高考數學復習 第十二章 幾何證明選講 理試題

【大高考】（五年高考真題）2016屆高考數學復習第十二章幾何證明選講理（全國通用）考點一相似三角形的判定與性質1．(2015·廣東，15)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1，過圓心O做BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD＝________．解析如圖所示，連接OC，因為OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC.又O為AB線段的中點，所以OP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).在Rt△OCD中，OC＝eq\f(1,2)AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，即OD＝eq\f(OC2,OP)＝eq\f(22,\f(1,2))＝8，故應填8.答案82．(2014·天津，6)如圖，△ABC是圓的內接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結論的序號是()A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④解析①∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，故∠FBD＝∠CBD，即①正確．由切割線定理知②正確．③△BED∽△AEC，故eq\f(BE,DE)＝eq\f(AE,CE)，當DE≠CE時，③不成立．④△ABF∽△BDF，故eq\f(AB,AF)＝eq\f(BD,BF)，即AB·BF＝AF·BD，④正確．故①②④正確，選D.答案D3．(2012·北京，5)如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析由切割線定理可知CE·CB＝CD2.又由平面幾何知識知△ADC∽△CDB，得相似比：eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,DC)，即AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB，故選A.答案A4．(2014·廣東，15)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則eq\f(△CDF的面積,△AEF的面積)＝________．解析依題意得△CDF∽△AEF，由EB＝2AE可知AE∶CD＝1∶3.故eq\f(△CDF的面積,△AEF的面積)＝9.答案95.(2013·陜西，15B)如圖，弦AB與CD相交于⊙O內的一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知PD＝2DA＝2，則PE＝________.解析易知∠BCE＝∠PED＝∠BAP，∴△PDE∽△PEA，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PE)，又PD＝2DA＝2，∴PA＝3，PE2＝PA·PD＝6，故PE＝eq\r(6).答案eq\r(6)6.(2013·湖北，15)如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E，若AB＝3AD，則eq\f(CE,EO)的值為________．解析設圓半徑為R，則AD＝eq\f(2,3)R，DO＝eq\f(R,3)，由射影定理知OD2＝OE·OC，∴eq\f(R2,9)＝OE×R，∴OE＝eq\f(R,9)，∴CE＝OC－OE＝R－eq\f(R,9)＝eq\f(8,9)R，∴eq\f(CE,EO)＝8.答案87．(2012·陜西，15B)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝________.解析圓的半徑OC＝3，OE＝2，CE＝DE＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).而△DFE∽△DEB，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,DB)，DF·DB＝DE2＝5.答案58.(2015·江蘇，21)如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D.求證：△ABD∽△AEB.證明因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB.考點二圓的初步1．(2015·天津，5)如圖，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經過點M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，則線段NE的長為()A.eq\f(8,3) B．3 C.eq\f(10,3) D.eq\f(5,2)解析根據相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB＝eq\f(2,9)AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝eq\f(2,9)AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝eq\f(8,3).選A.答案A2．(2015·重慶，14)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，則BE＝________．解析首先由切割線定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝eq\f(62,3)＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，再有相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝eq\f(CE·ED,AE)＝eq\f(6×3,9)＝2.答案23．(2014·湖北，15)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C，D兩點．若QC＝1，CD＝3，則PB＝________．解析由切割線定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q為PA的中點，∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.答案44.(2014·湖南，12)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于________．解析設AO與BC交于點M，∵AO⊥BC，BC＝2eq\r(2)，∴BM＝eq\r(2)，又AB＝eq\r(3)，∴AM＝1.設圓的半徑為r，則r2＝(eq\r(2))2＋(r－1)2，解得r＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．(2014·陜西，15B)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F，若AC＝2AE，則EF＝______．解析∵四邊形BCFE內接于圓，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A為公共角，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AC)，又∵BC＝6，AC＝2AE，∴EF＝3.答案36.(2013·北京，11)如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________；AB＝________.解析由于PD∶DB＝9∶16，設PD＝9a，DB＝16a，根據切割線定理有PA2＝PD·PB，即9＝9a·(9a＋16a)，解得a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5，在Rt△PBA中，有AB＝4.答案eq\f(9,5)47.(2012·湖南，11)如圖，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．解析如圖，取AB的中點C，連接OB、OC，則OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝eq\r(OP2－CP2)＝eq\r(5).∴圓O的半徑為OB＝eq\r(OC2＋CB2)＝eq\r(6).答案eq\r(6)8．(2011·天津，12)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE與圓相切，則線段CE的長為________．解析由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，由于AF＝2FB，可解得BF＝1，所以BE＝eq\f(1,2).由切割線定理得CE2＝EB·EA＝eq\f(7,4)，即CE＝eq\f(\r(7),2).答案eq\f(\r(7),2)9．(2015·湖南，16)如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.證明(1)如圖所示，因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四邊形的內角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得FE·FN＝FM·FO.10．(2015·陜西，22)如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C.(1)證明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝eq\r(2)，求⊙O的直徑．(1)證明因為DE為⊙O直徑，則∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，從而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于點B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，則eq\f(BA,BC)＝eq\f(AD,CD)＝3，又BC＝eq\r(2)，從而AB＝3eq\r(2)，所以AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3，由切割線定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq\f(AB2,AD)＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直徑為3.11．(2015·新課標全國Ⅱ，22)如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M、N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB、AC分別相切于E、F兩點．(1)證明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四邊形EBCF的面積．(1)證明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線．又因為⊙O分別與AB，AC相切于點E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.從而EF∥BC.(2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線，又EF為⊙O的弦，所以O在AD上．連接OE，OM，則OE⊥AE.由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形．因為AE＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2.因為OM＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四邊形EBCF的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10\r(3),3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(16\r(3),3).12．(2014·新課標全國Ⅱ，22)如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B、C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.證明(1)連接AB，AC.由題設知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因為∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，從而eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(EC,\s\up8(︵)).因此BE＝EC.(2)由切割線定理得PA2＝PB·PC.因為PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.13．(2014·新課標全國Ⅰ，22)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的