八年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（北師大版）：勾股定理（基礎(chǔ)）（解析版）

專題1.1勾股定理目錄已知兩邊求第三邊 1已知兩邊求第三邊（需要分類討論） 2勾股定理求面積 3求斜邊的高 5證明勾股定理的內(nèi)容 7判斷勾股數(shù) 9勾股數(shù)與倍數(shù) 11勾股定理逆定理 12勾股定理的應(yīng)用（簡單的實(shí)際應(yīng)用） 15勾股定理的應(yīng)用（最短長度） 17勾股定理的應(yīng)用（臺風(fēng)問題） 20折疊問題 22已知兩邊求第三邊勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么.勾股定理的適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長，可求第三邊.在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系.③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.如圖，在三角形中，已知，，，則的大小有可能是A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：方法1：由垂線段最短，可得的大小有可能是5方法2：在三角形中，，，，則．故選：．直角三角形的兩條直角邊長分別為9和12，則該直角三角形的斜邊長為A．13 B．14 C． D．15【解答】解：由勾股定理得，斜邊為，故選：．在中，．若，，則A．5 B．6 C．8 D．10【解答】解：在中，，，，，即，解得．故選：．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為和，斜邊長為．已知，，則的值為A．2 B．6 C．5 D．36【解答】解：由勾股定理得，，故選：．已知兩邊求第三邊（需要分類討論）已知直角三角形兩邊的長為5和12，則此三角形的周長為A．30 B． C．或30 D．36【解答】解：設(shè)的第三邊長為，①當(dāng)12為直角三角形的直角邊時，為斜邊，由勾股定理得，，此時這個三角形的周長；②當(dāng)12為直角三角形的斜邊時，為直角邊，由勾股定理得，，此時這個三角形的周長，綜上所述，該三角形的周長為30或．故選：．已知3，4，是一個直角三角形的三條邊長，則實(shí)數(shù)的相反數(shù)為A．5 B． C．5或 D．或【解答】解：當(dāng)為斜邊時：，解得：，（不符合題意）；當(dāng)為直角邊時：，解得：，（不符合題意）．故第三邊長為5或，實(shí)數(shù)的相反數(shù)為或．故選：．一個直角三角形的兩邊長分別為、，則第三條邊長為A． B． C． D．或【解答】解：當(dāng)斜邊長為時，則第三條邊長為：；當(dāng)兩條直角邊長分別為，時，則第三邊長為：；故選：．若直角三角形的兩邊長分別是5和12，則它的斜邊長是A．13 B．13或 C． D．12或13【解答】解：當(dāng)12是斜邊時，它的斜邊長是12；當(dāng)12是直角邊時，它的斜邊長；故它的斜邊長是：12或13故選：．勾股定理求面積在一個直角三角形中，若斜邊的長是13，周長為30，那么這個直角三角形的面積是A．30 B．40 C．50 D．60【解答】解：設(shè)兩條直角邊分別為，，根據(jù)題意得，，解得，，這個直角三角形的面積是，故選：．在中，，、、所對的邊分別為、、，已知，，則的面積為A．96 B．98 C．108 D．120【解答】解：，，設(shè)，則，，即，解得，，．，故選：．如圖，在中，，，，以為邊作正方形，則正方形的面積為A．5 B．9 C．16 D．25【解答】解：在中，，，，，正方形的面積，故選：．中，，，高，則的面積為A．66 B．126 C．54或44 D．126或66【解答】解：如圖1，，，，，，又，，，的面積；如圖2，，的面積；綜上所述，的面積為126或66，故選：．求斜邊的高若直角三角形兩直角邊的邊長為若直角三角形兩直角邊的邊長為和，斜邊長為，則斜邊上的高．一直角三角形的兩直角邊長為6和8，則斜邊上的高為A．10 B．16 C．4.8 D．48【解答】解：設(shè)斜邊長為，高為．由勾股定理可得：，則，直角三角形面積，．故選：．直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高A．6 B．8 C． D．【解答】解：由題意得，斜邊為．所以斜邊上的高．故選：．等腰三角形的腰長為25，底邊長為14，則它底邊上的高為A．24 B．7 C．6 D．5【解答】解：根據(jù)題意畫出如圖所示，根據(jù)題意得，，，．，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，即：底邊上的高為24，故選：．直角三角形的一直角邊長，斜邊長，則其斜邊上的高是．【解答】解：設(shè)斜邊上的高為，由勾股定理得，直角三角形另一條直角邊為：，由三角形的面積公式可得，，解得，，故答案為：．證明勾股定理的內(nèi)容（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．如圖是2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)，它是由四個相同的直角三角形與中間一個小正方形拼成一個大正方形，若大正方形的邊長是，每個直角三角形較短的一條直角邊的長是，則小正方形的邊長為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，直角三角形的長直角邊為：，則小正方形的邊長為：，故選：．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)“趙爽弦圖”中直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為14，則小正方形的面積為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為，則，，，解得，小正方形的面積是：，故選：．4個全等的直角三角形的直角邊分別為、，斜邊為．現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請?jiān)囈辉嚕窘獯稹拷猓簣D形的總面積可以表示為：，也可以表示為：，所以，，所以，．【閱讀理解】我國古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為、，斜邊長為．圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，所以．【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形，其中，，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在中，，、、所對的邊長分別為、、．求證：．【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為，利用分割法，梯形的面積為，，；【定理應(yīng)用】，，．判斷勾股數(shù)①①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù).②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子的正整數(shù)）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A．1.5，2，2.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，【解答】解：．1.5，2.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；．不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；．，是勾股數(shù)，符合題意；．，不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：．下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【解答】解：．