

圖1

(1)如圖1,當點。在線段OA上運動時，線段B。、BE、8c之間的數(shù)量關系是,直線AO和直線BE

所夾銳角的度數(shù)是

(2)如圖2,當點。運動到線段A8(不與A點重合)上時，(1)中的結論是否仍然成立，若成立，請說明理

由；若不成立，請寫出正確的結論并說明理由:

(3)如圖3,將ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6,其它條件不變，以CQ為斜邊在其右側作等腰

直角三角形CDE,連接BE,請問BE是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由.

5.如圖1,已知ABC是等邊三角形，點E在線段A8上，點。在直線8c上，且ED=EC,將△BCE繞點

C順時針旋轉60。至△ACF,連接EF.

(1)證明：AB=DB+AF.

(2)如圖2,如果點E在線段48的延長線上，其它條件不變，線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關系？

請說明理由.

6.數(shù)學實踐活動，是一種非常有效的學習方式.通過活動可以激發(fā)我們的學習興趣，提高動手動腦能力,

拓展思推空間，豐富數(shù)學體驗.讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABC。折疊，使邊48、AO都落在對角線AC上，展開得折痕AA7、AN,連接MN,

如圖1.

Si圖2圖3圖4

轉一轉：將圖1中的NM4N繞點A旋轉,使它的兩邊分別交邊BC、CO于點E、F,連接EF,如圖2.

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4.

⑴/MAN。，寫出圖中兩個等腰三角形：(不需要添加字母)；

(2)線段BE、EF、￡>F之間的數(shù)量關系為;

(3)連接正方形對角線8。，若圖2中的NE4F的邊AE、川分別交對角線8。于點G、點”.如圖3,求C三F

oG

的值；

(4)求證：GH2=BG2+DH2.

7.如圖1,在RtZVIBC中，？890?,AB=4,BC=2,點、D、E分別是邊BC、AC的中點，連接。E.將

CC應繞點C逆時針方向旋轉，記旋轉角為a.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

ArAr

①當a=0。時，—=______；②當a=180。時，—=______.

BDBD

(2)拓展探究

Ap

試判斷：當0?！碼<360。時，黑的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

BD

(3)問題解決

a電繞點C逆時針旋轉至A、B、E三點在同一條直線上時，請直接寫出線段8。的長.

8.如圖1,在RtZVlBC中，?B90?,AB=BC,A。是BC邊上的中線，點。是A。上一點，DEA.EO,

E是垂足，￡>￡”可繞著點。旋轉，點F是點E關于點。的對稱點，連接A。和CE

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖2,當急=1時，則下列結論正確的是.(填序號)

①=C9；②點尸是0C的中點：③40是的角平分線；④石CF.

(2)數(shù)學思考：將圖2中*DEO繞點。旋轉，如圖3,則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關系？請給出證明過程；

An

(3)拓展應用：在圖1中，若器=%，將繞著點。旋轉.

①則AQ=CF；

②若Afi=4,x=l,在")EO旋轉過程中，如圖4,當點。落在A8上時，連結BE,EC,求四邊形ABEC

的面積.

9.如圖1,在^ABC中，AB=BC,點D、E分別在邊BC,AC上，連接QE,且￡>E=￡>C.

(2)拓展探究：若/ACB=NECZ)=30。，將△EZJC饒點C按逆時針旋轉a度(0Ya<180。)，圖2是旋

轉過程中的某一位置，在此過程中A黑F的大小有無變化？如果不變，請求出A黑F的值，如果變化，請說明理

BDBD

由；

(3)問題解決：若/ABC=NEQC=p(0°<p<90°),將△EDC旋轉到如圖3所示的位置時，則二的值

為—.(用含B的式子表示)

10.在正方形A8CO中，點E在射線BC上(不與點8、C重合)，連接。3,DE,將￡>E繞點E逆時針旋

轉90。得到EF,連接8F.

圖1

圖2

(1)如圖1,點E在BC邊上.

①依題意補全圖1;

②若AB=6,EC=2,求防的長；

(2)如圖2,點E在8c邊的延長線上，用等式表示線段BO,BE,B尸之間的數(shù)量關系，并證明.

