九年級數(shù)學知識點【北師大版】：一元二次方程的應用大題專練（培優(yōu)強化40題）（解析版）

2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【北師大版】專題2.5一元二次方程的應用大題專練（培優(yōu)強化40題）一、解答題1．（2022·浙江·舟山市定海區(qū)第二中學八年級期中）為防控新冠疫情，減少交叉感染，某超市在線上銷售優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品，該超市于今年一月底收購一批農(nóng)產(chǎn)品，二月份銷售256盒，三、四月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎上，四月份的銷售量達到400盒．若農(nóng)產(chǎn)品每盒進價25元，原售價為每盒40元，(1)求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率；(2)該超市五月份降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該農(nóng)產(chǎn)品每盒降價1元，銷售量可增加5盒，當農(nóng)產(chǎn)品每盒降價多少元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在五月份可獲利4250元？【答案】(1)三、四月份兩個月的平均增長率為25%(2)當農(nóng)產(chǎn)品每盒降價5元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在五月份可獲利4250元【分析】（1）直接利用2月銷量×(1+x)2（2）首先設出未知數(shù)，再利用每袋的利潤×銷量=總利潤列出方程，再解即可．（1）解：設三、四月份兩個月的平均增長率為x，由題得：256(1+x)解得x1∴三、四月份兩個月的平均增長率為25%；（2）設每盒降價m元時，五月份獲利4250元，由題得：（40-25-m）（400+5m）=4250，解得m1∴當農(nóng)產(chǎn)品每盒降價5元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在五月份可獲利4250元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．2．（2022·新疆·烏魯木齊市第七十四中學九年級期末）為應對新冠疫情，較短時間內(nèi)要實現(xiàn)全國醫(yī)用防護服產(chǎn)量成倍增長，有效保障抗擊疫情一線需要，某醫(yī)用防護服生產(chǎn)企業(yè)1月份生產(chǎn)9萬套防護服，該企業(yè)不斷加大生產(chǎn)力度，3月份生產(chǎn)達到12.96萬套防護服．(1)求該企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率．(2)若平均增長率保持不變，4月份該企業(yè)防護服的產(chǎn)量能否達到16萬套？請說明理由．【答案】(1)該企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率為20(2)不能達到，理由見解析【分析】（1）設企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意列出關于x的一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)條件算出4月份該企業(yè)防護服的產(chǎn)量，即可判斷．（1）解：設企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率為x，由題意可得：91+x解得：x1=20%答：該企業(yè)1月份至3月份防護服產(chǎn)量的月平均增長率為20%（2）解：12.96×1+20∵15.552<16，∴4月份該企業(yè)防護服的產(chǎn)量不能達到16萬套．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，根據(jù)條件列出一元二次方程是解題的關鍵．3．（2021·云南·富源縣第七中學九年級期中）2020年疫情期間，某地教育局出臺《中小學線上教學工作實施方案》，推出名師公益大課堂，為學生提供線上直播教學．據(jù)統(tǒng)計，第一批次公益課受益的學生為4萬人，第三批次公益課受益的學生為4.84萬人，每個批次受益學生人數(shù)的平均增長率相同．(1)求每個批次的平均增長率；(2)按照這個增長率，預計第四批次公益課受益的學生將達到多少萬人？【答案】(1)10%(2)5.324萬【分析】（1）設每批次的增長率為x，根據(jù)一批次公益課受益的學生為4萬人，第三批次公益課受益的學生為4.84萬人，列出方程，解出方程，即可；（2）根據(jù)題（1）求出的增長率，根據(jù)4.84×(1+x)，即可求出第四批的人數(shù)．（1）解：設每批次的增長率為x∴第二批次的人數(shù)為：4×(1+x)∴第三批次的人數(shù)為：4×(1+x)×(1+x)=4.84∴4×解得：x1=0.1，∴x=0.1∴增長率為10%（2）∵增長率為10∴第四批的人數(shù)：4.84×(1+10%故第四批次公益課受益的學生將達到5.324萬人．【點睛】本題考查了一元二次方程的知識，解題的關鍵是理解題意，列出方程，解一元二次方程．4．（2021·甘肅·靜寧縣阿陽實驗學校九年級階段練習）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展和“帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素，某市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高，據(jù)統(tǒng)計2017年利潤為2億元，2019年利潤為3.38億元．(1)求該企業(yè)從2017年到2019年利潤的年平均增長率；(2)若2020年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2020年的利潤能否超過4億元？【答案】(1)該企業(yè)從2017年到2019年利潤的年平均增長率為30%；(2)該企業(yè)2020年的利潤能超過4億元【分析】（1）設該企業(yè)從2017年到2019年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)“2017年利潤為2億元，2019年利潤為3.38億元”列方程求解即可；（2）根據(jù)該企業(yè)從2017年到2019年利潤的年平均增長率求出該企業(yè)2020年的利潤即可作答．（1）解：設該企業(yè)從2017年到2019年利潤的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：21+x解得：x1=0.3=30%答：該企業(yè)從2017年到2019年利潤的年平均增長率為30%；（2）若2020年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，那么該企業(yè)2020年的利潤為：3.38×（1＋30%）＝4.394＞4，故該企業(yè)2020年的利潤能超過4億元．