2022-2023學年奧數專家點撥小學五年級下冊《時鐘問題》試題附答案

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小學五年級下冊數學奧數知識點講解第8課《時鐘問題》試題附答案

例1現在是3點，什么時候時針與分針第一次重合？

例2在10點與11點之間，鐘面上時針和分針在什么時刻垂直?

例3在9點與10點之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上?

例4小明在7點與8點之間解了一道題，開始時分針與時針正好成一條直線，解

完題時兩針正好重合，小明解題的起始時間？小明解題共用了多少時間？

例5一只鐘的時針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時針與

分針的正中央，問這時是什么時刻？

例6一只舊鐘的分鐘和時針每65分鐘（標準時間的65分鐘）重合一次.問這只

舊鐘一天（標準時間24小時）慢或快幾分鐘？

答案

例1現在是3點，什么時候時針與分針第一次重合?

分析3點時分針指12,時針指3.分針在時針后5義3=15（個）格.

每分鐘分針比時針多走格要使分針與時針重合，即使分針比時針

60

多走15格，需要15+（1-^）=嗚（分鐘）.所以，所求的時刻應為3

4

點16打分o

幅15+Q-5）=嗚（分鐘）

答：所求的時刻應為3點162分。

例2在10點與11點之間，鐘面上時針和分針在什么時刻垂直？

分析分兩種情況進行討論。

①在順時針方向上分針與時針成270。角:

在順時針方向上當分針與時針成270。時，分針落后時針60X（270+

360）=45（個）格,而在10點整時分針落后時針5XI0=50（個）格.因此，在

這段時間內，分針要比時針多走50-45=5（個）格，而每分鐘分針

比時針多走Q-5）個格，因此由基本公式，到達這一時刻所用的時間為：

5+（1-《）=5搐（分鐘）o

②在順時針方向上分針與時針成90°角：

在順時針方向上當分針與時針成90°角時，分針落后時針60X（90+

360）=151個）格，而在10點整時分針落后時針5XI0=50（個）格，因此在這

段時間內，分針要比時針多走50-15=35（個）格，所以到達這一時

刻所用的時間為：35-（1-^）=382（分鐘）。

解：①在順時針方向上當分針與時針成270。角時：

15

[5X10-60X（270-360）]+（1-—）=5—（分鐘）。

②在順時針方向上當分針與時針成90°角時：

12

[5X10-60X（90+360）]+（1--）=38—（分鐘）。

答：所求時刻為10點51分和10點3哈分。

例3在9點與10點之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上?

分析分兩種情況進行討論。

①分針與時針的夾角為180°角:

當分針與時針的夾角為180。角時，分針落后時針60X（180+360）=30

（個）格，而在9點整時，分針落后時針5X9=45（個）格.因此，在這段時間

內分針要比時針多走45-30=15（個）格，而每分鐘分針比時針多走

（1-5個格，因此，到達這一時刻所用的時間為：15+（1-。）=16?

（分鐘）O

②分針與時針的夾角為0。，即分針與時針重合：

9點整時，分針落后時針5X9=45（個）格，而當分針與時針重合時，分針

要比時針多走45個格，因此到達這一時刻所用的時間為：45+（1-

=49p-j-1分鐘）

解：①當分針與時針的夾角為180。角時：

[5X9-60X（180-360）=（分鐘）。

②當分針與時針的夾角為0。即分針與時針重合時：

5乂9+（1-七）=491（分鐘）。

答：所求時刻為9點16宗分和9點49^分。

例4小明在7點與8點之間解了一道題，開始時分針與時針正好成一條直線，解

完題時兩針正好重合，小明解題的起始時間？小明解題共用了多少時間？

分析要求小明解題共用了多少時間，必須先求出小明解題開始時是什么

時刻，解完題時是什么時刻。

①小明開始解題時的時刻：

因為小明開始解題時，分針與時針正好成一條直線，也就是分針與時針的

夾角為180。，此時分針落后時針60X（180*360）=30（個）格，而7點整時

分針落后時針5X7=35（個）格，因此在這段時間內分針要比時

針多走35-30=5（個）格，則這一段時間為：5+（1?=51（分鐘）所.

