2022屆高考物理一輪復(fù)習 第47講 磁場對運動電荷的作用 講義

第四十七講磁場對運動電荷的作用

雙基知識：

一、洛倫茲力的大小和方向

1.洛倫茲力的定義

磁場對運動電荷的作用力.

2.洛倫茲力的大小

(1加〃8時,C=0；

(2)0_1_5時,F=qvB；

(3)0與8的夾角為。時，F(xiàn)=qvBsin6.

3.洛倫茲力的方向

(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運動的方向或負電荷運動

的反方向；

(2)方向特點：FIB,Flv,即尸垂直于8、0決定的平面.(注意8和?？梢杂?/p>

任意夾角)

4.做功：洛倫茲力不做功。

二、帶電粒子在勻強磁場中的運動

1.若帶電粒子以入射速度。做勻速直線運動。

2.若時，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度。做勻速圓周運

動。

3.基本公式：⑴向心力公式：qvB=nt--,

(2)軌道半徑公式：r=黃；

(3)周期公式：丁=鬻。

注意：帶電粒子在勻強磁場中運動的周期與速率無關(guān)。

考點一對洛倫茲力的理解和應(yīng)用

1.洛倫茲力的特點

⑴利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負電荷。

(2)運動電荷在磁場中不一定受洛倫茲力作用。

(3)洛倫茲力方向始終與速度方向垂直，洛倫茲力一定不做功。

2.與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

（1）安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。

（2）安培力可以做功，而洛倫茲力對運動電荷不做功。

3.洛倫茲力與電場力的比較

洛倫茲力電場力

產(chǎn)生條件oWO且v不與B平行電荷處在電場中

大小F=qvB（v工B）F=qE

力方向與場方向的關(guān)系FIB,FLvF//E

做功情況任何情況下都不做功可能做功，也可能不做功

【典例11（多選）如圖2所示，ABC為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中A3

為傾斜直軌道，BC為與AB相切的圓形軌道，并且圓形軌道處在勻強磁場中，

磁場方向垂直于紙面向里.質(zhì)量相同的甲、乙、丙三個小球（均可視為質(zhì)點）中,

甲球帶正電、乙球帶負電、丙球不帶電.現(xiàn)將三個小球在軌道上分別從不同

高度處由靜止釋放，都恰好通過圓形軌道的最高點，則（）

A.經(jīng)過最高點時，三個小球的速度相等

B.經(jīng)過最高點時，甲球的速度最小

C.甲球的釋放位置比乙球的位置高

D.運動過程中三個小球的機械能均保持不變

答案CD

解析設(shè)磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,圓形軌道半徑為r,三個小球質(zhì)量均

2

為它們恰好通過最高點時的速度分別為0甲、。乙和。丙，則甲o甲8=――,

乙J2丙2?

mg—qjVuB=~mg=~顯然，vV>v^>vc,選項A、B錯誤；三個小

球在運動過程中，只有重力做功，即它們的機械能守恒，選項D正確；甲球在

圓形軌道最高點處的動能最大，因為勢能相等，所以甲球的機械能最大，甲球的

釋放位置最高，選項C正確.

【典例2】（多選）如圖1所示，粗糙木板MN豎直固定在方向垂直紙面向里的勻

強磁場中。f=0時，一個質(zhì)量為〃2、電荷量為q的帶正電物塊沿MN以某一初速

度豎直向下滑動，則物塊運動的。一/圖像可能是（）

CD

答案ACD

解析設(shè)初速度為0o,貝UFN=q0o5,若滿足,咫=/7="\,即mg="10o5,物

塊向下做勻速運動，選項A正確；若mg>^qvnB,則物塊開始有向下的加速度，

由。=巧髻生可知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度減小的加

速運動，最后達到勻速狀態(tài)，選項D正確；若/ngV/zgooB,則物塊開始有向上

的加速度，做減速運動，由。=畫喑駕可知，隨速度減小，加速度減小，即

物塊先做加速度減小的減速運動，最后達到勻速狀態(tài)，則選項C正確。

考點二帶電粒子在有界勻強磁場中的圓周運動

1.帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的思想方法

一般說來，要把握好“一找圓心，二定半徑，三求時間”的分析方法。在具

體問題中，要依據(jù)題目條件和情景而定。解題的理論依據(jù)主要是由牛頓第二定律

列式：卯8=4,求半徑L翡及運動周期丁=爭=翳。

2.兩種方法定圓心

方法一若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力FLv,

分別確定兩點處速度的垂線，其交點即為圓心，如圖(a)。

方法二若已知粒子運動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，則可作出

此兩點的連線(即過這兩點的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與速度方向的垂線的交

點即為圓心，如圖(b)。

(a)(b)