【點睛】此題考查一元二次方程的應用，根據(jù)題意尋找相等關系列方程是關鍵，難度不大．5．（2022·浙江金華·八年級期末）金華市區(qū)某超市以原價為40元/瓶的價格對外銷售某種洗手液，為了減少庫存，決定降價銷售，經(jīng)過兩次降價后，售價為32.4元/瓶．(1)求平均每次降價的百分率．(2)金華市區(qū)某學校為確保疫情復學后工作安全、衛(wèi)生、健康、有序，學校決定購買一批洗手液(超過200瓶)．該超市對購買量大的客戶有優(yōu)惠措施，在32.4元/瓶的基礎上推出方案一：每瓶打九折；;方案二：不超過200瓶的部分不打折，超過200瓶的部分打八折．學校應該選擇哪一種方案更省錢？請說明理由．【答案】(1)平均每次降價的百分率為10(2)當購買洗手液大于200瓶而小于400瓶時，學校選擇方案一更省錢；當購買400瓶洗手液時，學校選擇方案一、方案二的費用相同；當購買洗手液超過400瓶時，學校選擇方案二更省錢．【分析】（1）根據(jù)“售價=原價×（1?平均每次降價的百分率）2”建立方程，解方程即可得；（2）設學校購進這種洗手液m(m>200)瓶，先分別求出兩種方案所需的費用，再比較大小，解方程或不等式即可得．（1）解：設平均每次降價的百分率為x，由題意得：401?x解得x1=0.1=10%答：平均每次降價的百分率為10%（2）解：設學校購進這種洗手液m(m>200)瓶，則選擇方案一所需費用為32.4×0.9m=29.16m（元），選擇方案二所需費用為32.4×200+32.4×0.8m?200①當29.16m>1296+25.92m時，解得m>400，∴當m>400時，學校選擇方案二更省錢；②當29.16m=1296+25.92m時，解得m=400，∴當m=400時，學校選擇方案一、方案二的費用相同；③當29.16m<1296+25.92m時，解得m<400，∴當200<m<400時，學校選擇方案一更省錢；綜上，當購買洗手液大于200瓶而小于400瓶時，學校選擇方案一更省錢；當購買400瓶洗手液時，學校選擇方案一、方案二的費用相同；當購買洗手液超過400瓶時，學校選擇方案二更省錢．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用、一元一次不等式和一元一次方程的應用，正確建立方程和不等式是解題關鍵．6．（2022·全國·九年級單元測試）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的20%(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；(2)去年，該商店7月份的營業(yè)額為375萬元，8，9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8，9月份營業(yè)額的月增長率．【答案】(1)540萬元(2)20【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額=前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結論；（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．（1）解：根據(jù)題意，則450+450×20%∴該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為540萬元；（2）解：設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：375×(1+x)解得：x=0.2或x=?2.2（舍去）；∴該商店去年8，9月份營業(yè)額的月增長率為20%【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．（2022·浙江紹興·八年級期末）請根據(jù)圖片內(nèi)容，回答下列問題：(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設每輪傳染人數(shù)相同）？【答案】(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了10個人(2)第三輪將新增1210名感染者【分析】（1）設平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染了x人，第一輪傳染后一共有（1+x）名感染者；第二輪傳染時這（1+x）人每人又傳染了x人，則第二輪傳染了x（1+x）人，列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結果進行計算即可．（1）解：設平均一個人傳染了x個人．則可列方程：1+x+1+x解得x1=10，答：每輪傳染中，平均一個人傳染了10個人．（2）121×10=1210（名）．答：按照這樣的速度傳染，第三輪將新增1210名感染者．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確地理解題意，找出題目中的等量關系列出方程求解是解題的關鍵．8．（2022·云南紅河·九年級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？【答案】每輪傳染中平均每個人傳染了13個人【分析】根據(jù)題意設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】根據(jù)題意設每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)題意可得：1+x2解得x1答：每輪傳染中平均每個人傳染了13個人．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．9．（2022·全國·九年級專題練習）有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎．(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了12個人(2)第三輪將又有2028人被傳染【分析】（1）設每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，可求出x，（2）由（1）所得可求出第三輪過后，又被感染的人數(shù)．（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則（x＋1)2＝169．解得x1＝12答：每輪傳染中平均一個人傳染了12個人；（2）解：由題意得：169×12＝2028(人)．答：第三輪將又有2028人被傳染．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關鍵．10．（2022·遼寧大連·九年級期末）某種病毒傳播非?？?，如果一個人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有64個人被感染．(1)求每輪感染中平均一個人會感染幾個人；(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過500人．【答案】(1)每輪感染中平均一個人會感染7個人．