專題2.5 有理數(shù)的乘方【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題2.5有理數(shù)的乘方【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1乘方的意義】 1【題型2乘方運算的符號規(guī)律】 2【題型3根據(jù)乘方運算判斷整除問題】 2【題型4根據(jù)乘方運算解決進制問題】 3【題型5根據(jù)乘方運算判斷末位數(shù)字問題】 4【題型6含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】 5【題型7含乘方的新定義問題】 6【題型8應用乘方解決實際問題】 8【題型9科學記數(shù)法的表示與還原】 9【題型10近似數(shù)的表示】 10【知識點1有理數(shù)乘方的概念】求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【題型1乘方的意義】【例1】（2023春·廣西來賓·七年級統(tǒng)考期中）（﹣2）4表示的意義是（）A．﹣2×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） B．﹣2+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）C．﹣2×4 D．2×2×2×2【變式1-1】（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州市工業(yè)園區(qū)第一中學校考階段練習）如圖，寫成冪的形式．2×2×???×2【變式1-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鬹為正整數(shù)，則(k3)A．4個k3相加 B．3個k4相加 C．4個k3相乘 D．7個【變式1-3】（2023春·七年級課時練習）閱讀理解：根據(jù)乘方的意義，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．請你試一試，完成以下題目：（1）a3?a4＝（a?a?a）?（a?a?a?a）＝；（2）歸納、概括：am?an＝；（3）如果xm＝4，xn＝9，運用以上的結(jié)論，計算：xm+n＝．【知識點2有理數(shù)乘方的運算】（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．【題型2乘方運算的符號規(guī)律】【例2】（2023春·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）計算（-2）11+（-2）10的值是（）A．-2 B．（-2）21 C．0 D．-210【變式2-1】（2022秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）若x-2+y+32=0【變式2-2】（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期中）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的一組是（

）A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32【變式2-3】（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）若x是有理數(shù)，則x2＋1一定（

）A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1【知識點3含乘方的混合運算】有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．【題型3根據(jù)乘方運算判斷整除問題】【例3】（2023春·重慶北碚·七年級江北中學?？茧A段練習）閱讀理解題，閱讀材料：設正整數(shù)a可以寫成a=an1000n+若a0+a2+?-a反之，若a能被13整除，則a0+a比如：①3055=3×1000+55，因為55-3=52=13×4，能被13整除，所以3055能被13整除②2052596=2×因為596+2-52=546=13×42，能被13整除，所以2052596能被13③2771855489=2×因為489+771-855+2=403=13×31，能被13整除，所以2771855489（1）按照上面提供的方法，試判斷4060698967能否被13整除，并寫出過程；（2）若7位正整數(shù)307552m能被13整除，試求m的值.【變式3-1】（2022秋·浙江·七年級專題練習）試說明257+5【變式3-2】（2022秋·全國·七年級期中）當自然數(shù)n的個位數(shù)分別為0，1，2，…，9時，n2n個位數(shù)0123456789n20149656941n30187456329n40161656161······在10，11，12，13這四個數(shù)中，當n=時，和數(shù)2001n+2002【變式3-3】（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？奸_學考試）閱讀下列材料，回答問題：材料一：在大于1的整數(shù)中，除了能被1和本身整除外，還能被其它數(shù)（0除外）整除的數(shù)，稱為合數(shù)．材料二：若一個各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零的四位數(shù)，其千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相等，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相等，且該數(shù)前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)和后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)都是合數(shù)，則稱該數(shù)為“對稱合數(shù)”，如2552，6886都是“對稱合數(shù)”．（1）最小的“對稱合數(shù)”為_________，最大的“對稱合數(shù)”為_________；（2）若“對稱合數(shù)”的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)和后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之和是完全平方數(shù)，求滿足條件的所有“對稱合數(shù)”的個數(shù)，并把它們寫出來．【題型4根據(jù)乘方運算解決進制問題】【例4】（2022秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）計算機利用的是二進制數(shù)，它共有兩個數(shù)碼0，1，將一個十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制，只需把該數(shù)寫出若干2n數(shù)的和，依次寫出1或0即可．如1910=16+2+1=1×24A．10位數(shù) B．11位數(shù) C．12位數(shù) D．13位數(shù)【變式4-1】（2023春·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）A．84 B．336 C．510 D．1326【變式4-2】（2022秋·浙江溫州·七年級?？计谥校┻h古美索不達米亞人創(chuàng)造了一套以60進制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，對于大于59的數(shù)，美索不達米亞人則采用六十進制的位值記法，位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留空，例如：，左邊的表示2×602，中間的表示3×60，右邊的表示1個單位，用十進制寫出來是7381．若楔形文字記數(shù)，表示十進制的數(shù)為（）A．4203 B．3603 C．3723 D．4403【變式4-3】（2023春·重慶·七年級重慶八中?？计谥校┪覀兺ǔＳ玫降臄?shù)我們稱之為十進制數(shù)，在表示十進制數(shù)時，我們需要用到10個數(shù)的數(shù)碼：0，1，····，9：例如：9810···，如果用我們剛學習過的乘方運算來表示，那么9810=9000+800+10+0=9103+8102+1101+0，在表示三進制數(shù)時，我們需要用到三個數(shù)碼：0，1，2，例如：三進制數(shù)201=2×32+0×31+1，等于十進制的數(shù)【題型5根據(jù)乘方運算判斷末位數(shù)字問題】【例5】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，則3+32+33+34+35+…+32019的末位數(shù)字是．【變式5-1】（2023春·湖南湘潭·七年級湘潭電機子弟中學?？茧A段練習）數(shù)72020的末位數(shù)字是（