3.幾何知識求半徑

利用平面幾何關(guān)系，求出軌跡圓的可能半徑（或圓心角），求解時注意以下幾

個重要的幾何特點：0*（偏向角）

（1）粒子速度的偏向角”）等于圓心角3）,并等于AB弦與切勿/\

線的夾角（弦切角。）的2倍（如圖所示），即9=a=20=Q）t。

（2）直角三角形的應(yīng)用（勾股定理）。

找到A3的中點C,連接0C,則△AOC、AB0C都是直角

三角形。

4.求時間的兩種方法

方法一：由運動弧長計算，f=（（/為弧長）；

方法二：由偏轉(zhuǎn)角度計算，片焉《或尸初。

5.三類邊界磁場中的軌跡特點

（1）直線邊界：進出磁場具有對稱性。

、?'

0

圖a中粒子在磁場中運動的時間f=,=咪

LQD

圖b中粒子在磁場中運動的時間―（1_沁（好第=2"?（/）

圖C中粒子在磁場中運動的時間7=裁

（2）平行邊界：存在臨界條件。

帶電粒子在平行邊界磁場中運動時的半徑R與平行邊界距離d之間的關(guān)系如圖

所示。

</=/?)(1-C0S0)

d=2R2d=Rsin6</=/?(!+cos。)J=/?(l-cos0)

丙T

（3）圓形邊界：等角進出，沿徑向射入必沿徑向射出

粒子做圓周運動的半徑尸=備

粒子在磁場中運動的時間/=夕=鬻，6>+?=90°

【典例3】如圖所示，一個理想邊界為P0、MN的勻強磁場區(qū)域，磁場寬度

為d,方向垂直紙面向里。一電子從。點沿紙面垂直P。以速度如進入磁場。若

電子在磁場中運動的軌跡半徑為2d。。，在MN上，且。。與MN垂直。下列判斷

正確的是（）0Q

A.電子將向右偏轉(zhuǎn)左飛xxhx2右

B.電子打在MN上的點與0,點的距離為d"°,”

C.電子打在上的點與0,點的距離為小d

D.電子在磁場中運動的時間為瑞

D［電子帶負電，進入磁場后，根據(jù)左手定則判斷0,09

可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，如左0：嗖：彳右

圖所示，A錯誤；設(shè)電子打在上的點與。點的距離M

為x,則由幾何知識得：x=r—ylr2—d2=2d—yl（2d）2—d2=（2故B、C

d7T

錯誤；設(shè)軌跡對應(yīng)的圓心角為〃，由幾何知識得sin〃=:萩=0.5,得〃=%,則電

OrTTfl

子在磁場中運動的時間為￡=一=W一,故D正確。］

【典例4】如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，

P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過尸點，在紙面內(nèi)

沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為這些粒子在磁場邊界的出射點分布

長

在六分之一圓周上;若粒子射入速率為V2,相應(yīng)的出射點分布在三分之一圓周上。

不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則。2：切為（）

A.?。?B.啦：1

C.?。?D.3：近

C［相同的帶電粒子垂直勻強磁場入射均做勻速圓周運動。粒子以0入射,

一端為入射點P,對應(yīng)圓心角為60。（對應(yīng)六分之一圓周）的弦PP必為垂直該弦入

射粒子運動軌跡的直徑2打，如圖甲所示，設(shè)圓形區(qū)域的半徑為R,由幾何關(guān)系

知ri=；R。其他不同方向以也入射的粒子的出射點在PP對應(yīng)的圓弧內(nèi)。同理

可知，粒子以也入射及出射情況，如圖乙所示。由幾何關(guān)系知「2

坐電可得「2：為=?。?。因為機、夕、5均相同，由公式r=各可得y8r,所

以V2：也=5：lo故選C。］

【典例5】如圖所示，邊長為I的正方形abed內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度

大小為B,方向垂直于紙面所在平面）向外。ah邊中點有一電子發(fā)射源O,

可向磁場內(nèi)沿垂直于"邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為上則從。、d兩

點射出的電子的速度大小分別為（）

A.^kBl,小姐/B./kBh永B/

C.^kBl,興kBID.gkBI,^kBl

B［若電子從a點射出，運動軌跡如圖線①，有q為5=/n祟，解得

K-a4

警=需=竽，若電子從d點射出，運動軌

Va

跡如圖線②，有qVdB—nr^,放=(&—§+/2,解

qBRdSqBl5kBl.^&

得1n=41n4，選項B正確。1

考點三帶電粒子在磁場中運動的臨界和多解問題

1.臨界問題常用的四個結(jié)論

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。

（2）當速率v一定時，弧長越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運

動的時間越長。

(3)當速率。變化時，圓心角大的，運動時間長，解題時一般要根據(jù)受力情

況和運動情況畫出運動軌跡的草圖，找出圓心，再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑及圓心

角等。

(4)在圓形勻強磁場中，當運動軌跡圓半徑大于區(qū)域圓半徑時，入射點和出

射點為磁場直徑的兩個端點時，軌跡對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦長中直徑最長)。

解決臨界極值問題的方法技巧

⑴數(shù)學方法和物理方法的結(jié)合：如利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利

用“三角函數(shù)''”不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值。

(2)一個“解題流程”突破臨界問題

臨界點

I思維I

粒子速半徑

--A

度方向方向

⑶從關(guān)鍵詞找突破口：題干中常用“恰好""最大""至少”“不相撞”“不脫離”