11.問題探究

(1)如圖1,旗。中，ZACB=90°,AC=3,將ABC繞點8逆時針旋轉得到△ABC,點C的對應點C'

落在AB邊上，A'B=5,連接A4，，則/VV的長為；

(2)如圖2,在,ABC中，ZBAC=60°,AG為BC邊上的高，若AG=6,試判斷.A8C的面積是否存在最

小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；

圖1圖2圖3

問題解決

(3)如圖3,AfiC是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中？B90?,ZA=45。，A3邊上的點

E為休息區(qū)，AE=12點米，BE=12米，兩條觀光小路附和EF(小路寬度不計，下在BC邊上，H在AC

邊上)擬將這個展示區(qū)分成三個區(qū)域，用來展示不同的花卉，根據(jù)實際需要，NHEF=105。,并且要求四

邊形EFC”的面積盡可能大，那么是否存在滿足條件的四邊形瓦C”？若存在，請求出四邊形E尸C”的面

積的最大值；若不存在，請說明理由.(結果保留根號)

12.在一45c中，43=AC,ABAC=a，點D是直線AC右側一點，且ZADC=-ZBAC,連接BD.將.ACD

繞點A順時針旋轉a得到二ABE,連接DE.

EE

圖1圖2

(1)觀察猜想，如圖1,當夕=60。時，AD.CD、BO的數(shù)量關系是；

(2)類比探究，如圖2,當&=90。時，試判斷(1)中的結論是否仍然成立.若成立，請說明理由；若不成立，

請寫出線段AO,BD,CD之間的數(shù)量關系，并加以證明.

(3)拓展應用，如圖3,在矩形ABC。中，BA=46,AD=4,EP是△43。的中位線，將繞點A在

平面內自由旋轉，當/WDE為直角三角形時，直接寫B(tài)E的長.

13.綜合與實踐

問題情境：

將兩個完全相同的等腰R3A8C和等腰RsCDE按圖1方式放置，NACB=NDCE=9。。,將RmCDE繞點、

C順時針旋轉，連接AE,BD,4E與8。相交于點G.

猜想證明：

(1)在圖1中，請判斷AE與8。的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由；

(2)當旋轉到CE//AB時，如圖2,證明：AE平分NB4C：

BE

G

圖2

解決問題:

(3)若旋轉到如圖3所示的位置時，連接BE、此時△BCE恰好是等邊三角形，AE與BC相交于點尸，請

你直接寫出B少F的值.

14.在正方形ABCQ中，過點B作直線I,點E在直線/上，連接C￡,DE,其中CE=8C,過點C作

于點F,交直線/于點從

(1)當直線/在如圖①的位置時

①請直接寫出NECH與之間的數(shù)量關系

②請直接寫出線段BH,EH,C”之間的數(shù)量關系

(2)當直線/在如圖②的位置時，請寫出線段B”，EH,C”之間的數(shù)量關系并證明;

(3)己知AB=2,在直線/旋轉過程中當NEBC=15。時，請直接寫出EH的長.

圖①圖②備用圖

15.如圖，四邊形A8C。是正方形，點E在的延長線上，連接CE,EC繞點E逆時針旋轉90。得到EF,

連接CP,AF,CF與對角線交于點G.

(2)試探究線段.，BG,0c之間有何數(shù)量關系？請證明；

(3)若點E在直線A8上運動，CF與對角線8。所在直線交于點G,且AB=3,當NAFC=30。時，請直接寫

出3G的長度.

16.新定義：如圖1(圖2,圖3),在二A8C中，把AB邊繞點A順時針旋轉，把AC邊繞點A逆時針旋轉，

得到△/0C',若N84C+N8AC'=180。，我們稱△AB'C'是,4?C的“旋補三角形"，△AB'C'的中線4。叫

做.ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”

(1)【特例感知】

①若ABC是等邊三角形(如圖2),BC=4,貝ijAD=；

②若N8AC=90°(如圖3),BC=6,AD=；

(2)【猜想論證】

在圖1中，當ABC是任意三角形時，猜想40與BC的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(提示：過點B'作

B'EAC'且B'E=AC',連接C'E,則四邊形AB'EC是平行四邊形.)

(3)【拓展應用】

如圖4,點A,B,C,。都在半徑為5的圓尸上，且AB與CQ不平行，AD=6,△”￡＞是△8PC的，，旋

補三角形”，點尸是“旋補中心”，求BC的長.

參考答案:

1.(1)忘；(2)V2;(3