2022屆高考物理一輪復(fù)習(xí) 第47講 磁場對運(yùn)動電荷的作用 講義

第四十七講磁場對運(yùn)動電荷的作用

雙基知識：

一、洛倫茲力的大小和方向

1.洛倫茲力的定義

磁場對運(yùn)動電荷的作用力.

2.洛倫茲力的大小

(1加〃8時(shí),C=0；

(2)0_1_5時(shí),F=qvB；

(3)0與8的夾角為。時(shí)，F(xiàn)=qvBsin6.

3.洛倫茲力的方向

(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動的方向或負(fù)電荷運(yùn)動

的反方向；

(2)方向特點(diǎn)：FIB,Flv,即尸垂直于8、0決定的平面.(注意8和。可以有

任意夾角)

4.做功：洛倫茲力不做功。

二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

1.若帶電粒子以入射速度。做勻速直線運(yùn)動。

2.若時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度。做勻速圓周運(yùn)

動。

3.基本公式：⑴向心力公式：qvB=nt--,

(2)軌道半徑公式：r=黃；

(3)周期公式：丁=鬻。

注意：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的周期與速率無關(guān)。

考點(diǎn)一對洛倫茲力的理解和應(yīng)用

1.洛倫茲力的特點(diǎn)

⑴利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。

(2)運(yùn)動電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用。

(3)洛倫茲力方向始終與速度方向垂直，洛倫茲力一定不做功。

2.與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

（1）安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。

（2）安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動電荷不做功。

3.洛倫茲力與電場力的比較

洛倫茲力電場力

產(chǎn)生條件oWO且v不與B平行電荷處在電場中

大小F=qvB（v工B）F=qE

力方向與場方向的關(guān)系FIB,FLvF//E

做功情況任何情況下都不做功可能做功，也可能不做功

【典例11（多選）如圖2所示，ABC為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中A3

為傾斜直軌道，BC為與AB相切的圓形軌道，并且圓形軌道處在勻強(qiáng)磁場中，

磁場方向垂直于紙面向里.質(zhì)量相同的甲、乙、丙三個(gè)小球（均可視為質(zhì)點(diǎn)）中,

甲球帶正電、乙球帶負(fù)電、丙球不帶電.現(xiàn)將三個(gè)小球在軌道上分別從不同

高度處由靜止釋放，都恰好通過圓形軌道的最高點(diǎn)，則（）

A.經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，三個(gè)小球的速度相等

B.經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，甲球的速度最小

C.甲球的釋放位置比乙球的位置高

D.運(yùn)動過程中三個(gè)小球的機(jī)械能均保持不變

答案CD

解析設(shè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,圓形軌道半徑為r,三個(gè)小球質(zhì)量均

2

為它們恰好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度分別為0甲、。乙和。丙，則甲o(hù)甲8=――,

乙J2丙2?

mg—qjVuB=~mg=~顯然，vV>v^>vc,選項(xiàng)A、B錯誤；三個(gè)小

球在運(yùn)動過程中，只有重力做功，即它們的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)D正確；甲球在

圓形軌道最高點(diǎn)處的動能最大，因?yàn)閯菽芟嗟?，所以甲球的機(jī)械能最大，甲球的

釋放位置最高，選項(xiàng)C正確.

【典例2】（多選）如圖1所示，粗糙木板MN豎直固定在方向垂直紙面向里的勻

強(qiáng)磁場中。f=0時(shí)，一個(gè)質(zhì)量為〃2、電荷量為q的帶正電物塊沿MN以某一初速

度豎直向下滑動，則物塊運(yùn)動的。一/圖像可能是（）

CD

答案ACD

解析設(shè)初速度為0o,貝UFN=q0o5,若滿足,咫=/7="\,即mg="10o5,物

塊向下做勻速運(yùn)動，選項(xiàng)A正確；若mg>^qvnB,則物塊開始有向下的加速度，

由。=巧髻生可知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度減小的加

速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選項(xiàng)D正確；若/ngV/zgooB,則物塊開始有向上

的加速度，做減速運(yùn)動，由。=畫喑駕可知，隨速度減小，加速度減小，即

物塊先做加速度減小的減速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，則選項(xiàng)C正確。

考點(diǎn)二帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動

1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的思想方法

一般說來，要把握好“一找圓心，二定半徑，三求時(shí)間”的分析方法。在具

體問題中，要依據(jù)題目條件和情景而定。解題的理論依據(jù)主要是由牛頓第二定律

列式：卯8=4,求半徑L翡及運(yùn)動周期丁=爭=翳。

2.兩種方法定圓心

方法一若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力FLv,

分別確定兩點(diǎn)處速度的垂線，其交點(diǎn)即為圓心，如圖(a)。

方法二若已知粒子運(yùn)動軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，則可作出

此兩點(diǎn)的連線(即過這兩點(diǎn)的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與速度方向的垂線的交

