連續(xù)時(shí)間信號的抽樣與量化信號與系統(tǒng)

第5章連續(xù)時(shí)間信號的抽樣與量化5.2時(shí)域抽樣定理5.4利用內(nèi)插從樣本值重建信號5.7連續(xù)時(shí)間信號的量化5.6信號的截?cái)嗯c時(shí)窗5.3頻率混疊效應(yīng)和信號抽樣頻率的選擇5.1引言5.5頻域抽樣定理11/28/20231整理課件§5.1引言11/28/20232整理課件連續(xù)時(shí)間信號在進(jìn)入數(shù)字系統(tǒng)之前，有一個(gè)如何將模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號的問題，即信號的數(shù)字采集，這種轉(zhuǎn)化應(yīng)是以不喪失模擬信號的信息為原那么，本章基于這樣的原那么，討論模擬信號數(shù)字采集的有關(guān)問題。研究如何從連續(xù)時(shí)間信號的離散時(shí)間樣本不失真地恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號。討論與時(shí)域抽樣完全對偶的頻域抽樣。研究如何對一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行均勻量化問題。11/28/20233整理課件上圖是通常信號的數(shù)字采集與分析、處理系統(tǒng)。模擬信號經(jīng)抗混疊濾波器預(yù)處理，變成帶限信號〔這是為后面信號的抽樣做準(zhǔn)備的〕，經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換器后變成數(shù)字信號，在送入計(jì)算機(jī)或數(shù)字信號分析儀完成信號的分析和處理。如果需要，再由數(shù)模轉(zhuǎn)換器將處理后的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號。11/28/20234整理課件模數(shù)轉(zhuǎn)換器的功能是將模擬信號先進(jìn)行抽樣，后對抽樣信號進(jìn)行量化和編碼，從而完成模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號的過程。抽樣過程方框圖如以下圖所示，其中為輸入的連續(xù)時(shí)間信號，為周期的抽樣脈沖序列，為抽樣后的信號。11/28/20235整理課件§5.2時(shí)域抽樣定理11/28/20236整理課件

時(shí)域抽樣就是利用抽樣脈沖序列從時(shí)域連續(xù)信號中抽取一系列的離散樣值，即抽樣信號信號的抽樣可通過抽樣器來實(shí)現(xiàn)。抽樣器本質(zhì)上是一開關(guān)，如圖（b）所示，開關(guān)每隔時(shí)間接通輸入信號，接通時(shí)間是。顯然，抽樣器輸出的信號只包含開關(guān)接通時(shí)間內(nèi)輸入信號的一些小段，這些小段就是原輸入信號的取樣，如圖（c）所示。(a)(b)(c)

11/28/20237整理課件

抽樣過程實(shí)際是相乘過程，可用連續(xù)信號與開關(guān)函數(shù)（即抽樣脈沖序列）相乘來表示，抽樣以后的信號（即抽樣信號）的表示式為11/28/20238整理課件1．抽樣信號

5.2.1．矩形脈沖序列抽樣11/28/20239整理課件限帶信號關(guān)系11/28/202310整理課件頻譜結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表示11/28/202311整理課件頻譜結(jié)構(gòu)11/28/202312整理課件

2．舉例說明抽樣信號與原信號頻譜的關(guān)系11/28/202313整理課件()()()sss3π313π32213wwwwwmmFFnF-=÷???è?-×=±=LL)3(π31)(π1

)(21)(π1)3(π31)(ssssswwwwwwwwww---+++++-=FFFFFF11/28/202314整理課件3．討論的影響()tdt??矩形脈沖理想抽樣,0不變不變因?yàn)閟sss

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wwTT=，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。，第一個(gè)零點(diǎn)脈沖寬度ˉ==ˉttwtttssssπ2π2TTT11/28/202315整理課件限帶信號1．抽樣信號5.2.2沖激序列抽樣()())(

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wwwdwdw11/28/202316整理課件2．沖激抽樣信號的頻譜11/28/202317整理課件3．幾點(diǎn)認(rèn)識()()()倍。差幅度含原信號的全部信息包時(shí)sss

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1TFTFnww==()()()性延拓。的周期即新的頻率成分有為周期的連續(xù)譜以wwwFF

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2ss()現(xiàn)原信號。濾除高頻成分，即可重截止頻率為其增益器，若接一個(gè)理想低通濾波