A．1 B．3 C．7 D．9【變式5-2】（2022秋·全國·七年級期中）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9A．3 B．5 C．7 D．9【變式5-3】（2022秋·湖南邵陽·七年級校聯(lián)考期中）已知a=-3，b=4，那么a2022+bA．3 B．5 C．7 D．無法確定【題型6含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】【例6】（2023春·廣東汕頭·七年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上O、A兩點的距離為4，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4,A5【變式6-1】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）“數(shù)形結(jié)合"是一種重要的數(shù)學思想，觀察下面的圖形和算式.1+3=4=21+3+5=9=31+3+5+7=16=41+3+5+7+9=25=5解答下列問題：(1)試猜想1+3+5+7+9+…+19=______=（）2；(2)試猜想，當n是正整數(shù)時，1+3+5+7+9+…+(2n-1)=；(3)請用（2）中得到的規(guī)律計算：19+21+23+25+27+…+99.【變式6-2】（2022秋·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）觀察下面三行數(shù)：2，-4，8，-16，32，-64，……；

①0，-6，6，-18，30，-66，……；

②-1，2，-4，8，-16，32，……；

③觀察發(fā)現(xiàn)：每一行的數(shù)都是按一定的規(guī)律排列的．通過你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題．（1）第①行的第8個數(shù)是________，第n個數(shù)是________；（2）第②行的第n個數(shù)是________，第③行的第n個數(shù)是________；（3）取每行數(shù)的第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．【變式6-3】（2023·浙江·七年級期中）觀察下列由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖1所示：共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖2所示：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖3所示：共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見；…….（1）寫出第6個圖中看不見的小立方體有______個；（2）猜想并寫出第n個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為______個.【題型7含乘方的新定義問題】【例7】（2022秋·全國·七年級期末）在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學習自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)——“和平數(shù)”．定義：對于一個正整數(shù)m，若將其各個數(shù)位上的數(shù)字分別平方后取其個位數(shù)字，順次排列后，得到一個新數(shù)n，則稱n是m的“和平數(shù)”．例如：m=354，將其各個數(shù)位上的數(shù)字分別平方后得到的數(shù)為9，25，16，它們的個位數(shù)字依次為9，5，6，那么m=354的“和平數(shù)”n為956．(1)求178的“和平數(shù)”與2035的“和平數(shù)”；(2)若一個三位正整數(shù)x的“和平數(shù)”是195，求滿足條件的所有x的值．【變式7-1】（2023·全國·九年級專題練習）定義運算：a*b=aba≤b，【變式7-2】（2022秋·江蘇南京·七年級校考階段練習）概念學習規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作-3④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷???÷an個a（a≠0）記作a?，讀作“初步探究（1）直接寫出計算結(jié)果：2③=，-12（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B．對于任何正整數(shù)n，1的圈n次方都等于1；

C．3④D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式．-3的圈4次方＝；5的圈5次方＝；(-12)的圈6次方＝（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于________；（3）算一算：24÷2【變式7-3】（2022秋·全國·七年級專題練習）請認真閱讀下面材料，并解答下列問題．如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因為指數(shù)式22＝4，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log24＝2；②因為指數(shù)式42＝16，所以以4為底16的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log416＝2.（1）請根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對數(shù)式：①62＝36；②43＝64；（2）將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：①log525＝2；②log327＝3；（3）計算：log232【題型8應用乘方解決實際問題】【例8】（2022秋·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）下列情景描述的結(jié)果與25相符的是（填寫所有正確選項的序號）①把一張報紙沿同一方向連續(xù)對折5次得到的后折痕條數(shù)；②把一團和好的面，揉搓成一根長條后，連續(xù)拉扣5次得到的面條根數(shù)③細胞分裂時，由1個分裂成2個，由2個分裂成4個，以此類推，一個這樣的細胞分裂5次形成的細胞個數(shù)．【變式8-1】（2022秋·浙江·七年級期中）小王在word文檔中設計好一張A4規(guī)格的表格根據(jù)要求，這種規(guī)格的表格需要設計1000張，小王欲使用“復制一粘貼”（用鼠標選中表格，右鍵點擊“復制”，然后在本word文檔中“粘貼”）的辦法滿足要求．請問：小王需要使用“復制一粘貼”的次數(shù)至少為（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【變式8-2】（2022秋·四川成都·七年級四川省成都市七中育才學校校考期中）《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完，若按此方式截一根長為1的木棍，第4天截取后木棍剩余的長度是．【變式8-3】（2023春·安徽亳州·七年級?？计谥校┘毦敝硶r，一個細菌分裂成兩個，一個細菌在分裂n次后，數(shù)量變?yōu)?n個，有一種細菌分裂速度很快，它每12min分裂一次，如果現(xiàn)在盤子里有1000個這樣的細菌，那么60min后，盤子里有多少個細菌？2h后細菌的個數(shù)是【知識點4科學記數(shù)法的表示】科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．（科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．【題型9科學記數(shù)法的表示與還原】【例9】（2023春·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2022年全國夏糧總產(chǎn)量約14700萬噸，比去年增加143.4萬噸，我國夏糧生產(chǎn)連續(xù)兩年實現(xiàn)增長．數(shù)據(jù)14700萬噸用科學記數(shù)法表示為（

）

A．1.47×104噸 B．0.147×105噸 C．1.47×10【變式9-1】（2022秋·福建廈門·七年級福建省廈門第六中學校考期中）一個正整數(shù)將其用科學記數(shù)法表示為a×108，則下列說法正確的是（A．這個正整數(shù)是一個8位數(shù) B．這個正整數(shù)是一個9位數(shù)C．這個正整數(shù)一定有8個0 D．這個正整數(shù)一定有9個0【變式9-2】（2023春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）月球的直徑大約是3476千米，太陽直徑大約是月球直徑的400倍，那么太陽的直徑用科學記數(shù)法表示約為（）A．0.139×107千米 B．