以小明開始解題時是7點5（■分。

②小明解題結束時的時刻：

因為小明解題結束時，兩針正好重合，那么從7點整到這一時刻分針要

,12

比時針多走5X7=35（個）格，因此這一段時間為：35-（1--）=38-（分

鐘）.所以小明解題結束時是7點38旨分。

這樣小明解題所用的時間就可以求出來了。

解：先求小明開始解題的時刻:

[5X7-60X（180+360）廣（1-^-）=5指（分鐘），所以小明開

始解題時是7點q分。

再求小明結束解題的時刻：

5X7+Cl-y1y）=3哈2（分鐘），所以小明結束解題時是7點3啥2分.

最后求小明解題所用的時間：

7點3磋分一7點若分=32,（分鐘）

答：小明解題共用了32旨分鐘。

例5一只鐘的時針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時針與

分針的正中央，問這時是什么時刻？

分析由于現在可以是4點多，也可以是5點多，所以分兩種情況進行討

論：

①先設此時是4點多:

4點整時，時針指4,分針指12.從4點整到現在“5在時針與分針的正中

央”，分針走的格數多于25,少于30,時針走不足5格.由于5到分針的格數等

于5到時針的格數，所以時針與分針在這段時間內共走30格.又由于

時針的速度是分針的*,所以從4點整到上圖（a）鐘面上這種狀態(tài)共用了：

30+（1+A）=27得（分鐘），

所以這時是4點2喧分。

②再設此時是5點多：

5點整時，時針指5,分針指12.從5點整到現在“5在時針與分針的正中

央”，分針走的格數多于20格少于25格，時針走的格數不足5格，由于5到分針

的格數等于5到時針的格數，所以時針與分針在這段時間內共走25格.因此，從

5點整到上頁圖（b）鐘面上

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這種狀態(tài)共用了25+（1+卷）=23,（分鐘）。

g

所以此時是5點23看分。

解：①如果此時是4點多，則從4點整到上正圖（a）鐘面上這種狀態(tài)

10

共用：30+（1+—）=27—（分鐘）。

②如果此時是5點多，則從5點整到上瓦圖（b）鐘面上這種狀態(tài)共用:

25-（1+q）=23,（分鐘）。

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因此，這時可以是4點27看分，也可以是5點23（分。

例6一只舊鐘的分鐘和時針每65分鐘（標準時間的65分鐘）重合一次.問這只

舊鐘一天（標準好間24小由0橫或快幾分鐘？

分析前面已知標準鐘每65得標準分鐘時針、分針重合一次舊鐘每65

分鐘重合一次，顯然舊鐘憑本題的難點在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標

準分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉速度（每標準分鐘旋轉多少格），進而推

算出舊鐘的針24標準小時旋轉多少格，它與標準鐘的針用24標準小時所走的格

數的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標準鐘快的時間讀數。

設舊鐘分針每標準分鐘走x格那么，每走1格用1標準分鐘.如用復合

X

單位表示：舊鐘分針速度為X（格/標準分）.舊鐘分針走60格時針走5格，

時針速度總是分針的卷，所以舊鐘時針速度為卷x（格/標準分）.每次重合

耗用65標準分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時針

60格,列方程：60+(x-4x)=65。

解此方程，!=(!->■得*=爵

標準時間一天有60X24=1440標準分，一天內舊鐘分針走的格數為：

是津X60X24但是我們只須求出舊鐘分針比標準鐘分針多走了多少格，即

13X11

減去1440個(標準鐘的)格，所以有::X60X24-60X24

13X1]

(12x12)144-143

=TD-1x60x24=-x60x24

[13x11}13x11

60x2410

=而二1°詬(舊鐘格)。

但讀者一定明白，這10瑞只是舊鐘上顯示的多走的格數，也是舊鐘的非

標準分鐘數.并非標準的分鐘數。

解：設這只舊鐘的分針用標準時間1分鐘走x格，則舊鐘的時針速度為

卷x格/標準分。

根據舊鐘的時針與分針每重合一次耗用65標準分鐘，列方程得：60+

(x--x)=65,

144

解出x=

13x11

標準時間一天有60X24標準分，標準時間一天內舊鐘分針走的格數為:

時X60X24格。

這只舊鐘的分針標準時間一天所走的格數與標準鐘分針一天走的格數差

為：

14410

——X60X24-60X24=10—（舊鐘格）。

143

答：這只舊鐘在標準時間一天內快102分鐘（按舊鐘上的時間）。

習題八

1.在6點和7點之間，兩針什么時刻重合？

2.現在是2點15分，再過幾分鐘，時針和分針第一次重合？

3.2點鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角？

4.在7點與8點之間（包含7點與8點）的什么時刻，兩針之間的夾角為

1200?