(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過500人．【分析】（1）設每輪感染中平均一個人會感染x個人，根據(jù)一個人被感染經(jīng)過兩輪感染后就會有64個人被感染，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)3輪感染后被感染的人數(shù)=2輪感染后被感染的人數(shù)×（1+7），即可求出3輪感染后被感染的人數(shù)，再將其與500進行比較后即可得出結論．(1)解：設每輪感染中平均一個人會感染x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一個人會感染7個人．(2)64×（1+7）=512（人），512＞500．答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過500人．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．11．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔溝中心學校九年級期中）新冠肺炎是一種傳染性很強的疾病．如果某鎮(zhèn)有一人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠病毒的攜帶者．(1)每個人每輪傳染多少人？(2)若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有多少人成為新冠病毒的攜帶者？【答案】(1)每個人每輪傳染12人．(2)共有2197人成為新冠病毒的攜帶者．【分析】（1）設每個人每輪傳染x人，由題意可列方程進行求解；（2）由（1）可直接進行求解．(1)解：設每個人每輪傳染x人，由題意得：1+x+xx+1解得：x1答：每個人每輪傳染12人．(2)解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）；答：若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有2197人成為新冠病毒的攜帶者．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的傳播問題是解題的關鍵．12．（2022·全國·九年級課時練習）2019年12月以來，“新冠”病毒憂影響著人們的出門及交往．(1)在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，經(jīng)過兩輪傳染后共有288人感染了“新冠”（這兩輪感染均未被發(fā)現(xiàn)未被隔離），則每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)某小區(qū)物管為預防業(yè)主感染傳播購買A型和B型兩種口罩，購買A型口罩花費了2500元，購買B型口罩花費了2000元，且購買A型口罩數(shù)量是購買B型口罩數(shù)量的2倍，已知購買一個B型口罩比購買一個A型口罩多花3元．則該物業(yè)購買A，B兩種口罩單價分別為多少元？(3)由于實際需要，該物業(yè)決定再次購買這兩種口罩，已知此次購進A型和B型兩種數(shù)量一共為1000個，恰逢市場對這兩種口罩的售價進行調(diào)整，A型口罩售價比第一次購買時提高了20%，B型口罩按第一次購買時售價的1.5倍出售，如果此次購買A型和B型這兩種口罩的總費用不超過7800元，那么此次最多可購買多少個B型口罩？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了11人；(2)該物業(yè)購買A型口罩的單價為5元，則B型口罩的單價為8元；(3)此次最多可購買300個B型口罩．【分析】（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，根據(jù)有2人感染了“新冠”，經(jīng)過兩輪傳染后共有288人感染了“新冠”，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設該物業(yè)購買A型口罩的單價為y元，則B型口罩的單價為（y＋3）元，列出方程，解方程即可求解；（3）設此次可購買a個B型口罩，則購買（1000－a）個A型口罩，根據(jù)此次購買A型和B型這兩型口罩的總費用不超過7800元，可列出不等式解決問題．（1）解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，依題意得：2＋2x＋x（2＋2x）＝288，解得：x1=11，答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人．（2）解：設該物業(yè)購買A型口罩的單價為y元，則B型口罩的單價為（y＋3）元，由題意得，2500y解得，y＝5，經(jīng)檢驗y＝5是原方程的解．則y＋3＝8，答：該物業(yè)購買A型口罩的單價為5元，則B型口罩的單價為8元．（3）解：設此次可購買a個B型口罩，則購買（1000－a）個A型口罩，由題意得，5（1＋20%）×（1000－a）＋8×1.5a≤7800，解得，a≤300，答：此次最多可購買300個B型口罩．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用、一元一次不等式、分式方程的應用，找出題目中蘊含的等量關系與不等關系是解決問題的關鍵．13．（2022·全國·九年級課時練習）解讀詩詞(通過列方程算出周瑜去世時的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡．【答案】周瑜去世時的年齡為36歲【分析】設周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x?3根據(jù)題意建立方程10(x?3)+x=x【詳解】解：設周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x?3，依題意得：10(x?3)+x=x解得x1=5，當x=5時，25<30，（不合題意，舍去），當x=6時，36>30（符合題意），答：周瑜去世時的年齡為36歲．【點睛】本題是一道數(shù)字問題的應用題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用，在解答中根據(jù)題意設未知數(shù)，列出正確的方程是解題的關鍵．14．（2021·江蘇蘇州·九年級期中）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，第③個圖案中有6個黑色三角形……按此規(guī)律排列下去，解答下列問題：（1）第5個圖案中黑色三角形的個數(shù)有個．（2）第n個圖案中黑色三角形的個數(shù)能是50個嗎？如果能，求出n的值；如果不能，試用一元二次方程的相關知識說明道理．【答案】（1）15；（2）不能，理由見詳解．【分析】（1）第5個圖案中黑色三角形的個數(shù)有（1+2+3+4+5）個；（2）根據(jù)圖形的變化規(guī)律總結出第n個圖形黑色三角的個數(shù)為12【詳解】解：（1）由圖形的變化規(guī)律知，第5個圖案中黑色三角形的個數(shù)有：1+2+3+4+5=15，故答案是：15；（2）不能，理由如下：第n個圖案中黑三角的個數(shù)為1+2+3+4+...