3mscmswwww-<<Tmsww-mmswww>-11/28/202318整理課件理想低通濾波器濾除高頻成分，即可恢復(fù)原信號由抽樣信號恢復(fù)原信號()()()()()()thtftfHFF*=?×=sswww()?íì><=ccs0wwwwwTH11/28/202319整理課件5.2.3時(shí)域抽樣定理()()?；蛘哒f最低抽樣率為，，即其抽樣間隔必須不大于惟一地表示?？捎玫乳g隔的抽樣值來的范圍，則信號，若頻譜只占據(jù)一個(gè)頻帶受限的信號mmmmsmmm2π22121

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fffTftftf=￡+-www11/28/202320整理課件重建原信號的必要條件：不滿足此條件，就會(huì)發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。奈奎斯特(Nyquist)抽樣頻率和抽樣間隔。隔是必要條件，或抽樣間抽樣頻率即msms212

fTff￡3隔〞。稱為“奈奎斯特抽樣間是最大抽樣間隔,

21msfT=特抽樣頻率〞稱為“奈奎斯是最低允許的抽樣頻率

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msff=11/28/202321整理課件§5.3頻率混疊效應(yīng)和信號抽樣頻率的選擇11/28/202322整理課件

由時(shí)域抽樣定理可知，為了保證不因抽樣而造成信號信息的丟失，被抽樣的信號應(yīng)是帶限的，且要求抽樣頻率（）。當(dāng)這兩個(gè)條件得不到滿足，抽樣信號頻譜的頻譜將由相互重疊的（）進(jìn)行疊加而成，如圖所示，顯然，在這種情況下無論采用什么樣的濾波器也不可能從中完整地提取出原始信號。這種由于信號在時(shí)域上的抽樣而造成信號在頻域上的頻譜混疊稱作頻率混疊效應(yīng)。11/28/202323整理課件〔a〕頻率混疊效應(yīng)〔b〕頻率混疊時(shí)信號頻譜的畸變11/28/202324整理課件二是對被抽樣的信號預(yù)先進(jìn)行抗混疊濾波處理將非帶限信號變成帶限信號，然后按抽樣定理抽樣。后一種方法雖然使信號喪失了局部高頻分量，但可以有效地保護(hù)信號中低頻分量將不因抽樣而受到干擾。同時(shí)，也可以有效地減少抽樣點(diǎn)數(shù)。一是提高信號的抽樣頻率，即縮小抽樣周期由于一般信號的高頻分量是以大于頻率倒數(shù)衰減，提高抽樣頻率但它是以抽取更多的數(shù)據(jù)為代價(jià)的。減小頻率混疊效應(yīng)有兩種途徑：一次方的對減小頻率混疊是很有效的11/28/202325整理課件通常，將旨在減小抽樣頻率混疊效應(yīng)的濾波器稱抗混疊濾波器，它實(shí)際上是一種具有較好截止特性的低通濾波器，一般具有-50～-60dB/倍頻程衰減。圖5.3.2是一個(gè)具有-66dB/倍頻程衰減特性的截止頻率=5的低通濾波器。當(dāng)用這樣的濾波器對信號進(jìn)行抗混疊濾波時(shí)，只要取抽樣頻率，既=15，就可以保證信號不因抽樣而使=0～5kHz的低頻分量受到干擾。考察圖5.3.2，此時(shí)盡管的頻率分量折疊到的低頻段上，但在=5的通帶之內(nèi)混入的頻率分量已是信號中為濾波器衰減了-66dB以上的高頻分量了。所以認(rèn)為在=0～5kHz的頻段上不存在混疊。11/28/202326整理課件圖5.3.2抗混疊濾波器從上述分析，當(dāng)信號有效帶寬時(shí)，假設(shè)取抗混疊濾波器截止頻率，當(dāng)濾波器具有-50～-60dB/倍頻程衰減率，那么濾波后的信號以抽樣即可。11/28/202327整理課件在實(shí)際工作中，選擇信號抽樣頻率或抽樣周期是一個(gè)很重要的問題。盲目地提高抽樣頻率，不但會(huì)給數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)提出一系列苛刻的要求，而付出昂貴的設(shè)備經(jīng)濟(jì)代價(jià)，而且由于采集的數(shù)據(jù)量大，為后續(xù)的數(shù)據(jù)處理也帶來許多困難，如分析﹑處理工作量增大，分析、處理機(jī)存貯容量不夠等。但是不適當(dāng)?shù)販p小抽樣頻率，又會(huì)使已獲得的信號產(chǎn)生信息丟失、畸變。11/28/202328整理課件§5.4利用內(nèi)插從樣本值重建信號11/28/202329整理課件