5.在10點與11點之間，兩針在什么時刻成一條直線？

6.一舊鐘鐘面上的兩針每66分鐘重合一次，這只舊鐘在標準時間的一天中

快或慢幾分鐘？

7.李叔叔下午要到工廠上3點的班.他估計快到上班時間了，到屋里看鐘，

可是鐘早在12點10分就停了.他上足發(fā)條后忘了撥針，匆匆離家，到工廠一看

離上班時間還有10分鐘.8小時工作后夜里11點下班，李叔叔回到家里，一看鐘

才9點整.假定他上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多長時

間？

15-11-白）=16《（分鐘）.所以在3點161分時兩針第一次重合.所用

的時間為：

3點16,分-2點1汾=6阜（分鐘）o

答：再過61?分鐘，分針與時針第一次重合。

3.解：在2點整時，分針落后時針5X2=10（個）格，當分針與時針第一次

成直角時，分針超過時針60X（90+360）=15（個）格，因此在這段時間內分

針要比時針多走10+15=25（個）格，所以到達這一時刻所用的時間為：

25-（1-得）=2哈（分鐘）,所求的時刻為2點271分。

答：在2點27得分時，分針與時針第一次成直角。

五年級奧數下冊：第八講時鐘問題習題解答

習題八解答

1.解：在6點整時，分針落后時針5X6=30（個）格，到分針與時針

重合時，分鐘要比時針多走30個格，而每分鐘分針比時針多走（1-卷）個

格，所以到達這一時刻所用的時間為：30+（1-卷）=32卷（分鐘）,因此

所求的時刻為6點32箭。

答：在6點32得分時分針與時針重合。

2.解：在2點整時，分針落后時針5X2=10（個）格，到分針與時針重合

時，分針要比時針多走10個格，所以到達這一時刻所用的時間為：10

一（14）=1哈（分鐘），因為嗚＜15,所以2點嗚分不是所求的

時刻.現在看3點整時，分針落后時針5X3=15（個）格，到分針與時針重合針

時，分針要比時針多走15個格，這樣到達這一時刻所用的時間為：

4.解：①當分針落后時針而與時針成120。角時:

當分針落后時針而與時針成120。角時，分針落后時針60義（120+360）

=20（個）格，而7點整時分針落后時針5X7=35（個）格，因此在這段時間內

分針要比時針多走35—20=15（個）格，所以到達這一時刻所

用的時間為：15+（1-套1）=16卞4（分鐘）.因此在7點16卞4分時，兩針

之間的夾角為120。。

②當分針超過時針而與時針成120。角時：

當分針超過時針而與時針成120。角時，分針超過時針20格，而7點整時分

針落后時針35格，因此在這段時間內分針要比時針多走35+20=55（個）

格，所以到達這一時刻所用的時間為：55-（1-^）=60（分鐘）.因此，

在7點60分即8點整時，兩針之間的夾角為120。。

答：在7點16（■分與8點整時，兩針之間的夾角為120。。

5.解：①當分針與時針的夾角為180°角時：

當分針與時針的夾角為180。角時，分針落后時針60X（180+360）=30

（個）格，而10點整時分針落后時針5XI0=50（個）格，因此在這段時間內分

針要比時針多走50-30=20（個）格，所以到達這一時刻所用的時

間為：20+（1-*）=2*（分鐘）.因此在10點21得分時分針與時針在

一條直線上。

②當分針與時針的夾角為0。即分針與時針重合時：

10點整時分針落后時針50個格，因此當分針與時針重合時分針要比時

針多走50個格，所以到達這一時刻所用的時間為：50+（1-$=54得（分

鐘）.因此在10點54搐分時分針與時針在一條直線上。

答：在10點2星分與10點54分時分針與時針在一條直線上。

6.解：設舊鐘在分針用標準時間1分鐘走x格，則舊鐘的時針速度為《X

格/標準分。

根據舊鐘的時針與分針每重合一次耗用66標準分鐘，列方程得：60-

=66,

120

解出

127

標準時間一天有60義24標準分，標準時間一天內舊鐘走的格數為：粉

X60X24格。

則這只舊鐘標準時間一天慢：

120109

60X24--—X60X24=11--（舊鐘格）。

121