新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題突破練習(xí)專題06 導(dǎo)數(shù)（解析版）

專題06導(dǎo)數(shù)應(yīng)用解析幾何一般作為解答題21題或者是22題形式出現(xiàn)。一般作為壓軸題或者是次壓軸題出現(xiàn)，難度較大。1極值點(diǎn)偏移，拐點(diǎn)偏移2函數(shù)放縮問(wèn)題3端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題4隱零點(diǎn)問(wèn)題5同構(gòu)問(wèn)題6雙變量恒成立使成立問(wèn)題7與三角函數(shù)知識(shí)交叉問(wèn)題8新定義問(wèn)題題型一：極值點(diǎn)偏移，拐點(diǎn)偏移問(wèn)題1已知函數(shù).(I)若為上的增函數(shù),求的取值范圍;(II)若,且,證明:.（拐點(diǎn)偏移）【解析】(I),若在上為增函數(shù),則恒成立,即恒成立,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,故,實(shí)數(shù)的取值范圍為;(II)證明:若,由(I)知在上單調(diào)遞增,由于,已知,不妨設(shè),設(shè)函數(shù),則,則,設(shè),則,由于,故在上為增函數(shù),.在上為減函數(shù),,,而在上為增函數(shù),,故,從而,即.題型二：函數(shù)放縮問(wèn)題1已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，【解析】（1）由題意，的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）要證，只需證，即證，也即，設(shè)，則，所以，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，故當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，故在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，又，所以有2個(gè)零點(diǎn)和1，其中，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合知恒成立，從而，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立.1已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，【解析】（1）若，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）若，則當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，注意到，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，兩個(gè)不等號(hào)取等號(hào)的條件分別是和，等號(hào)不能同時(shí)成立，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立.題型三：端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題1設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.【解析】（1）由題意，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，要證，只需證，即證，也即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知恒成立，所以，故成立.（3）解法1：由題意，等價(jià)于，令，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知，即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而，符合題意，當(dāng)時(shí)，，由（1）可得在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，另一方面，由（2）可得當(dāng)時(shí)，恒成立，從而當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，結(jié)合知，即，不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.1設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，由（1）可得，所以，故在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，從而，符合題意，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，從而?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，故在上不能恒成立，不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型四：隱零點(diǎn)問(wèn)題．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）如果，是曲線上的任意一點(diǎn)，若以，為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）討論關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)情況．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則令，得，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題意，，以，為切點(diǎn)的切線的斜率滿足，所以對(duì)恒成立．又當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為（3）由題意，方程化簡(jiǎn)得，，令，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，即最大值，最大值為（1）所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的圖象與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，方程無(wú)實(shí)根．1已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】解：（1）的定義域?yàn)椋?，①若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，②若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，③若，則，所以在上單調(diào)遞減，④若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，在上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）令，則，所以依題意可得函數(shù)與的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)，由（1）知必有或，①當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為（1），的極大值為（1），的極小值為（a），又（a），所以函數(shù)與的圖像至多有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，②當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為（1），的極大值為（a），所以必須有成立，因?yàn)?，所以，所以，所以，下面求不等式的解集，令，則不等式等價(jià)于，令函數(shù)，則，令，有，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又（2），所以，即恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，又（2），所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為，即不等式的解集為．所以的取值范圍為．類型五同構(gòu)問(wèn)題同構(gòu)法的三種基本模式1.乘積型：將兩個(gè)式子分別同構(gòu)變形成幾個(gè)數(shù)的乘積，或者將等式（不等式）兩邊同構(gòu)變形成幾個(gè)數(shù)的積；2.比商型：將兩個(gè)式子分別同構(gòu)變形成兩個(gè)數(shù)的商，或者將等式（不等式）兩邊同構(gòu)變形成幾個(gè)數(shù)的商；3.和差型：將兩個(gè)式子分別同構(gòu)變形成幾個(gè)數(shù)的和與差，或者將等式（不等式）兩邊同構(gòu)變形成幾個(gè)數(shù)的和與差.三、常用的同構(gòu)變形1.對(duì)數(shù)恒等式（黃金變換）：，特別的；2.常見(jiàn)變形（利用對(duì)數(shù)恒等式變形而來(lái)），，，，…，，，，，，.1（2022武漢二調(diào)?22）已知函數(shù)，，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）討論的零點(diǎn).解：（1）略；（2）由得（觀察的形式進(jìn)行同構(gòu)變形），即，即，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)遞增，而，所以或（不能同時(shí)滿足），顯然方程有一個(gè)解，由得，設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有二個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).