，且3，4，5是正整數(shù)，，4，5是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；．，且5，12，13是正整數(shù)，，12，13是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；．，且7，24，25是正整數(shù)，，24，25是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；．，但0.6，0.8，1不是整數(shù)，，0.8，1不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；故選：．下列選項(xiàng)中不是勾股數(shù)的是A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15【解答】解：．，且7，24，25是正整數(shù)，，24，25是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；．，，5，6不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；．，且3，4，5是正整數(shù)，，4，5是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；．，且9，12，15是正整數(shù)，，12，15是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；故選：．有下列各組數(shù)：①3，4，5；②，，；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股數(shù)有A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【解答】解：①，是勾股數(shù)；②，不是勾股數(shù)；③0.5，1.2，1.3不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；④1，，．不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；其中勾股數(shù)有①，故選：．勾股數(shù)與倍數(shù)將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形A．可能是銳角三角形 B．不可能是直角三角形 C．仍然是直角三角形 D．可能是鈍角三角形【解答】解：設(shè)直角三角形的直角邊分別為、，斜邊為．則滿足．若各邊都擴(kuò)大倍，則三邊分別為、、三角形仍為直角三角形．故選：．直角三角形的三條邊如果同時擴(kuò)大3倍，則得到的三角形是A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定【解答】解：設(shè)原直角三角形的三邊的長是、、，則由勾股定理得，，即，將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大3倍，得到的三角形還是直角三角形，故選：．將勾股數(shù)3，4，5擴(kuò)大2倍，3倍，4倍，，可以得到勾股數(shù)6，8，10；9，12，15；12，16，20；，則我們把3，4，5這樣的勾股數(shù)稱為基本勾股數(shù)，請你也寫出三組基本勾股數(shù)5，12，13，，．【解答】解：符合即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，（答案不唯一）已知、、是一組勾股數(shù)．把這三個數(shù)分別擴(kuò)大2倍，所得的3個數(shù)還是勾股數(shù)嗎？擴(kuò)大倍呢？證明你的結(jié)論．【解答】證明：是正整數(shù)，、、是一組勾股數(shù)，，，都是正整數(shù)，，，，，是一組勾股數(shù)；，，是一組勾股數(shù)，且是正整數(shù)，，，是三個正整數(shù)，，，所以，，是一組勾股數(shù)．勾股定理逆定理如果三角形三邊長如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊.①若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊.③勾股定理的逆定理在描述時，不能說成：當(dāng)“斜邊”的平方等于兩條“直角邊”的平方和時，這個三角形是直角三角形.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的為A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13【解答】解：．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．判斷下列四組數(shù)據(jù)，不可以作為直角三角形三條邊的是A．0.3，0.4，0.5 B．4，3，5 C．8，15，17 D．1，2，3【解答】解：．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：．在下列以線段，，的長為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B．，，C． D．，，【解答】解：、，故選項(xiàng)中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；、，故選項(xiàng)中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；、，故選項(xiàng)中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；、，故選項(xiàng)中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；故選：．已知在中，、、所對的邊分別是、、，則添加下列條件，不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．【解答】解：．，，不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；．，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；．，是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．有一塊田地的形狀和尺寸如圖所示，求出它的面積是多少．【解答】解：連接，在中，為斜邊，已知，，則，，為直角三角形，，答：該四邊形面積為24如圖，把一塊直角三角形土地劃出一個三角形后，測得米，米，米，米．（1）求證：；（2）求圖中陰影部分土地的面積．【解答】（1）證明：，米，米，（米，米，米，，；（2）解：圖中陰影部分土地的面積（平方米）．勾股定理的應(yīng)用（簡單的實(shí)際應(yīng)用）如圖，有一個羽毛球場地是長方形，如果，．若你要從走到至少要走A． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形可得，，．要從走到，至少走．故選：．一輛裝滿貨物，寬為1.6米的卡車，欲通過如圖所視的隧道，則卡車的外形高必須低于A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米【解答】解：車寬1.6米，欲通過如圖的隧道，只要比較距隧道中線0.8米處的高度與車高．在中，由勾股定理可得：（米，（米，卡車的外形高必須低于2.9米．故選：．如圖所示，甲漁船以8海里時的速度離開港口向東北方向航行，乙漁船以6海里時的速度離開港口向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個半小時后，甲、乙兩漁船相距A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【解答】解：由題意可得：（海里），（海里），，故，（海里），答：甲、乙兩漁船相距15海里，故選：．多走幾步路，就可以留下一片期待的綠色．如圖，學(xué)校有一塊長方形草坪，有少數(shù)同學(xué)為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”．請你算一算，其實(shí)這些同學(xué)僅僅少走多少步路，卻踩傷了花草，留下不文明的形象．（假設(shè)1步為【解答】解：根據(jù)勾股定理可得斜邊長是：，則少走的距離是，步為，答：這些同學(xué)僅僅少走少了4步．勾股定理的應(yīng)用（最短長度）如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條長16的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)是圓柱形的高，當(dāng)吸管底部在地面圓心時吸管在罐內(nèi)部分最短，此時就是圓柱形的高，即；，當(dāng)吸管底部在飲料罐的壁底時吸管在罐內(nèi)部分最長，，此時，所以．故選：．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是，內(nèi)壁高．若這支鉛筆長為，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：，，在中：，所以，．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在之間．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)符合題意．故選：．如圖，將一根長為的吸管，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為，則的取值范圍是．【解答】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，最短，此時，故；當(dāng)吸管豎直插入水杯時，最大，此時．故答案為：．一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為，高為，吸管放進(jìn)杯里（如圖），杯口外面至少要露出，為節(jié)省材料，管長的取值范圍是．【解答】解：吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時最短為；最長時與底面直徑和高正好組成直角三角形，底面直徑為．杯里面管長為，總長為故管長的取值范圍是．勾股定理的應(yīng)用（臺風(fēng)問題）我市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由點(diǎn)行駛向點(diǎn)，已知點(diǎn)為一海港，且點(diǎn)與直線上兩點(diǎn)，的距離分別為和，且，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求證：；（2）海港受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺風(fēng)的速度為，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【解答】解：（1），，，．是直角三角形，；（2）海港受臺風(fēng)影響．理由如下：如圖，過點(diǎn)作于．，，，海港受到臺風(fēng)影響；（3）當(dāng)，時，正好影響港口．在中，由勾股定理得，，臺風(fēng)的速度為，．臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為．如圖，有兩條公路，相交成，沿公路方向離點(diǎn)80米處有一所學(xué)校，當(dāng)重型運(yùn)輸卡車沿道路的方向行駛時，以為圓心，50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車與學(xué)校的距離越近噪聲影響越大，若重型運(yùn)輸卡車沿道路方向行駛的速度為5米秒．（1）求卡車對學(xué)校的噪聲影響最大時，卡車與學(xué)校的距離；（2）求卡車沿道路方向行駛一次，它給學(xué)校帶來噪聲影響的總時間．【解答】解：（1）過點(diǎn)作于，，米，米，卡車對學(xué)校的噪聲影響最大時，卡車與學(xué)校的距離為40米；（2）當(dāng)米時，則卡車在段對學(xué)校有影響，由（1）知米，（米，（米，（秒，卡車沿道路方向行駛一次，它給學(xué)校帶來噪聲影響的總時間為12秒．某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過，如圖，一輛小汽車在該筆直路段上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀的正前方的點(diǎn)處，后小汽車行駛到點(diǎn)處，測得此時小汽車與車速檢測儀間的距離為．（1）求的長．（2）這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，，，，答：的長為；（2）這輛小汽車超速了，理由如下：該小汽車的速度為，這輛小汽車超速了．折疊問題已知，如圖長方形中，，，將此長方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的面積為A． B． C． D．【解答】解：將此長方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，．．，根據(jù)勾股定理可知．解得．的面積為．故選：．如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重疊部分的面積為10．【解答】解：易證，，設(shè)，則，在中，，解之得：，，．故答案為：10如圖，矩形紙片中，，，現(xiàn)把矩形紙片沿對角線折疊，點(diǎn)與重合，求的長．【解答】解：四邊形是矩形，，，，由折疊得：，，，，，，設(shè)，則：，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，．如圖所示，折疊長方形一邊，點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，已知厘米，厘米．（1）求與的長．（2）求的長．【解答】解：（1）折疊后的圖形是，，，．，．又，在中，根據(jù)勾股定理，得，，．（2）設(shè)的長為，則．在中，根據(jù)勾股定理，得：，，即，化簡，得，，故的長為．1．在中，若斜邊，則等于A．5 B．10 C．20 D．25【解答】解：在中，斜邊，，故選：．2．如圖，在中，，，，則A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：在中，，由勾股定理得：．故選：．3．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為41，則直角三角形較短的直角邊與較長的直角邊的比的值是A． B． C． D．【解答】解：小正方形的面積為1，小正方形的邊長為1，，大正方形的面積為41，，，解得，（不合題意，舍去），，，故選：．4．已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為，則斜邊長為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，根據(jù)勾股定理得：，，，即，則．故選：．5．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3【解答】解：、，即三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)正確；、，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯誤；、，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯誤；、，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯誤；故選：．6．滿足下列條件的，不是直角三角形的是A． B． C． D．【解答】解：則是直角三角形；，設(shè)，，，，是直角三角形；，則，，是直角三角形；，設(shè)、、分別為、、，則，解得，，則、、分別為，，，不是直角三角形；故選：．7．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D．，，【解答】解：、，此選項(xiàng)不符合題意；、，此選項(xiàng)符合題意；、，此選項(xiàng)不符合題意；、