2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題20 將軍飲馬與勾股定理（解析版）

專題20將軍飲馬與勾股定理1．如圖，圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，高，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，且，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開可得AC=12cm，由PC=5BP求得PC，再利用勾股定理求得AP即可；【詳解】解：沿點(diǎn)A所在圓柱的高將圓柱展開可得：∵BC=6cm，PC=5BP，∴6BP=6cm∴PC=5cm，∵圓柱的底面周長為，AC是底面圓的直徑，∴AC=底面周長=12cm，∴A點(diǎn)到P點(diǎn)的最短距離為線段AP的長，Rt△ACP中，AP=cm故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱側(cè)面展開，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，掌握?qǐng)A柱的側(cè)面展開特征是解題關(guān)鍵．2．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【答案】B【解析】【分析】立體圖形展開后，利用勾股定理求解．【詳解】解：將長方體沿著邊側(cè)面展開，并連接，如下圖所示：由題意及圖可知：，，兩點(diǎn)之間，線段最短，故的長即是細(xì)線最短的長度，中，由勾股定理可知：，故所用細(xì)線最短需要．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了勾股定理求最短路徑、兩點(diǎn)之間線段最短以及立體圖形的側(cè)面展開圖，因此，正確得到立體圖形的側(cè)面展開圖，熟練運(yùn)用勾股定理求邊長，是解決此類問題的關(guān)鍵．3．如圖，牧童在處放牛，牧童家在處，，處距河岸的距離、的長分別為5km和10km，且，兩點(diǎn)的距離為8km，天黑前牧童從處將牛牽到河邊飲水再回家，那么牧童最少要走的距離為（

）．A．15km B．16km C．17km D．18km【答案】C【解析】【分析】作出A點(diǎn)關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A'，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BA'的長即為牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【詳解】解：作A點(diǎn)關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'交河岸與P，連接A'B'，連接PA，過A'作A'B'⊥BD于B'，則PB＋PA＝PB＋PA'＝BA'最短，故牧童應(yīng)將馬趕到河邊的P地點(diǎn)．∴B'D＝A'C＝CA＝5km，∴BB'＝BD＋BD'＝10＋5＝15km，∵A'B'＝CD＝8km，∴BA'＝．即牧童至少要走的距離為17km，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、軸對(duì)稱??最短路徑問題在生活中的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果點(diǎn)M，N分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.8【答案】D【解析】【分析】先作CE⊥AB交BD于點(diǎn)M，再作MN垂直BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可找到動(dòng)點(diǎn)M和N，進(jìn)而求得CM+MN的最小值．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，∵BD平分∠ABC，∴ME=MN，∴CM+MN=CM+ME=CE．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，∴，∴10CE=6×8，∴CE=4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故應(yīng)選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、角分線的性質(zhì)，找到使CM+MN最小時(shí)的動(dòng)點(diǎn)M和N是解決本題的關(guān)鍵．5．正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．9【答案】C【解析】【分析】要使DN＋MN最小,首先應(yīng)分析點(diǎn)N的位置，根據(jù)正方形的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線互相垂直平分，知點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接MB交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DN＋MN最小值及時(shí)BM的長．【詳解】根據(jù)題意，連接BN，BM，三點(diǎn)共線時(shí)，DN＋MN取得最小值，則BM就是DN＋MN的最小值，在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，根據(jù)勾股定理得：，即DN＋MN的最小值是10，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合勾股定理判斷最小路徑是解題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明二、填空題6．如圖，A，B是一棱長為3cm的正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在棱上，且BC＝1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，在頂點(diǎn)A處的螞蟻沿著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到C點(diǎn)，至少爬行______________秒？【答案】2.5【解析】【分析】把此正方體的點(diǎn)A所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和C點(diǎn)間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離，根據(jù)螞蟻爬行的距離，即可求出爬行時(shí)間．【詳解】解：將正方體的前側(cè)面和右側(cè)面展開，如圖所示：根據(jù)題意可得：，∴螞蟻爬行的最短距離為：，∵螞蟻每秒爬行2cm，∴螞蟻爬行的最短時(shí)間為：（秒）．故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的拓展應(yīng)用，“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．7．如圖，一個(gè)三棱柱盒子底面三邊長分別為3cm，4cm，5cm，盒子高為9cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒子的表面爬行一周到盒頂?shù)狞c(diǎn)B，螞蟻要爬行的最短路程是_______cm．【答案】15【解析】【分析】將三棱柱側(cè)面展開得出矩形，求出矩形對(duì)角線的長度即可．【詳解】解：如圖，右側(cè)為三棱柱的側(cè)面展開圖，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，∴AB＝＝15cm，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開圖，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，畫出三棱柱的側(cè)面展開圖，運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．8．已知△ABC的面積等于3，AB=3，則AC+BC的最小值等于___________．【答案】5【解析】【分析】由△ABC的面積等于3，AB=3，可知AB邊上的高為2，過點(diǎn)C作CD∥AB，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，交CD于點(diǎn)D，連接，此時(shí)與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD∥AB，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交CD于點(diǎn)D，連接，此時(shí)與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC，此時(shí)AC+BC的值最小，如圖，由題可知，，，∴，∴AC+BC的最小值，在中，，∴AC+BC的最小值=5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問題以及勾股定理．