（2022湖北八市3月聯(lián)考22）設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，求（），則（以下略）；（2）∵，∴，由題意可知，即在上恒成立，由得，故，即，不等式等價(jià)于，即，設(shè)，即，顯然在上單調(diào)遞增，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即，，，設(shè)（），則，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.類型六雙變量恒成立使成立問(wèn)題已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，，求證：．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹愠闪ⅲ院瘮?shù)在為減函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：不妨設(shè)，先證，只要證，即證，即證，令，，則需證，由（1）知，在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又（1），所以，即得證；下面再證，即證，令，，只要證，，令，，則恒成立，故在為減函數(shù)，所以（1），則，所以成立．綜上所述，．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若，求在區(qū)間，上的最小值；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），曲線在，（1）處的切線方程為；（2）時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，在，增，最小值為；當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，在，減，，增，最小值為．證明：（3），函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，即有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，若時(shí)，，單調(diào)遞增，若時(shí)，，單調(diào)遞減，，．不妨設(shè)，，，，，先證，即證，即證令，即證設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1），，又，．類型七與三角函數(shù)知識(shí)交叉問(wèn)題1已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞增，故的最小值為.（2）當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于（1），當(dāng)時(shí)，等價(jià)于（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由（1）可得，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，而在上，，從而，滿足（1），當(dāng)時(shí)，，易得在上為增函數(shù)，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，所以在恒成立，從而，滿足（2），所以當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足（1），不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)對(duì)任意的，都有，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則．所以，，故所求切線方程為，即．（2）設(shè)，則．因?yàn)椋灾辽贊M足，即．設(shè)．因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，所以．設(shè)，則．因?yàn)?，所以，，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即對(duì)任意，都有．故a的取值范圍為．類型八新定義問(wèn)題1若函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱在上具有性質(zhì)．①在上的導(dǎo)數(shù)存在；②在上的導(dǎo)數(shù)存在，且（其中）恒成立．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由．(2)設(shè)、均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；(2)存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；(3)的最大值為.【詳解】（1）令，，則，，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；（2）∵，∴，∵在處取得極值，且為奇函數(shù)，∴在處也取得極值，∴，解得，∴，，當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足在處取得極值，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴存在實(shí)數(shù)，使在區(qū)間上恒成立，∴存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，的取值范圍是；（3）∵，∴，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，，∴存在，使，∴當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，有，∴，∵，∴，又∵恒成立，∴，∵且，∴的最大值為.1．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)滿足，則稱為函數(shù)f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)，其中(1)當(dāng)時(shí)，（i）求f（x）的極值點(diǎn)；（ii）若存在既是f（x）的極值點(diǎn)，又是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，求b的值：(2)若f（x）有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，，試問(wèn)：是否存在a，b使得，均為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)？證明你的結(jié)論.【答案】(1)（i）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.（ii）.(2)不存在，證明見(jiàn)解析(1)（i）當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上遞增，沒(méi)有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令解得，則在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.（ii）若是的極值點(diǎn)，又是的不動(dòng)點(diǎn)，則，即，即，代入得，，，，，，所以，則(2)，，有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，也即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以①，.依題意，若是的不動(dòng)點(diǎn)，則，兩式相減得，，，，，這與①矛盾，所以不存在符合題意的.一、解答題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：；(3)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由可得，可得，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，；（2）解：要證，即證，由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；（3）解：由題知①，②，①②得③，②①得④.③④得，不妨設(shè)，記.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，所以.因?yàn)?，所以，?令，，則在上單調(diào)遞增.又，所以，即，所以.2．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意的都存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，…，，使得（其中，為正整數(shù)），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.(1)是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；(3)已知，，若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)否，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）由題可得，注意到方程在時(shí)只有一個(gè)根0，則當(dāng)，存在唯一，使得，故不是的“2重覆蓋函數(shù)”；（2）.當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且.則對(duì)于，，，使得（其中）.又使得.則任意的都存在4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，，，使得，即是的“4重覆蓋函數(shù)”；（3）因，則.