二次函數(shù)與幾何結(jié)合 公開課教學設計

一、運用幾何變換（平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、位似等）求解析式【例1】已知拋物線與拋物線關于y軸對稱，求的解析式.練習：1.拋物線向左平移p個單位，向上平移q個單位后經(jīng)過點（1,3）和（4,9），求平移后的拋物線的解析式.2.已知拋物線，求：（1）關于y軸對稱的拋物線的解析式；（2）關于x軸對稱的拋物線的解析式；（3）關于原點對稱的拋物線的解析式；（4）關于直線x＝1對稱的拋物線的解析式；（5）繞著點（1,1）旋轉(zhuǎn)180°后拋物線的解析式；（6）將拋物線C1上的點的橫坐標和縱坐標都擴大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式.二、利用簡單的數(shù)量關系或幾何關系求解析式【例2】拋物線與x軸僅有一個公共點A，求拋物線的解析式.練習：1.拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C，，求拋物線的解析式.2.拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），AB＝4，拋物線頂點為E，tan∠ABE＝2，求拋物線的解析式.三、二次函數(shù)中的公共點問題【例3】如圖，拋物線與y軸交于C（0,3），D為頂點，延長DC交x軸于點E，若將拋物線沿對稱軸向下平移m個單位或向上平移n個單位，使拋物線與線段DE總有公共點，求m，n的取值范圍.練習：1.（2016三明改）如圖，已知點A（0，2），B（2，2），拋物線F：，當拋物線F與線段AB有公共點時，直接寫出m的取值范圍.2.拋物線與x軸交于點A、B，A點在B點左邊，拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點B、D.若直線與，共有3個不同的公共點，則m的取值范圍是.3.如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC＝AB，過C作CD⊥x軸于點D，交線段OB于點E，已知CD＝8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點．（1）∠OBA＝°；（2）求拋物線的函數(shù)表達式；（3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？三、二次函數(shù)中的面積問題【例4】已知直線與拋物線交于A，B兩點，在拋物線上求點P，使.練習：1.（2015福州改）如圖，拋物線與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線與對稱軸交于點Q.若兩個三角形的面積滿足,求m的值.四、二次函數(shù)中的角問題【例4】在平面直角坐標系中，將拋物線向下平移使之經(jīng)過點，平移后的拋物線交軸于點，（1）求的正切值；（2）點在平移后拋物線的對稱軸上，聯(lián)結(jié)、，當時，求點坐標.練習：1.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，連接AC，拋物線經(jīng)過A，B兩點。（1）求A點坐標及線段AB的長；（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO—OC—CB邊向點B移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒。當PQ∥AC時，對于拋物線對稱軸上一點H，∠HOQ＞∠POQ，求點H的縱坐標的取值范圍。2.如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于C，頂點為D，拋物線的對稱軸DF與BC相交于點E，與x軸相交于點F．（1）求線段DE的長；（2）設過E的直線與拋物線相交于M（x1，y1），N（x2，y2），試判斷當|x1﹣x2|的值最小時，直線MN與x軸的位置關系，并說明理由；（3）設P為x軸上的一點，∠DAO＋∠DPO＝∠α，當tan∠α＝4時，求點P的坐標．3.如圖，拋物線C1：的頂點為A，與x軸的正半軸交于點B.將拋物線C1上的點（x，y）變?yōu)椋╧x，ky）（|k|＞1），變換后得到的拋物線記作C2.拋物線C2的頂點為C，點P在拋物線C2上，滿足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.①當k＞1時，求k的值；②當k＜－1時，請你直接寫出k的值，不必說明理由.四、二次函數(shù)中的存在性問題【例5】如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D.