+n=12根據(jù)題意，得12解得：n=?1±所以第n個圖案中黑色三角形的個數(shù)不能是50個．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律和一元二次方程的應用，歸納出第n個圖形黑色三角的個數(shù)為是1215．（2022·全國·九年級專題練習）2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請說明理由．【答案】最小的數(shù)是5，理由見解析【分析】設這個最小數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．16．（2021··九年級期末）對于任意一個三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個數(shù)為“方積數(shù)”．例如：k=484，因為82(1)請通過計算判斷263是不是“方積數(shù)”，并直接寫出最小的“方積數(shù)”．(2)已知一個“方積數(shù)”k=100a+10b+c（1≤a,b,c≤9，其中a，b，c為自然數(shù)），若x=m是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，x=n是一元二次方程cx2【答案】(1)263不是方積數(shù)，121(2)121，242，363，484【分析】（1）由題意代入驗證即可解答；（2）求出m與n互為倒數(shù)，又m＋n＝?2，得出m＝?1，n＝?1，求出b＝a＋c，a＝c，結合方積數(shù)的定義即可得出答案(1)∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24∴263不是方積數(shù)；∵各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“方積數(shù)”是121；(2)∵k＝100a＋10b＋c是方積數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一個根，∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，將cn2＋bn＋a＝0兩邊同除以n2得：a（1n）2＋b（1n）＋∴將m、1n看成是方程ax2＋bx＋c＝∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c有兩個相等的實數(shù)根，∴m＝1n，即mn∵m＋n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b＋c＝0，∴b＝a＋c，∵b2＝4ac，∴（a＋c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是弄清方積數(shù)的定義．17．（2021·福建省福州延安中學九年級階段練習）小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌·赤整懷古》：“而立之年東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”課文是：周瑜在而立之年（30-40歲）掌管東吳，英年早逝時的年齡是個兩位數(shù)，十位數(shù)字剛好小個位數(shù)字三，個位數(shù)字的平方就是他逝世時的年齡．請問，哪位學生算得快，周瑜逝世時的年齡是多少歲？請根據(jù)以上信息列出方程，并求解．【答案】周瑜逝世時的年齡是36歲【分析】設周瑜逝世時年齡的十位數(shù)字是x，根據(jù)“十位數(shù)字剛好小個位數(shù)字三，個位數(shù)字的平方就是他逝世時的年齡”知10×十位數(shù)字+個位數(shù)字＝個位數(shù)字的平方，據(jù)此列出方程可得答案．【詳解】解：設周瑜逝世時年齡的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)字為x+3，根據(jù)題意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2，化為一般形式得：x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x1＝2，x2＝3，當x＝2時，（x+3）2＝25，當x＝3時，（x+3）2＝36，又∵周瑜的年齡在30-40歲之間，∴周瑜逝世時的年齡是36歲．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．18．（2022·全國·九年級專題練習）發(fā)現(xiàn)：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1是一個整數(shù)的平方．驗證：(1)3×4×5×6+1的結果是哪個數(shù)的平方？(2)設四個連續(xù)的整數(shù)分別為n?1,n,n+1,n+2，試證明他們的積加上1是一個整數(shù)的平方；延伸：(3)有三個連續(xù)的整數(shù)，前兩個整數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，試求出這三個整數(shù)分別是多少．【答案】(1)3×4×5×6＋1的結果是19的平方；(2)見解析；(3)這三個連續(xù)的整數(shù)分別是3、4、5或-1、0、1【分析】(1)按照有理數(shù)的乘法計算出結果，即可判斷是19的平方；(2)設出四個連續(xù)整數(shù)，根據(jù)題意得到式子，對式子進行轉化，利用完全平方公式得到一個整數(shù)的平方；(3)設中間的整數(shù)是x，則另外兩個整數(shù)分別為x-1、x+1，根據(jù)“前兩個整數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方”，列出方程求解即可．【詳解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，即3×4×5×6＋1的結果是19的平方；(2)設這四個連續(xù)整數(shù)依次為：n-1，n，n+1，n+2，則(n-1)n(n+1)(n+2)+1，=[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n-2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1=(n2+n-1)2．故四個連續(xù)整數(shù)的積加上1是一個整數(shù)的平方；(3)設中間的整數(shù)是x，則第一個是x-1，第三個是x+1，根據(jù)題意得(x-1)2+x2=(x+1)2解之得x1=4，x2=0，則x-1=3，x+1=5，或x-1=-1，x+1=1，x=0，答：這三個整數(shù)分別是3、4、5或-1、0、1．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，因式分解的應用；利用完全平方公式得到一個整數(shù)的平方是正確解答本題的關鍵．19．