點(diǎn)即為圓心，如圖(b)。

(a)(b)

3.幾何知識求半徑

利用平面幾何關(guān)系，求出軌跡圓的可能半徑（或圓心角），求解時(shí)注意以下幾

個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：0*（偏向角）

（1）粒子速度的偏向角”）等于圓心角3）,并等于AB弦與切勿/\

線的夾角（弦切角。）的2倍（如圖所示），即9=a=20=Q）t。

（2）直角三角形的應(yīng)用（勾股定理）。

找到A3的中點(diǎn)C,連接0C,則△AOC、AB0C都是直角

三角形。

4.求時(shí)間的兩種方法

方法一：由運(yùn)動弧長計(jì)算，f=（（/為弧長）；

方法二：由偏轉(zhuǎn)角度計(jì)算，片焉《或尸初。

5.三類邊界磁場中的軌跡特點(diǎn)

（1）直線邊界：進(jìn)出磁場具有對稱性。

、?'

0

圖a中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間f=,=咪

LQD

圖b中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間―（1_沁（好第=2"?（/）

圖C中粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間7=裁

（2）平行邊界：存在臨界條件。

帶電粒子在平行邊界磁場中運(yùn)動時(shí)的半徑R與平行邊界距離d之間的關(guān)系如圖

所示。

</=/?)(1-C0S0)

d=2R2d=Rsin6</=/?(!+cos。)J=/?(l-cos0)

丙T

（3）圓形邊界：等角進(jìn)出，沿徑向射入必沿徑向射出

粒子做圓周運(yùn)動的半徑尸=備

粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間/=夕=鬻，6>+?=90°

【典例3】如圖所示，一個(gè)理想邊界為P0、MN的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場寬度

為d,方向垂直紙面向里。一電子從。點(diǎn)沿紙面垂直P。以速度如進(jìn)入磁場。若

電子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為2d。。，在MN上，且。。與MN垂直。下列判斷

正確的是（）0Q

A.電子將向右偏轉(zhuǎn)左飛xxhx2右

B.電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為d"°,”

C.電子打在上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為小d

D.電子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為瑞

D［電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場后，根據(jù)左手定則判斷0,09

可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，如左0：嗖：彳右

圖所示，A錯誤；設(shè)電子打在上的點(diǎn)與。點(diǎn)的距離M

為x,則由幾何知識得：x=r—ylr2—d2=2d—yl（2d）2—d2=（2故B、C

d7T

錯誤；設(shè)軌跡對應(yīng)的圓心角為〃，由幾何知識得sin〃=:萩=0.5,得〃=%,則電

OrTTfl

子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為￡=一=W一,故D正確。］

【典例4】如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，

P為磁場邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過尸點(diǎn)，在紙面內(nèi)

沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為這些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布

長

在六分之一圓周上;若粒子射入速率為V2,相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。

不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則。2：切為（）

A.小：2B.啦：1

C.?。?D.3：近

C［相同的帶電粒子垂直勻強(qiáng)磁場入射均做勻速圓周運(yùn)動。粒子以0入射,

一端為入射點(diǎn)P,對應(yīng)圓心角為60。（對應(yīng)六分之一圓周）的弦PP必為垂直該弦入

射粒子運(yùn)動軌跡的直徑2打，如圖甲所示，設(shè)圓形區(qū)域的半徑為R,由幾何關(guān)系

知ri=；R。其他不同方向以也入射的粒子的出射點(diǎn)在PP對應(yīng)的圓弧內(nèi)。同理

可知，粒子以也入射及出射情況，如圖乙所示。由幾何關(guān)系知「2

坐電可得「2：為=?。?。因?yàn)闄C(jī)、夕、5均相同，由公式r=各可得y8r,所

以V2：也=5：lo故選C。］

【典例5】如圖所示，邊長為I的正方形abed內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小為B,方向垂直于紙面所在平面）向外。ah邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O,

可向磁場內(nèi)沿垂直于"邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為上則從。、d兩

點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為（）

A.^kBl,小姐/B./kBh永B/

C.^kBl,興kBID.gkBI,^kBl

B［若電子從a點(diǎn)射出，運(yùn)動軌跡如圖線①，有q為5=/n祟，解得

K-a4

警=需=竽，若電子從d點(diǎn)射出，運(yùn)動軌

Va

跡如圖線②，有qVdB—nr^,放=(&—§+/2,解

qBRdSqBl5kBl.^&

得1n=41n4，選項(xiàng)B正確。1

考點(diǎn)三帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界和多解問題

1.臨界問題常用的四個(gè)結(jié)論

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相切。

（2）當(dāng)速率v一定時(shí)，弧長越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)