（1）求出A、B的坐標和△ABC的面積；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．練習：1.如圖，拋物線交x軸于點A、B（點A在點B的左側(cè)），其頂點為C，將拋物線沿軸向左平移m（m＞0）個單位，點B、C平移后的對應點為D、E，且兩拋物線在x軸的上方交于點P，連接PA、PD．（1）判斷△PAD能否為直角三角形，若能，求m的值；若不能，說明理由；（2）若點F在射線CE上，當以A、C、F為頂點的三角形與△PAD相似時，求m的值.2.拋物線:的頂點為,拋物線開口向下且頂點在軸上，若、兩點關于點(，)對稱.（1）求的值；（2）若拋物線與軸的正半軸的交點是,當為直角三角形時，求拋物線的解析式.3.拋物線，若a，b，c滿足b＝a＋c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點為P，與x軸另一個交點為B，是否存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．4.如圖，拋物線C1：y＝（x＋m）2（m為常數(shù)，m＞0），平移拋物線y＝﹣x2，使其頂點D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2．拋物線C2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，設點D的橫坐標為a．（1）如圖1，若m＝．①當OC＝2時，求拋物線C2的解析式；②是否存在a，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP＝BP？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；（2）如圖2，當OB＝2﹣m（0＜m＜）時，請直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點的坐標（用含m的式子表示）．5.已知拋物線（）的頂點為，點、、在該拋物線上．（Ⅰ）當，，時，①求頂點的坐標；②求的值；（Ⅱ）當恒成立時，求的最小值．6、如圖，拋物線F，頂點為D（2，－1），且交x軸于點A(1，0)、B，交y軸于點C.(1)求F的解析式；(2)點P、Q均在對稱軸上，滿足：PA＋PC最小建立幾何模型，化歸為方程問題！.求P的坐標.建立幾何模型，化歸為方程問題！(3)如圖2，點M在x軸上，點N在拋物線上，滿足以M、N、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形解析設點后，再結(jié)合這個條件【用平移規(guī)律解題】，化歸方程問題.求點N的坐標；解析設點后，再結(jié)合這個條件【用平移規(guī)律解題】，化歸方程問題(4)如圖3，點P在拋物線上，滿足面積相等模型存在兩種情形：平行線下構(gòu)造同底等高；三角形中線平分面積再化歸為解方程問題.求面積相等模型存在兩種情形：平行線下構(gòu)造同底等高；三角形中線平分面積再化歸為解方程問題(5)如圖4，將拋物線F向右平移m個單位得到拋物線F1，且兩拋物線交于點Q，滿足∠QCB＝∠ACB角相等模型可聯(lián)想：角平分線（內(nèi)心）折疊（軸對稱）三角形相似（全等）三角函數(shù)同弧所對圓周角（共圓）角平分線＋平行=等腰.求m角相等模型可聯(lián)想：角平分線（內(nèi)心）折疊（軸對稱）三角形相似（全等）三角函數(shù)同弧所對圓周角（共圓）角平分線＋平行=等腰(6)如圖5，點M為BC下方拋物線上的動點，過點M作MN⊥x軸，交BC于點N，過點M作MK⊥BC于K.連接CM，設M的橫坐標為m：①用含m的代數(shù)式表示MN；②求m為何值時，線段MK最長代數(shù)式配方思想的考察??？代數(shù)式配方思想的考察！③問：是否存在這樣的m，使得NM把△MKC分成面積比為3:4的兩個三角形由面積比，結(jié)合面積公式，轉(zhuǎn)化為線段比，其中線段為平行于坐標軸的線段，方可結(jié)合解析設點將線段比問題化歸為坐標關系（化斜為直），最后列出相關方程！PS：注意分類討論??？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.由面積比，結(jié)合面積公式，轉(zhuǎn)化為線段比，其中線段為平行于坐標軸的線段，方可結(jié)合解析設點將線段比問題化歸為坐標關系（化斜為直），最后列出相關方程！PS：注意分類討論！(7)如圖，將拋物線F向左或向右平移，得到拋物線F2，記拋物線F2的頂點為R.若∠RCA＝45°角=45°，這個條件的處理，結(jié)合幾何模型！.求F2的解析式.角=45°，這個條件的處理，結(jié)合幾何模型！xxyOABCD圖2xyOABCD圖3xyOABCD圖4xyOABCD圖5MNKxyOABCD圖5MNKxyOABCD圖17、如圖①，在直角坐標系中，拋物線交x軸于A(－3，0)、B(－1，0)，交y軸于C點，且cos∠CAB＝。【原創(chuàng)】求該拋物線的解析式；如圖①，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與A、C重合），P的橫坐標為p，以PC為邊作正方形CPMN，若頂點M或N恰好落在拋物線的對稱軸上時，求p的值；如圖②，將拋物線平移，當頂點至原點時，過點Q（0,3）作直線EF交拋物線于E、F兩點（EF不與x軸平行），問：在y軸負半軸上是否存在點K，使得△KEF的內(nèi)心落在y軸上？若存在，請求出點K的坐標；若不存在，請說明理由。