（2021·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學九年級期中）如圖，某居民小區(qū)改造，計劃在居民小區(qū)的一塊長50米，寬20米的矩形空地內(nèi)修建兩塊相同的矩形綠地，使得兩塊矩形綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，且兩塊矩形綠地的面積之和為原矩形空地面積的34【答案】人行通道的寬度是53【分析】設人行通道的寬度是x米，則兩塊綠地可合成長為（50﹣3x）米、寬為（20﹣2x）米的矩形，根據(jù)兩塊矩形綠地的面積之和為原矩形空地面積的34，即可得出關于x【詳解】解：設人行通道的寬度是x米，則兩塊綠地可合成長為（50﹣3x）米、寬為（20﹣2x）米的矩形，根據(jù)題意得：（50﹣3x）（20﹣2x）=3解得：x1＝25（舍去），x2∴x=5答：人行通道的寬度是53【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．20．（2022·全國·九年級課時練習）某社區(qū)利用一塊長方形空地建了一個小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．(1)求通道的寬是多少米．(2)該停車場共有車位64個，據(jù)調(diào)查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；當每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位，當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入為14400元且使租出的車位較多？【答案】(1)6米(2)每個車位的月租金上漲40元時，停車場的月租金收入為14400元【分析】（1）設通道的寬為x米，根據(jù)題意可列出關于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合題意的解即可；（2）設每個車位的月租金上漲a元時，停車場的月租金收入為14400元，根據(jù)題意可列出關于a的一元二次方程，解出a，再舍去不合題意的解即可；（1）解：設通道的寬為x米，根據(jù)題意，得：(52?2x)(28?2x)=640，解得x1答：通道的寬為6米；（2）解：設每個車位的月租金上漲a元時，停車場的月租金收入為14400元，根據(jù)題意，得：(200+a)(64?a整理，得：a2解得a1∵要使租出的車位較多，∴a=40．答：每個車位的月租金上漲40元時，停車場的月租金收入為14400元．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．讀懂題意，找出等量關系，列出方程是解題關鍵．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，依靠一面長18米的墻，用38米長的籬笆圍成一個矩形場地ABCD，設AD長為x米．(1)用含有x的代數(shù)式表示AB的長，并直接寫出x的取值范圍；(2)當矩形場地的面積為180平方米時，求AD的長．【答案】(1)AB=38?2x(2)10米【分析】（1）由AD=x,利用矩形的對邊相等可得出BC=x,結合籬笆的長度即可用含x的代數(shù)式表示出AB的長，再由AB不為零及墻長18米，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍；（2）利用矩形的面積計算公式，結合矩形場地的面積為180平方米，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．（1）解：∵AD＝x，∴BC＝x，AB＝38﹣AD﹣BC＝38﹣2x．又∵墻長18米，∴38?2x>038?2x≤18∴10≤x＜19．∴AB＝38﹣2x（10≤x＜19）．（2）依題意得：x(38﹣2x)＝180，整理得：x2解得：x1＝9（不合題意，舍去），x答：AD的長為10米．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，列代數(shù)式，一元二次方程的應用，根據(jù)題意表示出個線段的長，并列出方程是解題的關鍵．22．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12米的住房墻，另外三邊用25米長的建筑材料圍成的，為了方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當所圍矩形與墻垂直的一邊長為多少時，豬舍面積為80平方米？【答案】當所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米【分析】設矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1)m，根據(jù)題意可列出關于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合題意的解即可．【詳解】解：設矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1)m，由題意得：x(25-2x+1)=80，整理，得：x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，當x=5時，26-2x=16>12（舍去），當x=8時，26-2x=10<12．答：當所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．讀懂題意，看懂圖形，列出一元二次方程是解題關鍵．23．（2020·天津市北倉第二中學九年級階段練習）如圖，學校為美化環(huán)境，在靠墻的一側設計了一塊矩形花圃ABCD，其中，墻長19m，花圃三邊外圍用籬笆圍起，共用籬笆30m．(1)若花圃的面積為100m2，求花圃一邊AB(2)花圃的面積能達到120m2【答案】(1)10米(2)不能，理由見解析【分析】（1）設AB的長為x米，由花圃的面積為100m（2）設AB的長為y米，由花圃的面積為120m（1）解：設AB的長為x米，由題意可得：x(30?2x)=100，解得：x1=5，∵30?2x?19，即：x≥5.5，∴x=10，∴AB的長為10米；（2）花圃的面積不能達到120m設AB的長為y米，由題意可得：y(30?2y)=120，化簡得y2∴△=225?240=?15<0，∴方程無解，∴花圃的面積不能達到120m【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找到正確的數(shù)量關系是解題的關鍵．24．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學九年級階段練習）如圖所示，學校準備在教學樓后面搭建一簡易矩形自行車車棚，一邊利用教學樓的后墻(可利用的墻長為18m(1)若圍成的面積為180m(2)為使用方便，決定在車棚左右兩側各開一個寬為1m的小門，此時能圍成的車棚的面積能否為200m【答案】(1)自行車車棚的長和寬分別為18m，10m(2)不能圍成面積為200m2的自行車車棚【分析】（1）利用長方形的周長表示出各邊長，即可表示出矩形面積，求出即可；（2）利用長方形的面積列方程，解答即可．（1）解：設長方形的寬為xm，則長為（38-2x）m，根據(jù)題意，得x(38－2x)＝180，解得x當x＝10時，38－2x＝18；當x＝9時，38－2x＝20>18，不符合題意，舍去．