2021高考?jí)狠S題選擇題選擇壓軸題6關(guān)連闖培優(yōu)系列-學(xué)生版

2021高考?jí)狠S題選擇題選擇壓軸題6關(guān)連闖培優(yōu)系列一學(xué)生版

選

擇

壓

軸

題

培

優(yōu)

目錄

專題一壓軸選擇題系列..............................................2

第一關(guān)以圓錐曲線的幾何性質(zhì)為背景的選擇題.........................2

第二關(guān)以導(dǎo)數(shù)為工具求解參數(shù)取值范圍問題為主的選擇題...............7

第三關(guān)以棱柱、棱錐與球的組合體為背景的選擇題.....................10

第四關(guān)以數(shù)列與函數(shù)'不等式以及其他知識(shí)相結(jié)合為背景的選擇題......14

第五關(guān)以向量與解析幾何、三角形等相結(jié)合為背景的選擇題.............19

第六關(guān)以抽象函數(shù)為載體考查函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)的選擇題23

專題一壓軸選擇題系列

第一關(guān)以圓錐曲線的幾何性質(zhì)為背景的選擇題

師

【名見5綜述】1.求解曲線的離心率：求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)己知條件確定a,b,c的

等量關(guān)系，然后把。用a,c代換，求:的值；在雙曲線中由于e?=1+（5：故雙曲線的漸近線與離心率

aa

密切相關(guān)，求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b

得到關(guān)于a,c的不等式，由這個(gè)不等式確定a,c的關(guān)系.

2.求解特定字母取值范圍問題的常用方法：（1）構(gòu)造不等式法：根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)（如：曲

線的范圍、對(duì)稱性、位置關(guān)系等），建立關(guān)于特定字母的不等式（或不等式組），然后解不等式（或不等式組），求得

特定字母的取值范圍.（2）構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即

建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍.（3）數(shù)

形結(jié)合法：研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形

結(jié)合的方法求解.

3.圓錐曲線中的最值問題：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性

質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)（解析

式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

常見的幾何方法有：（1）直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)尸到直線的垂線段的長(zhǎng)度；（2）

圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為|PC\+R,最小值為|PC\-R（R為圓C半徑）；（3）過圓C內(nèi)

一定點(diǎn)P的圓的最長(zhǎng)的弦即為經(jīng)過尸點(diǎn)的直徑，最短的弦為過P點(diǎn)且與經(jīng)過P點(diǎn)直徑垂直的弦；（4）圓錐曲

線上本身存在最值問題，如①橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a（長(zhǎng)軸長(zhǎng)）；②雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2。（實(shí)

軸長(zhǎng)）；③橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為］a—c,a+c］,a-c與a+c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上

點(diǎn)的最小與最大距離；④拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近.

常用的代數(shù)方法有：（1）利用二次函數(shù)求最值；（2）通過三角換元，利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值；（3）利

用基本不等式求最值；（4）利用導(dǎo)數(shù)法求最值；（5）利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

例

類型一求圓錐曲線的離心率問題

x2y2

--------=l（a>0,b>0）

典例1.【2019湖北1月聯(lián)考】如圖，點(diǎn)曲雙曲線a?M的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，

作PBlx軸，垂足為B,若4為線段°B的中點(diǎn)，且以4為圓心，4P為半徑的圓與雙曲線C恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則

的離心率為（）

【名師指點(diǎn)】在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出。和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙

曲線的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c,a,。的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范

圍.一般來說，求離心率取值范圍，通常可以從兩個(gè)方面來研究：一是考慮幾何關(guān)系，例如根據(jù)線段的大

小關(guān)系或者角的大小關(guān)系列不等式；二是考慮代數(shù)關(guān)系，通過設(shè)點(diǎn)，將所給問題坐標(biāo)化，結(jié)合圓錐曲線方

程和本身范圍來確定.

【舉一反三】

x2y2

--------=l（a>0,b>0）

【2019安徽宿州聯(lián)考］過雙曲線a?b2的右焦點(diǎn)尸作一條漸近線的垂線，垂足為4與另一條

—>—>

漸近線相交于點(diǎn)B,若FB=2F4,則此雙曲線的離心率為()

1

A.2B.2C.WD.收

類型二與圓錐曲線有關(guān)的最值問題

2222

XV,XV、

---1----l(a>b>0)------=l(m>0,n>0)

典例2.【2019湖北1月聯(lián)考】橢題：a?后與雙曲線/n2焦點(diǎn)相同，

27r

ZAFB=—

為左焦點(diǎn)，曲線再承第一象限、第三象限的交點(diǎn)分別為小B，且3,則當(dāng)這兩條曲線的離心率

之積最小時(shí)，雙曲線有一條漸近線的方程是()

A.x-2y=0B.2x+y=0

c.%-=QD.a+y=o

【名師指點(diǎn)】本題主要考查圓錐曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，需要學(xué)生靈活掌握?qǐng)A錐曲線的定義與性質(zhì).

【舉一反三】

r2

M:---1-y2=1

【2019安徽宿州模擬】已知橢圓/,圓C：/+y2=6-a2在第一象限有公共點(diǎn)p,設(shè)圓C在點(diǎn)P處

的切線斜率為勺橢圓牲點(diǎn)處的切線斜率為y則而值范圍為()

A.(1,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)

類型三平面圖形與圓錐曲線相結(jié)合的問題

以2

典例3.設(shè)雙曲線C:：-2r=1(">0，8>。)的左焦點(diǎn)為尸(-c，0)，點(diǎn)〃、N在雙曲線C上，O是坐標(biāo)

a2b2

原點(diǎn)，若四邊形O&WN為平行四邊形，且四邊形OFMN的面積為屈力，則雙曲線C的離心率為()

A.J2B.2

C.2啦D.2君

【名師指點(diǎn)】求離心率問題實(shí)質(zhì)上是根據(jù)已知條件，挖掘題中a,b,c的等量關(guān)系或者不等關(guān)系，可以借助平

面圖形自身滿足的條件或者點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程或者范圍等，本題利用平行四邊形的性質(zhì)并結(jié)合雙曲線

方程和平行四邊形的面積公式得關(guān)于a/,c的方程，進(jìn)而確定離心率的值.

x2y2

C\—+—=l(a>h>0)

【舉一反三】【2019山東濟(jì)南模擬】已知橢圓db2的左右焦點(diǎn)分別為加標(biāo)原點(diǎn)，

A為橢圓上一點(diǎn)，“々,"-2,連接4/2交丁軸于M點(diǎn)，若3|°用|二|0%|,則該橢圓的離心率為()

1^/35回

A.3B.3C.8D.4

名I模精煉

A(-,a)(a>0),

J【2019湖南長(zhǎng)沙檢測(cè)】已知拋物線C：y7=2px(P>0)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)4在C上，|4網(wǎng)=3.若直線4F

與C交于另一點(diǎn)&則的值是()

A.12B.10C.9D.4.5

2【2019湖南長(zhǎng)沙模擬】已知"，匕是雙曲線0丁-/=1的上、下焦點(diǎn)，目是其一條漸近線上一點(diǎn)，

且以外為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，則AP&F2的面積為()

7乙

N."B.2C.2D.1

312019湖南湘潭一?！窟^原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線V=2px于4,8兩點(diǎn)(4B均不與坐標(biāo)

原點(diǎn)重合)，己知拋物線的焦焦到直細(xì)距離的最大值為3,貝曲=()

A.2B.2C.4D.6

x2_/=1

412019貴州遵義聯(lián)考】過雙曲線15的右支上一點(diǎn)P,分別向圓6：(x+4)2+y2=4和圓Q：

(%-4)2+/=1作切線，切點(diǎn)分別為M,N,則|PM『-|PN|2的最小值為()

A.16B.15C.14D.13

22

__—十——l(a>6>0)

5【2019湖北宜昌調(diào)研】過就(3,1)且傾斜角為4的直線與橢圓a?反相交于4B兩點(diǎn)，若

AP=PB,則該橢圓的離心率為()

1yp-

A.2B.5C.9D.9

x2y2

—H------1(Q>b>0)

6【2019湖北宜昌模擬】已知橢IM：a2反上存花、8兩點(diǎn)恰好關(guān)于直線：x-y-l=0對(duì)

稱，且直線4B與直線1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則橢圓c的離心率為()

工里坦1

A.3B.3C.2D.2

7

7【廣東省惠州市2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】?jī)蓚€(gè)正數(shù)、b的等差中項(xiàng)是5,一個(gè)等比中項(xiàng)是小，

x2y2

——-=1

且a<b,則雙曲線a?b23的離心率e等于()

553

152

3---

氏C4a4

A.

x~v-

8【2018廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】過雙曲線。RR=1(。>0力>0)的右焦點(diǎn)F作》軸的垂線，與。

在第一象限的交點(diǎn)為M,且直線AM的斜率大于2,其中A為Q的左頂點(diǎn)，則Q的離心率的取值范圍為

()

A.(1,3)B.(3,+8)C,(1,2^)D.(2.+00)

x2y2

C:——-=l(a>0b>0)

9【2019河南鄭州模擬】已知雙曲線a?b2t的左右焦點(diǎn)分別為匕，實(shí)軸長(zhǎng)為6,漸近

1

線方程為'-f鏟，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓E:/+(y+乖')2=1上一點(diǎn)，則IMNI+IM^I的最小值

為

A.8B.9C.10D.11

0【2019河南鄭州一?！繏佄锞€，=2py(p>0)的焦點(diǎn)為'，已知點(diǎn)1,B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

幽

UFB=60。，過弦4B的中點(diǎn)C作該拋物線準(zhǔn)線的垂線CD,垂足為D,則商的最小值為

2平

A.小B.1C.3D.2

22

1【2018山西名校聯(lián)考】已知橢咋+今=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，且歸閭=2c,點(diