九年級(jí)數(shù)學(xué)全冊(cè)知識(shí)講解及鞏固練習(xí)：由平行線截得的比例線段知識(shí)講解

PAGE由平行線截得的比例線段知識(shí)講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握平行線截線段成比例的基本事實(shí)及應(yīng)用；2、理解并掌握通過(guò)平行線截比例線段的基本事實(shí)等分一條已知線段；2、經(jīng)歷運(yùn)用分類(lèi)思想針對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的不同位置分別探究的過(guò)程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、化歸和分類(lèi)討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線截線段成比例基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例已知如圖，直線l1、l2、l3是一組等距離的平行線，l4、l5是任意畫(huà)的兩條直線，分別于這組平行線一下相交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，則比例式成立.要點(diǎn)詮釋：上圖的變式圖形：分A型和X型；A型X型則常用的比例式：依然成立.要點(diǎn)二、把已知線段AB五等分.已知線段AB，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖把線段AB五等分.作法以A為端點(diǎn)作一條射線，并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.連結(jié)A5B，并過(guò)點(diǎn)A1，A2，A3，A4分別作A5B的平行線，依次交AB于點(diǎn)B1，B2，B3，B4.則點(diǎn)B1，B2，B3，B4就是所求作的把線段AB五等分的點(diǎn).依據(jù)：實(shí)際上，過(guò)點(diǎn)A作l∥A5B，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)，就可以得到如下關(guān)系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴點(diǎn)B1，B2，B3，B4把線段AB五等分.要點(diǎn)詮釋：在射線上截取等長(zhǎng)的線段時(shí)使用的作圖工具是圓規(guī),不能使用直尺進(jìn)行量取,尺規(guī)作圖中的直尺是沒(méi)有刻度的,它的用途是畫(huà)線或者連線.【典型例題】類(lèi)型一、平行線截線段成比例1.（2016?蘭州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】直接利用平行線分線段成比例定理寫(xiě)出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故選C．【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)定義或定理，難度不大．舉一反三【變式】如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）.A.B.13C.D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)度，然后根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)列式表示出EF、EH的長(zhǎng)度之和，再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形，即可得解．【答案與解析】在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

根據(jù)勾股定理，AC=BD===，

∵EF∥AC∥HG，

∴，

∵EH∥BD∥FG，

∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（EF+EH）=．

故選D．【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例的基本事實(shí)，矩形的對(duì)角線相等，勾股定理，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)求出是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．.3.如圖，AM是△ABC的中線，P是AM上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、D兩點(diǎn).求證：DE∥BC.【答案與解析】延長(zhǎng)AM到H，使HM=MP，連接BH、CH

∵BM=MC

∴四邊形BPCH是平行四邊形

∵BH∥CD，CH∥BE

在△ABH和△ACH中，

有，∴DE∥BC

【總結(jié)升華】平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，而兩條平行線中的線段與所截得的線段不成比例.舉一反三

【變式】如圖，在△ABC（AB＞AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求證：.【答案】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交DP于點(diǎn)F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.4.如圖已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.

【答案與解析】∵AB=AC，AD⊥BC

∴BD=DC

∵DN∥CP

∴BN=NP又AM=MD

∴AP=PN==2cm【總結(jié)升華】此題利用平行線截線段成比例的基本事實(shí)，結(jié)合中點(diǎn)定義找出線段的比值，進(jìn)而求出線段的長(zhǎng).舉一反三【變式】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（）B.2C.D.【答案】D.提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直線l1∥l2∥l3，∴=.5把已知線段a(如圖)三等分.【答案與解析】作法1.把已知線段a的兩端點(diǎn)分別標(biāo)注字母A，B，再以A為端點(diǎn)作一條射線，并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A35.