答：若圍成的面積為180m（2）解：不能圍成面積為200m2的自行車車棚，理由如下：根據(jù)題意，得x(38－2x+2)＝200，整理，得x2解得：x=10，∵38?10?10+2=20>18，∴不能圍成面積為200m2的自行車車棚．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題關鍵．25．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．點P從點A出發(fā)，沿AB邊以1cm/s的速度向點B移動；點Q從點B同時出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向點C移動．規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．問經(jīng)過幾秒后，P，【答案】25秒或2【分析】設經(jīng)過t秒后，P，Q兩點的距離是42【詳解】解：設經(jīng)過t秒后，P，Q兩點的距離是42根據(jù)題意，得(2t)2整理，得5t?2t?2解得t1=2當t=2時，2t=4<8，符合題意，答：25秒或2秒后，P，Q兩點間的距離等于4【點睛】此題考查的是一元二次方程的應用，根據(jù)路程=速度×時間，表示線段的長度，將問題轉化到三角形中，利用勾股定理或者面積關系建立等量關系，是解應用題常用的方法．26．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點B運動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向終點C運動，它們到達終點后停止運動．(1)幾秒后，點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍；(2)是否存在時間t使得△DPQ的面積是22cm2？若存在請求出t，若不存在，請說明理【答案】(1)3秒或41秒(2)不存在，理由見解析【分析】（1）設t秒后點P、D的距離是點P、Q距離的2倍，根據(jù)勾股定理可得PD2=4P（2）設x秒后ΔDPQ的面積是24cm2，利用矩形面積?Δ（1）設t秒后點P、D的距離是點P、Q距離的2倍，∴PD=2PQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=A∵PD①0<t≤5時，∴8解得：t1=3，∵t=7時10?2t<0，∴t=3，②5<t≤8時，PD=A∵PD=2PQ，∴PQ=41∵點Q從點B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向終點C運動，∴t=41答：3秒或41秒后，點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍；（2）不存在，理由如下：設x秒后ΔDPQ的面積是22cm∵S∴12整理得x2∵該方程無解，∴不存在時間t使得ΔDPQ的面積是22cm【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程求解是解題的關鍵．27．（2021·江蘇無錫·九年級期中）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AC以1cm/s的速度向點C移動，點Q從點B出發(fā)沿BC以2(1)如果P，Q兩點同時出發(fā)，當某個點先到達終點時，運動終止．問：幾秒鐘后△PCQ的面積等于8cm(2)如果P，Q兩點同時出發(fā)，且點Q到達點C后立即返回，速度保持不變，直到點P到達點C后同時停止運動，那么在整個移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于1cm【答案】(1)2s后△PCQ的面積為(2)存在，5?2s【分析】（1）設t0<t<4s后△PCQ的面積等于8cm2，根據(jù)題意設CP=6?tcm，（2）根據(jù)題意分類討論：當運動時間為t0<t<4s時，CP=6?tcm，CQ=8?2tcm，利用三角形面積公式可得126?t8?2t=1，解出t的值即可；當運動時間為（1）解：6÷1=6s，8÷2=4設t0<t<4s后△PCQ的面積等于8cm2，則∴根據(jù)題意，得12∴整理，得t2解得t1=2，∴2s后△PCQ的面積為8（2）解：存在．當運動時間為t0<t<4s時，CP=6?t∴根據(jù)題意，得12∴整理，得t2解得t1=5?2當運動時間為t4≤t<6s時，CP=6?t∴根據(jù)題意，得12∴整理，得t2解得t3∴當運動時間為5?2s或5s時，△PCQ【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題目意思，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關鍵．28．（2021·江蘇淮安·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，有一點到終點運動即停止．問幾秒后△PDQ的面積等于28cm【答案】2秒或4秒【分析】可先設出未知數(shù)，△PDQ的面積可由矩形與幾個小三角形的面積之差表示，所以求出幾個小三角形的面積，進而即可求解結論．【詳解】解：存在，t=2s或4s．理由如下：可設t秒后其面積為28cm2，即S矩形ABCD-S△ADP-S△BPQ-S△DCQ=12×6-12×12t-12（6-t）·2t-12解得t1=2，t2=4，當其運動2秒或4秒時均符合題意，所以2秒或4秒時面積為28cm2．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是利用“分割法”來求△PDQ的面積的．29．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，同時動點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，當P運動到B點時P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）(2)D是AC的中點，連接PD、QD，t為何值時△PDQ的面積為40cm2？【答案】(1)（12﹣2t）；4t(2)t＝2或4【分析】（1）根據(jù)速度×時間=路程，列出代數(shù)式即可；（2）如圖，過點D作DH⊥BC于H，利用三角形中位線定理求得DH的長度；然后根據(jù)題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可．（1）根據(jù)題意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．（2）如圖，過點D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中點，∴BH=12BC＝12cm，DH是△ABC∴DH=12AB＝6根據(jù)題意，得12×12×24-12×4t×（12﹣2t）-12×（24整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即當t＝2或4時，△PBQ的面積是40cm2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，列出等量關系．