人教版高數(shù)必修四第7講：平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量共線(xiàn)的條件，進(jìn)而解決一些相關(guān)問(wèn)題.4.了解平面向量的基本定理及其意義.一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_____不共線(xiàn)_____不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的__任一__向量，有且只有_一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2特別提醒：(1)我們把不共線(xiàn)向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線(xiàn)；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量二、平面向量的坐標(biāo)表示：如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)__單位向量_、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，，，特別提醒：設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（1）若，，則=，=兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差（2）若，，則一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)（3）若和實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)（4）向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是類(lèi)型一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】?(2012·南京質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.[審題視點(diǎn)]由B，H，C三點(diǎn)共線(xiàn)可用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))來(lái)表示eq\o(AH,\s\up6(→)).解析由B，H，C三點(diǎn)共線(xiàn)，可令eq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又M是AH的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ＋μ＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)(1－x)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．【訓(xùn)練1】如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________.解析以AB所在直線(xiàn)為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，令A(yù)B＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，過(guò)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，由已知得DF＝BF＝eq\r(3)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2＋eq\r(3)，eq\r(3))．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴(2＋eq\r(3)，eq\r(3))＝(2x,2y)．即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋\r(3)＝2x，,\r(3)＝2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)，,y＝\f(\r(3),2).))另解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝1＋eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(3),2).答案1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)[例1]在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)=，=，用,表示.BCAOMD[解題思路]：若是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內(nèi)的任何向量都可用線(xiàn)性表示.本例中向量,可作基底,故可設(shè)=m+n,為求實(shí)數(shù)m,n,需利用向量與共線(xiàn),向量與共線(xiàn),建立關(guān)于m,n的兩個(gè)方程.BCAOMD解析：設(shè)=m+n，則,∵點(diǎn)A、M、D共線(xiàn)，∴與共線(xiàn)，∴，∴m+2n=1.① 而，∵C、M、B共線(xiàn)，∴與共線(xiàn)，∴，∴4m+n=1.② 聯(lián)立①②解得:m=，n=，∴練習(xí)：1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與—B．3與2C．＋與—D．與2BABACPNM2．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN與CM交于點(diǎn)P,且,試用表示.解：∵AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4,，∴，，∵M(jìn)、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)，故可設(shè)，t∈R,于是，……①同理可設(shè)設(shè)，s∈R,．…②由①②得，由此解得，∴．類(lèi)型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】?(2011·合肥模擬)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)).求M，N的坐標(biāo)和eq\o(MN,\s\up6(→)).[審題視點(diǎn)]求eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1,8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(6,3)．∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(6,3)＝(12,6)．設(shè)M(x，y)，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x＋3，y＋4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝20.))∴M(0,20)．同理可得N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫(xiě)錯(cuò)坐標(biāo)．【訓(xùn)練2】在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()．A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)解析由題意得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案B若A(0,1),B(1,2),C(3,4)則2=答案：(-3,-3)解：2=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；解：設(shè)P(x,y)則(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)∴∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-)類(lèi)型三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】?已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線(xiàn)，且方向相反？[審題視點(diǎn)]根據(jù)共線(xiàn)條件求k，然后判斷方向．解若存在實(shí)數(shù)k，則ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若這兩個(gè)向量共線(xiàn)，則必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0.解得k＝－eq\f(1,3).這時(shí)ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，所以ka＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在．向量共線(xiàn)問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值．【訓(xùn)練3】(2011·西安質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿(mǎn)足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()．\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))解析設(shè)c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0，解得m＝－eq\f(7,9)，n＝－eq\f(7,3).答案D9．已知,當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí),＋2與2—4平行？【解析】方法一:∵2—4,∴存在唯一實(shí)數(shù)使＋2=2—4）將、的坐標(biāo)代入上式得（—6，2＋4）=14，—4）得—6=14且2＋4=—4，解得=—1方法二：同法一有＋2=（2—4）,即（—2＋（2＋4=0∵與不共線(xiàn)，∴∴=—1一、選擇題1．設(shè)e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2[答案]B[解析]∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2與4e2－6e1共線(xiàn)，不能作為基底．2．下面給出了三個(gè)命題：①非零向量a與b共線(xiàn)，則a與b所在的直線(xiàn)平行；②向量a與b共線(xiàn)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個(gè)向量的線(xiàn)性組合表示．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]命題①兩共線(xiàn)向量a與b所在的直線(xiàn)有可能重合；命題③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個(gè)不共線(xiàn)向量的線(xiàn)性組合表示．故①③都不正確．3．給出下列結(jié)論：①若a≠b，則|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共線(xiàn)，則|a＋b|>0；③對(duì)任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共線(xiàn)且反向，則|a－b|>|a|.其中正確的有()個(gè)．()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①中有一個(gè)為零向量時(shí)不成立；②中a，b若是相反向量則不成立；③、④正確，故選B.4．已知向量e1、e2不共線(xiàn)，實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于()A．3 B．－3C．6 D．－6[答案]C[解析]∵e1、e2不共線(xiàn)，∴由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝6,2x＋y＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－3)).5．設(shè)一直線(xiàn)上三點(diǎn)A，B，P滿(mǎn)足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ≠±1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示為()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ) D．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))[答案]C[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))，∴(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ).6．(2014·廣東文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，則b－a＝()A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)[答案]B[解析]∵a＝(1,2)、b＝(3,1)，∴b－a＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．7．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)、eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)[答案]A[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．