所謂內(nèi)插是一個(gè)在樣本值之間插值的方法。利用內(nèi)插從樣本值重建信號也就是如何從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時(shí)間信號的問題，它是重建某一個(gè)函數(shù)的過程，重建的結(jié)果可以是近似的，也可以是完全準(zhǔn)確的。

11/28/202330整理課件一個(gè)理想低通濾波器應(yīng)對截止頻率以下的所有頻率成分都能夠無失真地通過，而對于以上的頻率成分全部衰減掉，即5.4.1理想內(nèi)插

11/28/202331整理課件它的單位沖激響應(yīng)為11/28/202332整理課件設(shè)抽樣信號經(jīng)過低通濾波器的輸出為，那么該信號的頻譜為變換為時(shí)域?yàn)橛捎?1/28/202333整理課件(5.4.7)所以

上式說明連續(xù)時(shí)間信號

可以展開成正交抽樣函數(shù)

函數(shù)〕的無窮級數(shù),級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值。并且為從抽樣信號恢復(fù)原連續(xù)信號提供了一個(gè)抽樣內(nèi)插函數(shù).11/28/202334整理課件被恢復(fù)信號在抽樣點(diǎn)的值等于，即原信號等于在相應(yīng)抽樣時(shí)刻上的樣本值，而在樣本點(diǎn)之間的信號那么是由各抽樣值的內(nèi)插函數(shù)波形疊加完成。所以，當(dāng)通過理想低通濾波器時(shí),抽樣序列的每一個(gè)抽樣信號會(huì)產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng),將這些響應(yīng)疊加就可以完全恢復(fù)原連續(xù)時(shí)間信號。11/28/202335整理課件11/28/202336整理課件像在式(5.4.7)中那樣利用函數(shù)的內(nèi)插通常稱為帶限內(nèi)插。因?yàn)檫@種內(nèi)插只要是帶限的，并且抽樣頻率能滿足抽樣定理，那么就可以實(shí)現(xiàn)信號的真正重建。在的條件下，不滿足抽樣定理,的頻譜發(fā)生混疊現(xiàn)象，在時(shí)域圖形中，由于過大使得沖激響應(yīng)函數(shù)的各個(gè)波形在時(shí)間軸上相隔較遠(yuǎn)，無論如何選擇都不能使疊加以后的波形恢復(fù)。11/28/202337整理課件階梯內(nèi)插是指在兩個(gè)抽樣點(diǎn)間的任意時(shí)刻，恢復(fù)信號等于前一個(gè)抽樣點(diǎn)，并不取決于任何將來值。階梯內(nèi)插得到的輸出具有階梯形狀，是對原始信號的一種近似。實(shí)現(xiàn)階梯內(nèi)插的系統(tǒng)就是一個(gè)零階保持系統(tǒng)。圖5.4.2示出了零階保持框圖和波形。圖5.4.2零階保持內(nèi)插5.4.2零階保持內(nèi)插11/28/202338整理課件由于經(jīng)過零階保持系統(tǒng)得到的輸出信號具有階梯形狀，并且本身可以認(rèn)為是一種對原信號的近似，是一種很粗糙的近似，因此零階保持可以看作是在樣本之間進(jìn)行內(nèi)插的一種形式，內(nèi)插函數(shù)就是沖激響應(yīng)。11/28/202339整理課件抽樣信號經(jīng)過沖激響應(yīng)為的保持系統(tǒng)后，輸出信號為式中的傅立葉變換為11/28/202340整理課件又因?yàn)樗?/p>