30．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運動到C點返回，動點Q從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發(fā)，當點Q(1)求DQ、PC的代數(shù)表達式；(2)當t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形；(3)當0<t<10．5時，是否存在點P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的【答案】(1)DQ=16?t，PC=21?2t或PC=2t?21(2)當t=5或373秒時，四邊形PQDC(3)存在這樣的P,使△PQD是等腰三角形,當t=163秒或72【分析】（1）根據(jù)題意，寫出代數(shù)表達式即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知DQ=CP，分當P從B運動到C時，當P從C運動到B時，兩種情況進行求解即可；（3）分PQ=QD、PQ=PD、QD=PD三種情況討論求出t值即可；（1）解：根據(jù)題意，DQ=16?t，當點P未到點C時，PC=21?2t；當點P由點C返回時，PC=2t?21；（2）∵四邊形PQDC是平行四邊形，∴DQ=CP，當P從B運動到C時，∵DQ=AD?AQ=16?t，CP=21?2t，∴16?t=21?2t，解得：t=5，當P從C運動到B時，∵DQ=AD?AQ=16?t，CP=2t?21，∴16?t=2t?21，解得：t=37∴當t=5或373秒時，四邊形PQDC（3）當PQ=PD時，作PH⊥AD于H，則HQ=HD，∵QH=HD=1∵AH=BP，∴2t=1∴t=16當PQ=QD時，QH=AH?AQ=BP?AQ=2t?t=t，QD=16?t，∵QD∴(16?t)解得t=7當QD=PD時，DH=AD?AH=AD?BP=16?2t，∵QD∴(16?t)即3t∵Δ∴方程無實根，綜上可知，當t=163秒或72【點睛】本題主要考查平行四邊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及動點問題，一元二次方程的應用，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．31．（2021·福建·漳州市第七中學九年級階段練習）今年是我國脫貧勝利年，我國在扶貧方面取得了巨大的成就，技術扶貧也使得我省某縣的一個電子器件廠脫貧扭虧為盈．該電子器件廠生產(chǎn)一種電腦顯卡，2019年該類電腦顯卡的出廠價是200元/個，2020年，2021年連續(xù)兩年在技術扶貧的幫助下改進技術，降低成本，2021年該電腦顯卡的出廠價調(diào)整為162元/個．(1)這兩年此類電腦顯卡出廠價下降的百分率相同，則平均每年下降的百分率是；(2)2021年某賽格電腦城以出廠價購進若干個此類電腦顯卡，以200元/個銷售時，平均每天可銷售20個．為了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10個，如果每天盈利1150元，單價應降低多少元？【答案】(1)10%(2)單價應降低15元【分析】（1）設平均下降率為x，利用2021年該類電腦顯卡的出廠價=2019年該類電腦顯卡的出廠價×(1-下降率)2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論；（2）設單價應降低m元，則每個的銷售利潤為（38-m）元，每天可售出（20+2m）個，利用每天銷售該電腦顯卡獲得的利潤=每個的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出結論．（1）解：設平均下降率為x，依題意得：200(1?x)解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．答：平均下降率為10%．故答案為：10%．（2）設單價應降低m元，則每個的銷售利潤為（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+m5×10＝（20+2m依題意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2解得：m1＝15，m2＝13．∵要減少庫存，∴m＝15．答：單價應降低15元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．32．（2021·天津·馬伸橋鎮(zhèn)宋家營中學九年級階段練習）某商場以每件220元的價格購進一批商品，當每件商品售價為280元時，每天可售出30件，為了迎接“618購物節(jié)”，擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每天就可以多售出3件．設每件商品降價x元．(1)商場日銷售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)要使商場每天銷售這種商品的利潤達3600元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？【答案】(1)3x，（60﹣x）(2)每件商品應降價30元【分析】（1）根據(jù)每件商品降價1元，商場每天就可以多售出3件可得商場日銷售量增加的件數(shù)，由售價減進價可得每件商品利潤；（2）根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論．（1）解：根據(jù)題意得：商場日銷售量增加3x件，每件商品盈利為280-x-220=（60-x）元，故答案為：3x，（60-x）；（2）解：根據(jù)題意得：（30+3x）（60-x）=3600，解得x1=20，x∵要更有利于減少庫存，∴x=30．答：每件商品應降價30元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．33．（2021·河北·原競秀學校九年級期中）水果店以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出200斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出40斤，為保證每天至少售出520斤，水果店決定降價銷售．(1)若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是___________斤（用含x的代數(shù)式表示）；(2)銷售這種水果要想每天盈利600元，水果店需將每斤的售價降低多少元？【答案】(1)（200+400x）(2)3元【分析】（1）銷售量=原來銷售量+下降銷售量，據(jù)此列式即可；（2）根據(jù)銷售量×每斤利潤=總利潤列出方程求解即可．（1）將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是200+x0.1×40＝（200+400x故答案為：（200+400x）；（2）解：設這種水果每斤售價降低x元，根據(jù)題意得：（4﹣2﹣x）（200+400x）＝600，化簡得2解得：x1=1當x=12時，銷售量是當x＝1時，銷售量是200+400＝600（斤）．