8．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，則2a－b＝()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)[答案]A[解析]2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)9．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)、C(－1,3)、eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A．(11,9) B．(4,0)C．(9,3) D．(9，－3)[答案]D[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(10，－6)，設(shè)D(x，y)，又C(－1,3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝10,y－3＝－6))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9,y＝－3)).10．已知△ABC中，點(diǎn)A(－2,3)、點(diǎn)B(－3，－5)，重心M(1，－2)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－4,8) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(4,3)))C．(8，－4) D．(7，－2)[答案]C[解析]設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，由重心坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋－3＋x,3),－2＝\f(3＋－5＋y,3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8,y＝－4)).11．已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則點(diǎn)A位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴點(diǎn)A位于第四象限．二、填空題12．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a、b表示)．[答案]－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b[解析]∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，∴4eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.13．已知向量a與b不共線(xiàn)，實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，則x＝________，y＝________.[答案]eq\f(47,11)eq\f(16,11)[解析]∵a、b不共線(xiàn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝4y＋7,10－y＝2x))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(47,11),y＝\f(16,11))).14．若點(diǎn)O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)_______．點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)_______，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案](2,4)(－3,9)(－5,5)[解析]∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2×(1,2)＝(2,4)，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A′(2,4)，B′(－3,9)，eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．15．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.[答案](－3，－5)[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．三、解答題16．如圖，已知△ABC中，M、N、P順次是AB的四等分點(diǎn)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，試用e1、e2表示eq\o(CM,\s\up6(→))、eq\o(CN,\s\up6(→))、eq\o(CP,\s\up6(→)).[解析]利用中點(diǎn)的向量表達(dá)式得：eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)e1＋eq\f(3,4)e2；eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2.17．(1)設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量a、b、c的坐標(biāo)分別為(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐標(biāo)．[解析](1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．(2)3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5)＝(5，－8)．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，則x等于()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．3[答案]C[解析]由a∥b，得(－1)×(－1)－3x＝0，解得x＝eq\f(1,3).2．(2014·安徽宿州市朱仙莊煤礦中學(xué)高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三點(diǎn)共線(xiàn)，則y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9[答案]D[解析]∵A、B、C共線(xiàn)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線(xiàn)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－8,8)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9.3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k等于()A．3 B．－3C．5 D．－5[答案]C[解析]a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，由題意得，9－3k＝－6，∴k＝5.4．設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)與向量b＝－(e2－2e1)共線(xiàn)，則()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)[答案]D[解析]由共線(xiàn)向量定理，存在t∈R，使a＝tb，即e1＋λe2＝t(－e2＋2e1)，∵e1，e2不共線(xiàn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝1,λ＝－t))，解得λ＝－eq\f(1,2).5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，則tanα＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)[答案]B[解析]∵a∥b，∴3sinα－4cosα＝0，∴tanα＝eq\f(4,3).6．(2014·山東濟(jì)南商河弘德中學(xué)高一月考)若向量b與向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2eq\r(5)，則b＝()A．(4,2) B．(－4,2)C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)[答案]D[解析]設(shè)b＝(x，y)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20,x＝2y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－2)).二、填空題7．設(shè)i、j分別為x、y軸方向的單位向量，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案](1，－1)[解析]由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2＝2,－2y＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1)).∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，－1)．8．設(shè)向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，則銳角α＝________.[答案]eq\f(π,4)[解析]由已知，得12sin2α＝6，∴sinα＝±eq\f(\r(2),2)，∴α為銳角，∴α＝eq\f(π,4).三、解答題9．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)、eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)、eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線(xiàn)，∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝11或k＝－2.能力提升一、選擇題1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與b共線(xiàn)，則()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0[答案]D[解析]∵a、b共線(xiàn)，∴存在t∈R，使a＝tb，∴e1＋λe2＝2te1，∴(1－2t)e1＋λe2＝0 ①若e1、e2共線(xiàn)，則一定存在t、λ.使①式成立；若e1、e2不共線(xiàn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2t＝0,λ＝0)).2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)[答案]C[解析]∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，則向量a＋b()A．平行于x軸 B．平行于第一、三象限的角平分線(xiàn)C．平行于y軸 D．平行于第二、四象限的角平分線(xiàn)[答案]C[解析]∵a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，∴a＋b＝(0，x2＋1)，∵1＋x2≠0，∴向量a＋b平行于y軸．4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向[答案]D[解析]∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a、b不共線(xiàn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,1＝－λ))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1,k＝－1)).∴c＝－d，∴c與d反向．二、填空題5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起點(diǎn)為A(1,2)，終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，則B點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))[解析]由b∥a，可設(shè)b＝λa＝(－2λ，3λ)．設(shè)B(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝x－1,3λ＝y(tǒng)－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2λ,y＝3λ＋2)).又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).6．已知點(diǎn)A(eq\r(3)，1)、B(0,0)、C(eq\r(3)，0)．設(shè)∠BAC的平分線(xiàn)AE與BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于________．[答案]－3[解析]∵AE為∠BAC的平分線(xiàn)，∴eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,1)＝2.∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝－2eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→)).三、解答題7．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，(1)求滿(mǎn)足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.[解析](1)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9))).(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,