得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則.又時(shí)，，則.若為的“3重覆蓋函數(shù)”，則，方程總有3個(gè)根.但二次方程最多有2個(gè)實(shí)數(shù)根，故相應(yīng)的實(shí)數(shù)的范圍為空集.3．（2023·四川涼山·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】對(duì)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分，和討論的單調(diào)性，知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，要證，即證，比值代換法令可轉(zhuǎn)化成，研究的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）或∴的單調(diào)減區(qū)間為；，∴的單調(diào)減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，∴單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，，，∴單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，，即的兩根為．由韋達(dá)定理得，∵，∴，滿足條件.要證，即證，即證令則只需證∴在單增，得證4．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足恒成立.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)在（2）的條件下，設(shè)在上最小的零點(diǎn)為，若且，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，可得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，再由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可知函數(shù)在上也存在一個(gè)零點(diǎn)，綜合可得出結(jié)論；（3）分析可知且，根據(jù)（1）中的結(jié)論且，所以，可得出，即，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)?，則函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞減.又，，所以存在唯一的，使得，解得.所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.所以.所以，解得，所以.即，解得.（2），則，由（1）可知，設(shè)，所以，設(shè)，，所以.因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞增.所以.由（1）可知時(shí)，.所以.所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)，即時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以在存在唯一零點(diǎn).又由可知圖形關(guān)于直線軸對(duì)稱，故在也存在唯一零點(diǎn).所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.（3）因?yàn)?，整理可得?因?yàn)闀r(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以且，所以.所以，所以，所以.由（1）可知在單調(diào)遞增，所以，即.5．（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)令，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)【詳解】（1）若，則，可得，令，解得，則，；，；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）則，可得，令，解得，則，；，；故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，即符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為.（3）若，則，可得，故原題意等價(jià)于至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，可得，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為,6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值.(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.【答案】(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.易知，令，則.設(shè)，則，若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)最大值，即在上無(wú)最大值，不合題意；若，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，解得.故實(shí)數(shù)的值為.（2）①由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，，其中，.若，則，在上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，要使存在兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，所以在和上各存在一個(gè)零點(diǎn).所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.②由①知，要證，只需證，只需證，只需證，只需證.不妨設(shè)，則，，，故只需證.設(shè)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以.7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的最大值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，故的最大值為1.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，即，即，令，則在上的零點(diǎn)即的零點(diǎn)，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即在上僅有一個(gè)零點(diǎn).8．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，（i）求的極值.（ii）設(shè)，證明：.(2)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極小值點(diǎn)，且.【答案】(1)（i）的極小值為無(wú)極大值；（ii）證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）（i）若，則，由，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.故的極小值為無(wú)極大值.（ii）由（i）可知，的極值點(diǎn)為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又，不妨設(shè)，則若，則，設(shè)，則.設(shè)，則為增函數(shù)，則.，則在上為增函數(shù)，，即.，又在上單調(diào)遞減，，即.（2），記，，記，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，，使，當(dāng)在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有唯一的極小值點(diǎn)，且令，在單調(diào)遞減，即.9．（2023春·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)，，若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可知是導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)即的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布，列出不等式組，求得實(shí)數(shù)的取值范圍；由是方程的兩根，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的表達(dá)式化簡(jiǎn)求值，可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；又，所以函數(shù)在定義域上有且僅有1個(gè)零點(diǎn).（2）因?yàn)?，所?由題意知是方程在內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，又，且函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，所以只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.由是方程的兩根，得，，

故，又，所以.一、解答題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)椋孕枳C．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.7．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義