9．要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，小聰根據(jù)實(shí)際情況，以街道旁為x軸，測(cè)得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，5)，則從A、B兩點(diǎn)到奶站距離之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B與x軸交于點(diǎn)P，連接AP，則A'B即為所求．【詳解】解：作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B與x軸交于點(diǎn)P，連接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此時(shí)P點(diǎn)到A、B的距離最小，∵A（0，3），∴A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∴A'B＝=10，∴P點(diǎn)到A、B的距離最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，會(huì)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)間距離是解題的關(guān)鍵．10．如圖，長方形BCFG是一塊草地，折線ABCDE是一條人行道，BC＝12米，CD＝5米．為了避免行人穿過草地（走虛線BD，踐踏綠草，管理部門分別在B、D處各掛了一塊牌子，牌子上寫著“少走_(dá)___米，踏之何忍”．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，用即可求解【詳解】解：在中，則（米）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，求得的長是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在長方形中，，．點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，且，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)．則的是小值是___________________．【答案】41【解析】【分析】作點(diǎn)E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E'，點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F'，得到BG+HG+HF的最小值即為E'F'的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】作點(diǎn)E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E'，點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F'，則EG=E'G，HF=HF'，∴EG+HG+HF=E'G+HG+HF'，連接E'F'，交AB、CD于H、G點(diǎn)，BG+HG+HF的最小值即為E'F'的長，過點(diǎn)E'作E'H⊥BC，交BC的延長線于H，則F'H=14+2×13=40，E'H=9，在Bt△FH中，由勾股定理得E'F'=41，∴BG+G+HF的最小值為：41，故答案為：41．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，軸對(duì)稱一最短路線問題，通過作對(duì)稱點(diǎn)，將BG+HG+HF的最小值轉(zhuǎn)化為E'F'的長是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為____【答案】5【解析】【詳解】解：過點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時(shí)DP+CP=DP+PC′=DC′的值最?。連D=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，連接BC′，由對(duì)稱性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°∴BC=BC′=4，根據(jù)勾股定理可得：DC′==5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣線路最短的問題，確定動(dòng)點(diǎn)P何位置時(shí)，使PC+PD的值最小是解題的關(guān)鍵．13．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高D上任一點(diǎn)，F(xiàn)是腰AB上任一點(diǎn)，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么線段BE＋EF的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】由等腰三角形的對(duì)稱性，可得BE=CE，作CG⊥AB于G點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，及CG的長為最小值．【詳解】解：過C點(diǎn)作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE；∵AB=AC，且AC=5，∴AB=5，在△ABD中，AD=4，BD=3，AB=5，∵，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵△ABC為等腰三角形，∴AD平分BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，BD=CD=3，∵BE+EF=CE+EF，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線，且與G點(diǎn)重合時(shí)，CE+EF的值最小，最小值就是線段CG的長．在△ABC中，，∴CG=，∴BE＋EF的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，學(xué)會(huì)應(yīng)用對(duì)稱解決最小值是問題的關(guān)鍵，是中考?？碱}．14．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是___．【答案】5【解析】【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，即為MP+PQ+QN的最小值，根據(jù)軸對(duì)稱的定義可推出為等邊三角形，為等邊三角形，得再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，則，當(dāng)共線時(shí)取得最小值，即為MP+PQ+QN的最小值，根據(jù)軸對(duì)稱的定義得∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴在中，∴MP+PQ+QN的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線，找出MP+PQ+QN的最小值即的長是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，圓柱形容器的高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離．【答案】130cm【解析】【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B的長度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)，連接B交EC于F，則B即為最短距離．∵高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，∴D＝50cm，BD＝120cm，∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．16．如圖是一個(gè)棱長為6cm的正方體的有蓋紙盒，一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，其中BC＝2cm，那么螞蟻爬行的最短行程是多少？【答案】10cm【解析】【分析】將正方體側(cè)面展開圖展開，由勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示．∵BC＝2cm，棱長為6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝＝10（cm），答：螞蟻爬行的最短行程是10cm．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開一最短路徑問題，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小