（5.4.12）11/28/202341整理課件由式（5.4.12）可以看出零階保持信號頻譜的基本特征是的頻譜以為周期進(jìn)行重復(fù)，但是要乘以，此外還附加了延遲項(xiàng)。當(dāng)?shù)念l帶受限且滿足抽樣定理時(shí)，為了復(fù)原頻譜，需要引入具有如下補(bǔ)償特性的低通濾波器（5.4.13）11/28/202342整理課件它的幅頻特性和相頻特性曲線如圖5.4.3所示。當(dāng)通過此補(bǔ)償濾波器以后，即可恢復(fù)原來信號。從頻域上解釋，將和相乘就可得到。圖5.4.3補(bǔ)償?shù)屯ㄌ匦?1/28/202343整理課件另外，需要注意的是階梯內(nèi)插可以把分段常數(shù)信號完全地恢復(fù)出來。11/28/202344整理課件線性內(nèi)插就是把相鄰的樣本點(diǎn)用直線連接起來，也稱為一階保持。它是利用內(nèi)插函數(shù)來產(chǎn)生抽樣值之間的線性近似，構(gòu)成折線狀波形。如圖5.4.4所示。采用線性內(nèi)插的情況下，要重建的信號是連續(xù)的，盡管它的導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)。圖5.4.4線性內(nèi)插5.4.3線性內(nèi)插11/28/202345整理課件線性內(nèi)插使用的內(nèi)插函數(shù)是三角形脈沖，表達(dá)式為〔5.4.14〕它的傅立葉變換為〔5.4.15〕11/28/202346整理課件抽樣信號作用于沖激響應(yīng)是的系統(tǒng)后，輸出信號為變換為頻域得（5.4.17）11/28/202347整理課件由式（5.4.17）可以看出一階保持信號頻譜的基本特征是頻譜以周期重復(fù)，但是要乘以。當(dāng)?shù)念l帶受限且滿足抽樣定理時(shí)，為了復(fù)原頻譜，需要引入具有如下補(bǔ)償特性的低通濾波器11/28/202348整理課件（5.4.18）當(dāng)通過此補(bǔ)償濾波器以后，即可恢復(fù)原來信號。在更為復(fù)雜的內(nèi)插公式中，樣本點(diǎn)之間可以用高階多項(xiàng)式或其它的數(shù)學(xué)函數(shù)來進(jìn)行擬合。11/28/202349整理課件§5.5頻域抽樣定理11/28/202350整理課件的沖激序列應(yīng)滿足設(shè)連續(xù)時(shí)間信號對應(yīng)的頻譜為。若在頻域中被間隔為那么抽樣以后的函數(shù)抽樣，其中對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為11/28/202351整理課件根據(jù)時(shí)域卷積定理得所對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)

11/28/202352整理課件表明若的頻譜被間隔為的沖激序列抽樣,所得到的信號在時(shí)域中表現(xiàn)為以為周期進(jìn)行重復(fù)。11/28/202353整理課件相乘卷積11/28/202354整理課件頻域抽樣定理11/28/202355整理課件由于在頻域中對進(jìn)行抽樣，等效于在時(shí)域中重復(fù)形成周期信號間隔不大于抽樣頻譜并且可利用矩形脈沖選通信號，從周期信號中選出單個(gè)脈沖來恢復(fù)。，所以只要抽樣在時(shí)域中信號波形就不會(huì)發(fā)生混疊，能夠完全保留原信號頻譜的信息，11/28/202356整理課件§5.6信號的截?cái)嗯c時(shí)窗11/28/202357整理課件按頻域抽樣定理的要求，信號必須是時(shí)限的。否則，當(dāng)對信號的頻譜抽樣時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)時(shí)域波形的混疊，如圖5.6.1所示。這種混疊現(xiàn)象也出現(xiàn)在對時(shí)限信號頻譜抽樣、抽樣周期的條件下(為時(shí)限信號持續(xù)的時(shí)間)。它是由于頻率抽樣不足產(chǎn)生的誤差在時(shí)域中的反映，如圖5.6.1(c)所示,由于波形的混疊，從抽樣后信號中已不可能恢復(fù)出原始信號了。11/28/202358整理課件圖5.6.1頻域抽樣引起的時(shí)域波形混疊11/28/202359整理課件為了減小因頻域抽樣而產(chǎn)生的時(shí)域波形混疊，一種途徑是提高抽樣頻率，即減小頻率抽樣周期，這意味著在頻域要采集更多的數(shù)據(jù)。另一種途徑是對原始信號加以截取、變成時(shí)限信號，再按頻域抽樣定理對其抽樣。圖5.5.2(a)的信號，當(dāng)從將其尾部截去，就是圖5.5.2(b)所示的信號。此時(shí)，按抽樣定理取對它的頻譜抽樣，便可消除時(shí)域上波形的混疊，從而可保證區(qū)間上波形可無失真地得到恢復(fù)。11/28/202360整理課件上述信號的截?cái)啵瑢?shí)際上是用下述的矩形函數(shù)與信號相乘，即相當(dāng)于通過一個(gè)“時(shí)間窗”觀察，因此又將稱作時(shí)窗函數(shù)。11/28/202361整理課件值得注意的是，由于截?cái)嗍沟眯盘杹G失了一部分信息，將截?cái)嘈盘柕念l譜同原始信號的頻譜相比，如圖5.5.2所示，這種信息的丟失反映到頻域上，頻譜的波形變“皺”了，故又稱“皺波”效應(yīng)。11/28/202362整理課件皺波效應(yīng)的產(chǎn)生是不難理解的，將（5.6.2）式轉(zhuǎn)換到頻域，則截?cái)嗪笮盘柕念l譜為對于圖5.6.3所示的余弦信號的截?cái)?，在頻域上與卷積的結(jié)果，如圖5.6.3(c)所示，使得原來集中在處的頻率分量呈現(xiàn)出向兩側(cè)“泄漏”的狀態(tài)。因此，皺波效應(yīng)又稱頻率泄漏效應(yīng)。11/28/202363整理課件圖5.6.3頻率泄露效應(yīng)11/28/202364整理課件從(5.6.3)式看出，減小頻率泄漏效應(yīng)除了增大截?cái)鄷r(shí)窗窗寬之外，還可以選繹適宜的時(shí)窗函數(shù)，使時(shí)窗函數(shù)的頻譜，具有盡過能窄的主瓣(如圖5.6.3(b)上對應(yīng)的局部)和相對主瓣具有幅值盡可能小的旁瓣，從而使截掉后信號的頻譜與原始信號的頻譜有最正確的近似。下面介紹時(shí)窗函數(shù)的設(shè)計(jì)。對一個(gè)時(shí)窗的設(shè)計(jì)，對主瓣和旁瓣的上述要求是相互矛盾的，即主瓣窄的時(shí)窗總是對應(yīng)著幅值較大的旁瓣，而旁瓣幅值小的時(shí)窗又總是具有較寬的主瓣。所以選擇和設(shè)計(jì)時(shí)窗時(shí)只能在主瓣和旁瓣要求方面進(jìn)行某種折中。11/28/202365整理課件一般地講，矩形時(shí)窗并非是好的時(shí)窗，因?yàn)樗叻捷^大幅值的旁瓣。在圖5.6.4上給出了幾種常用的時(shí)窗。由于時(shí)窗函數(shù)均是偶函數(shù)，故在圖上只畫出了時(shí)窗和它頻譜的右半邊。

圖5.6.4典型時(shí)窗(a)時(shí)窗(b)時(shí)窗的頻譜11/28/202366整理課件下面介紹幾種典型時(shí)窗的函數(shù)形式：1)巴特萊特窗（BartlettWindow）巴特萊特窗是一個(gè)三角形窗函數(shù)，有上式中，為時(shí)窗寬。11/28/202367整理課件2)漢寧窗（HanningWindow）3)海明窗（HammingWindow）11/28/202368整理課件4)帕森窗（ParzenWindow）帕森窗是由三角窗按下述的卷積得到的這些窗函數(shù)在的濾波器設(shè)計(jì)經(jīng)常用到。11/28/202369整理課件§5.7連續(xù)時(shí)間信號的量化11/28/202370整理課件在實(shí)際應(yīng)用中，許多情況下首先把一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散時(shí)間信號，然后對其進(jìn)行處理，處理完以后再把它轉(zhuǎn)換為連續(xù)時(shí)間信號。這種處理方式有一個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)，就是可以借助于各種微處理機(jī)或任何面向離散時(shí)間信號的裝置來完成。11/28/202371整理課件連續(xù)時(shí)間輸入信號首先通過一個(gè)連續(xù)時(shí)間的前置取樣濾波器，以保證輸入信號的最高頻率限制在一定數(shù)值內(nèi)，然后在模擬/數(shù)字轉(zhuǎn)換器〔〕中每隔〔抽樣周期〕讀出一次的抽樣值，對此抽樣值進(jìn)行量化。量化的過程是將此信號轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間離散幅度的多電平信號。從數(shù)學(xué)角度理解，量化是把一個(gè)連續(xù)幅度值的無限數(shù)集合映射到一個(gè)離散幅度值的有限數(shù)集合。在進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，必須把取樣電壓表示為某個(gè)規(guī)定的最小數(shù)量單位的整數(shù)倍。所取的最小數(shù)量單位叫做量化單位，用表示。顯然，數(shù)字信號最低有效位〔〕的1所代表的數(shù)量大小就等于。把量化的結(jié)果用代碼〔可以是二進(jìn)制，也可以是其他進(jìn)制〕表示出來，這個(gè)過程稱為編碼。這些代碼就是轉(zhuǎn)換的輸出結(jié)果。11/28/202372整理課件既然模擬電壓是連續(xù)的，那么它就不一定能被整除，因而量化過程不可避免地會(huì)引入誤差，這種誤差稱為量化誤差。將連續(xù)時(shí)間電壓信號劃分為不同的量化等級時(shí)通常有圖5.7.1所示的兩種方法。11/28/202373整理課件圖5.7.1信號的量化11/28/202374整理課件

例如要求把0～1V的模擬電