∵每天至少售出520斤，∴x＝1．4﹣1＝3，答：水果店需將每斤的售價定為3元．【點睛】本題考查了一元二次方程，第一問關鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤．第二問，根據(jù)售價和銷售量的關系，以利潤作為等量關系列方程求解．34．（2021·重慶市綦江區(qū)趕水中學三模）每年五月初五是端午節(jié)，吃粽子是端午習俗，而粽子也是人們所喜愛的美食．小張打算抓住這一機遇，以每袋30元的成本手工包了30袋粽子，再以每袋50元的價格到附近的農(nóng)貿(mào)自由市場售出，很快就被一搶而空，于是小張預計以每袋28元的成本立即手工包第二批粽子．(1)若第二批粽子仍以原價出售，兩批粽子的預計總利潤不低于2360元，則第二批至少應該包多少袋粽子？(2)在手工包第二批粽子的過程中，小張按照（1）中粽子的最低數(shù)量開始包，但包粽子的成本比預期的28元多了2a%(a>0)，于是小張決定將售價也提高2a%，自由農(nóng)貿(mào)市場里的商戶受到小張的啟發(fā)，也紛紛賣起了進購粽子，在市場沖擊下，小張實際還剩下12a【答案】(1)80袋(2)38【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應的不等式，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以列出相應的方程，從而可以解答本題．（1）解：設第二批應該包x袋粽子，50?28x+解得x≥80，答：第二批至少應該包80袋粽子；（2）501+2a解得a=38或a=0（舍去），答：a的值是38．【點睛】本題考查一元二次方程的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用方程和不等式的思想解答．35．（2022·山東·淄博市張店區(qū)第八中學八年級期中）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．(1)若某天該商品每件降價3元，當天可獲利多少元？(2)在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2000元？【答案】(1)若某天該商品每件降價3元，當天可獲利1692元(2)每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元【分析】（1）根據(jù)“盈利=單件利潤×銷售數(shù)量”即可得出結論；（2）根據(jù)“盈利=單件利潤×銷售數(shù)量”即可列出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)盡快減少庫存即可確定x的值．（1）當天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天該商品每件降價3元，當天可獲利1692元；（2）設每件商品降價x元，根據(jù)題意，得：（50-x）（30+2x）=2000，整理，得：x2解得：x1∵商城要盡快減少庫存，∴x=25．答：每件商品降價25元時，商場日盈利可達到2000元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)數(shù)量關系列出一元二次方程（或算式）是解題的關鍵．36．（2021·重慶·華東師范大學附屬中旭科創(chuàng)學校九年級期中）2021年10月25日在舉辦重慶文化惠民消費季期間，國家級非遺文化傳承人陳子福老先生一邊在折扇上作畫，一邊介紹折扇的歷史淵源，讓大家大呼過癮，已知1把十寸折扇比1把八寸折扇貴1.4元，買2把八寸榮折扇和3把十寸折扇共47.2元．(1)求1把八寸折扇和1把十寸折扇分別多少錢；(2)新年將至，某校計劃購置一批十寸折扇作為禮品送給學校教師，該校原計劃購買此折扇30把，經(jīng)協(xié)商，商家將每把折扇的價格下降a%，但購買量需增加2a%，且單價不低于八寸折扇的單價．最終，該校用324元購置了這批折扇，求【答案】(1)1把八寸折扇的價格為8.6元，1把十寸折扇的價格為10元(2)a的值為10．【分析】（1）設1把八寸折扇的價格為x元，1把十寸折扇的價格為y元，根據(jù)“1把十寸折扇比1把八寸折扇貴1.4元，買2把八寸折扇和3把十寸折扇共47.2元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出1把八寸折扇和1把十寸折扇的價格；（2）利用總價=單價×數(shù)量，即可得出關于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再結合十寸折扇的單價不低于八寸折扇的單價，即可確定a的值．（1）解：設1把八寸折扇的價格為x元，1把十寸折扇的價格為y元，依題意得：x+1.4=y2x+3y=47.2解得：x=8.6y=10答：1把八寸折扇的價格為8.6元，1把十寸折扇的價格為10元；（2）解：依題意得：101?a整理得：a2解得：a1=10，當a=10時，101?a當a=40時，101?a答：a的值為10．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．37．（2021·河南·鶴壁市淇濱中學九年級階段練習）國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，某環(huán)保節(jié)能設備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應求．若該企業(yè)的某種環(huán)保設備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元．已知這種設備每套的售價y1（萬元）與月產(chǎn)量x（套）之間滿足關系式y(tǒng)1=170?2x，生產(chǎn)總成本y(1)求生產(chǎn)總成本y2（萬元）與月產(chǎn)量x(2)如果想要每月利潤為1750萬元，那么當月產(chǎn)量應為多少套？【答案】(1)y(2)25【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出生產(chǎn)總成本y2（萬元）與月產(chǎn)量x（2）利用每月利潤=每套售價×月產(chǎn)量-生產(chǎn)總成本，即可得出關于x的一元二次方程，解之得x的值，再結合“每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元”，即可得出答案．（1）設生產(chǎn)總成本y2（萬元）與月產(chǎn)量xy2將30,1400，40,1700代入其中，得：1400=30k+b1700=40k+b解得：k=30b=500∴生產(chǎn)總成本y2（萬元）與月產(chǎn)量x（套）的函數(shù)表達式為y（2）根據(jù)題意得：x?y即x170?2x整理得：x2解得：x1=25，當x=25時，y1y2當x=45時，y1∴當月產(chǎn)量應為25套．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)圖中給定數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．38．（2022·安徽合肥·八年級期末）為落實常規(guī)疫情防控，某口罩