1.2.1.5直線與平面平行的性質

第二章點、直線、平面之間的位置關系2.2直線、平面平行的判定及其性質2.2.3

直線與平面平行的性質1自主預習學案2互動探究學案3課時作業(yè)學案自主預習學案將一本書打開，扣在桌面上，使書脊所在的直線與桌面平行，觀察過書脊的每頁紙和桌面的交線與書脊的位置．直線與平面平行的性質定理平行α∩β＝b

平行1．直線a∥平面α，α內有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有 (

)A．0條 B．1條C．0或1條 D．無數(shù)條[解析]

a∥α，在平面α內，n條相交直線中與直線a平行的直線可能有1條，也可能沒有．C

2．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a、b、c…，那么這些交線的位置關系為 (

)A．都平行B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點D．都平行或交于同一點[解析]

因為直線l∥平面α，所以根據直線與平面平行的性質知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A．A

3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于______．4．如圖所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC、BD與α分別相交于點C、D.求證：AC＝BD．[解析]

如圖所示，連接CD，∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面β，又∵AB∥α，AB?β，α∩β＝CD，∴AB∥CD．∴四邊形ABDC是平行四邊形．∴AC＝BD．互動探究學案命題方向1

?線面平行的性質定理

求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[思路分析]

如何將線面平行轉化為線線平行是本題關鍵．典例1[解析]

已知直線a、l，平面α、β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求證：a∥l．證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c．又∵b?β，c?β，∴b∥β．又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．『規(guī)律方法』

(1)已知線面平行，一般直接考慮用性質，利用構造法找或作出經過直線的平面與已知平面相交得交線．(2)要證線線平行，可把它們轉化為線面平行．

〔跟蹤練習1〕如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB的中點，過A、N、D三點的平面交PC于點M，求證：AD∥MN．[解析]

∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，又BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC，又AD?平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN．命題方向2

?直線與平面平行的性質定理的應用

如右圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，如何作出過點A1、B、C1的平面與平面ABC的交線？并說明理由．典例2[思路分析]要作兩平面的交線，只需兩平面的兩個公共點，而題目中只有一個公共點B，所以要利用線面平行的性質定理作出來，然后證明．[解析]

在平面ABC中，過點B作直線l，使l∥AC，則l即為平面BA1C1與平面ABC的交線．證明如下：在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC?平面ABC，A1C1?平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．又A1C1?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l．又∵直線l過點B，且l?平面ABC．根據線面平行的性質定理，l即為所求．轉化思想在立體幾何線線與線面平行中的應用1．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點，G、H分別為SB、BD上的點，若GH∥平面SCD，則(

)A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能[解析]

∵GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD．B

2．對于直線m、n和平面α，下面敘述正確的是(

)A．如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α，n與α相交，那么m、n是異面直線C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．已知異面直線l、m，且l∥平面α，m?平面α，l?平面β，α∩β＝n，則直線m、n的位置關系是________．[解析]

由于l∥平面α，l?平面β，α∩β＝n，則l∥n.又直線l、m異面，則直線m、n相交．C

相交4．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求證：四邊形BCFE是梯形．[解析]

∵四邊形ABCD為矩形，∴