等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示，審題時，一定要抓住這些特定的詞語挖掘其隱含

的規(guī)律，找出臨界條件。

2.帶電粒子在磁場中運動的多解問題

類型分析圖例

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也

可能帶負電荷，在相同的初速度下，正、負粒子

帶電粒子電XX/X\

在磁場中運動軌跡不同，形成多解

性不確定

如圖，帶電粒子以速度。垂直進入勻強磁場，如

帶正電，其軌跡為。；如帶負電，其軌跡為人

只知道磁感應(yīng)強度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強

度方向，此時必須要考慮磁感應(yīng)強度方向不確定

一

磁場方向不而形成多解

確定如圖，帶正電粒子以速度。垂直進入勻強磁場，

若8垂直紙面向里，其軌跡為a,若3垂直紙面

向外，其軌跡為匕

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時，由

;x

臨界狀態(tài)不于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過磁Jxyxx\x

唯一場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180。從入射界面一側(cè)反向

飛出，于是形成多解

運動具有周帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運動

期性時，運動往往具有周期性，因而形成多解

【典例6】如圖所示，邊界與ON之間分布有垂直紙面向里的勻強磁場，

邊界ON上有一粒子源S。某一時刻，從粒子源S沿平行于紙面，向各個方向發(fā)

射出大量帶正電的同種粒子（不計粒子的重力及粒子間的相互作用），所有粒子的

初速度大小相等，經(jīng)過一段時間后有大量粒子從邊界0M射出磁場。已知NMON

=30°,從邊界OM射出的粒子在磁場中運動的最長時間等于泰了為粒子在磁場

中運動的周期），則從邊界0M射出的粒子在磁場中運動的最短時間為（）

A［粒子在磁場中做勻速圓周運動，入射點是S,出射點?

在OM直線上，出射點與S點的連線為軌跡的一條弦。當從父冬，攵

邊界0M射出的粒子在磁場中運動的時間最短時，軌跡的弦最電*:

短，根據(jù)幾何知識，作ESA-OM,則ES為最短的弦，即粒子從S到E的時間

最短。由題意可知，粒子運動的最長時間等于;T,此時軌跡的弦為DS,設(shè)OS

=d,貝"￡>S=0Stan3（）o=ga,粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為：「=罕

ESd

1024、/5

由幾何知識有ES=OSsin30。=/,sin2=~T=1V=2,則〃=120。,

粒子在磁場中運動的最短時間為：Un=^T=|r,A正確。］

【典例7】（多選）一質(zhì)量為〃?、電荷量為q的負電荷在磁感應(yīng)強度為B的勻

強磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運動，若磁場方向垂直于

它的運動平面，且作用在負電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負電荷做圓周

運動的角速度可能是（）

mmmm

AC［依題中條件“磁場方向垂直于它的運動平面”，磁場方向有兩種可能，

且這兩種可能方向相反。在方向相反的兩個勻強磁場中，由左手定則可知負電

荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的。當負電荷所受的洛倫茲力與電場力方向

相同時，根據(jù)牛頓第二定律可知45g=機3，得。=當?shù)?，此種情況下，負電

Km

荷運動的角速度為“=9=幽；當負電荷所受的洛倫茲力與電場力方向相反時，

Km

有2Bqv=4,,此種情況下，負電荷運動的角速度為空、

KmKm

故A、C正確。］

【典例8】如圖所示，在無限長的豎直邊界AC和。E間，上、下部分分別

充滿方向垂直于ADEC平面向外的勻強磁場，上部分區(qū)域的磁感應(yīng)強度大小為

Bo,OF為上、下磁場的水平分界線。質(zhì)量為機、帶電荷量為+q的粒子從AC邊

界上與0點相距為。的P點垂直于AC邊界射入上方磁場區(qū)域，經(jīng)OF上的Q

點第一次進入下方磁場區(qū)域，Q與。點的距離為3”。不考慮粒子重力。

(1)求粒子射入時的速度大?。?/p>

(2)要使粒子不從AC邊界飛出，求下方磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足的條件;