動的時(shí)間越長。

(3)當(dāng)速率。變化時(shí)，圓心角大的，運(yùn)動時(shí)間長，解題時(shí)一般要根據(jù)受力情

況和運(yùn)動情況畫出運(yùn)動軌跡的草圖，找出圓心，再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑及圓心

角等。

(4)在圓形勻強(qiáng)磁場中，當(dāng)運(yùn)動軌跡圓半徑大于區(qū)域圓半徑時(shí)，入射點(diǎn)和出

射點(diǎn)為磁場直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，軌跡對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦長中直徑最長)。

解決臨界極值問題的方法技巧

⑴數(shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合：如利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利

用“三角函數(shù)''”不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值。

(2)一個(gè)“解題流程”突破臨界問題

臨界點(diǎn)

I思維I

粒子速半徑

--A

度方向方向

⑶從關(guān)鍵詞找突破口：題干中常用“恰好""最大""至少”“不相撞”“不脫離”

等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱含

的規(guī)律，找出臨界條件。

2.帶電粒子在磁場中運(yùn)動的多解問題

類型分析圖例

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也

可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子

帶電粒子電XX/X\

在磁場中運(yùn)動軌跡不同，形成多解

性不確定

如圖，帶電粒子以速度。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如

帶正電，其軌跡為。；如帶負(fù)電，其軌跡為人

只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)

度方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定

一

磁場方向不而形成多解

確定如圖，帶正電粒子以速度。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，

若8垂直紙面向里，其軌跡為a,若3垂直紙面

向外，其軌跡為匕

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，由

;x

臨界狀態(tài)不于粒子運(yùn)動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過磁Jxyxx\x

唯一場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180。從入射界面一側(cè)反向

飛出，于是形成多解

運(yùn)動具有周帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運(yùn)動

期性時(shí)，運(yùn)動往往具有周期性，因而形成多解

【典例6】如圖所示，邊界與ON之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，

邊界ON上有一粒子源S。某一時(shí)刻，從粒子源S沿平行于紙面，向各個(gè)方向發(fā)

射出大量帶正電的同種粒子（不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用），所有粒子的

初速度大小相等，經(jīng)過一段時(shí)間后有大量粒子從邊界0M射出磁場。已知NMON

=30°,從邊界OM射出的粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間等于泰了為粒子在磁場

中運(yùn)動的周期），則從邊界0M射出的粒子在磁場中運(yùn)動的最短時(shí)間為（）

A［粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，入射點(diǎn)是S,出射點(diǎn)?

在OM直線上，出射點(diǎn)與S點(diǎn)的連線為軌跡的一條弦。當(dāng)從父冬，攵

邊界0M射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最短時(shí)，軌跡的弦最電*:

短，根據(jù)幾何知識，作ESA-OM,則ES為最短的弦，即粒子從S到E的時(shí)間

最短。由題意可知，粒子運(yùn)動的最長時(shí)間等于;T,此時(shí)軌跡的弦為DS,設(shè)OS

=d,貝"￡>S=0Stan3（）o=ga,粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑為：「=罕

ESd

1024、/5

由幾何知識有ES=OSsin30。=/,sin2=~T=1V=2,則〃=120。,

粒子在磁場中運(yùn)動的最短時(shí)間為：Un=^T=|r,A正確。］

【典例7】（多選）一質(zhì)量為〃?、電荷量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻

強(qiáng)磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動，若磁場方向垂直于

它的運(yùn)動平面，且作用在負(fù)電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負(fù)電荷做圓周

運(yùn)動的角速度可能是（）

mmmm

AC［依題中條件“磁場方向垂直于它的運(yùn)動平面”，磁場方向有兩種可能，

且這兩種可能方向相反。在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場中，由左手定則可知負(fù)電

荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的。當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場力方向

相同時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可知45g=機(jī)3，得。=當(dāng)?shù)朔N情況下，負(fù)電

Km

荷運(yùn)動的角速度為“=9=幽；當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場力方向相反時(shí)，

Km

有2Bqv=4,,此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動的角速度為空、

KmKm

故A、C正確。］

【典例8】如圖所示，在無限長的豎直邊界AC和。E間，上、下部分分別

充滿方向垂直于ADEC平面向外的勻強(qiáng)磁場，上部分區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

Bo,OF為上、下磁場的水平分界線。質(zhì)量為機(jī)、帶電荷量為+q的粒子從AC邊

界上與0點(diǎn)相距為。的P點(diǎn)垂直于AC邊界射入上方磁場區(qū)域，經(jīng)OF上的Q

點(diǎn)第一次進(jìn)入下方磁場區(qū)域，Q與。點(diǎn)的距離為3”。不考慮粒子重力。

(1)求粒子射入時(shí)的速度大小；

(2)要使粒子不從AC邊界飛出，求下方磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件;