8、如圖（1），拋物線（≠0）與x軸交于A(－2,0)、B（5,0），與y軸交于點D，且經(jīng)過點C（2,2）.（1）(2分)求該拋物線的解析式；（2）連接BD，過點C作CH⊥x軸交x軸于點H，交BD于點G，點P從B點出發(fā)以1個單位每秒的速度向O運動，運動時間為t秒：①（4分）如圖（1），連接CP交BD于點F，若△BFP∽△CFG，求此時t的值；②（6分）如圖（2），拋物線上取點K（－1,1），連接AK，OK，OC，AC，PK。AC交OK于點M，PK交OC于點N，連接MN，當t＝1秒時，求證：MN∥OA，并寫出此時MN的長為。9、如圖，拋物線F：y＝ax2＋bx＋3與x軸交于兩點A(1,0)、B(3,0)，與y軸交于點C；（1）（2分）求拋物線F的解析式；（2）（4分）M在拋物線F的對稱軸上運動，滿足：∠AMB≥90°.求點M的運動軌跡長；（3）（6分）將拋物線F向右平移m個單位得到新的拋物線F1，F(xiàn)1與F的交點記為P，若∠PCB＝∠ACB，求拋物線F1的解析式.CC0yxBACC0yxBA10、如圖，某拋物線與x軸交于點A、B（6,0）兩點，與y軸交于C（0，－8），且tan∠BAC＝4.（1）（3分）求拋物線的解析式；（2）點P是BC上的一個動點，過P作PM∥x軸交y左側(cè)的拋物線于點M，作PN⊥x軸交x軸于點N：ABCOPMNxyDE（5分）①若ABCOPMNxyDE（6分）②若△BOC的內(nèi)心落在直線BM上，求P的坐標.11、如圖，拋物線與直線AB交于A(－3，0)、B(0，3)兩點，與x軸的另一交點為C，(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點H，使得？若存在，求點H的坐標；若不存在，請說明理由.(3)若平移直線AB交拋物線于M、N兩點，且.求直線MN的解析式.(4)記拋物線對稱軸為直線l，頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E.取點F(0，1)，連接BC，平移直線BC交拋物線于點P，交直線l于Q.若∠FQP＝45°.求P的坐標.12、拋物線F：經(jīng)過點(1，3).且a、b、c滿足：abc＝0，ab＋bc＋ca＝－4，a＜b＜c.設拋物線F與x軸交于點A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C.(1)求拋物線F的解析式；(2)若點Q(m，n)是第一象限內(nèi)拋物線上一點：①設△AQC的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式；②求當m為何值時，△AQC為直角三角形？(3)將拋物線F向左或向右平移r個單位長度，得到拋物線F1.設F、F1交于點P.過P作PH⊥AC于H.若△CPH與△ACO相似.求r的值.13、定義：我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為(0，－3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為(1,0)，半圓半徑為2.(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；(2)若點P()，直線l為經(jīng)過點P的“蛋圓”切線：①請求出直線l的解析式；②若將直線l向右平移m個單位之后，與“蛋圓”交于K、L兩點（K在y軸左側(cè)），且KL＝.求m的值.xyxyOABPCDMxyOABPCDM14、已知：如圖拋物線F：的頂點為A.將拋物線F沿著OA延長線方向平移得到新的拋物線F1，且拋物線F1的頂點為B，與x軸交于C、D兩點.(1)求直線OA的解析式；(2)在平移過程中：①若.求拋物線F1的解析式.②過點B作BQ⊥y軸于點Q.問：拋物線F1的對稱軸上是否存在點P，使得△QCP為等邊三角形？若存在，請求出拋物線F1的解析式；若不存在，請說明理由.xxyOABCDFF1yO備用圖xFA15、如圖(1)所示，拋物線F：經(jīng)過點A(1，0).且a、b、c滿足：a＞b＞c，abc＝0，ab＋bc＋ca＝－1.(1)求拋物線F的解析式；(2)將拋物線F向右平移m個單位(m＞1)，得到新拋物線F1，且F1交y軸正半軸于點C：①過點C作直線CQ交x軸于點Q(7，0).若tan∠ACQ＝.求拋物線F1的解析式.②取P(9，0).問：是否存在這樣的m，使得∠ACP最大？若存在，請求出m及tan∠ACP的值；若不存在，請說明理由.yyxyOACQFF1圖(1)xOACPFF1圖(2)xyOAF備用圖16、如圖(1)，已知拋物線交y軸于點B(0，－8)，且交x軸正半軸于點A(6，0).(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過原點O的直線l在第三象限內(nèi)交拋物線于點P，連接PA：①若∠BAP＝45°，求直線PA的解析式；②問：是否存在這樣的直線l，使得∠POB＝∠BAP？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由.xxyOBAC圖(1)PxyOBAC圖(2)P17、定義：將拋物線F上的點的橫坐標和縱坐標都變?yōu)樵瓉淼膋倍，得到新拋物線F1.則稱拋物線F1為F的“k倍位似拋物線”.如圖所示，已知拋物線F：交x軸于A、B兩點，交y軸于點C.拋物線F1為F的“k倍位似拋物線”（k＞0），且拋物線F1交x軸于點L、M兩點（點L在M左側(cè)）.(1)直接寫出拋物線F1的解析式：.（用含k的式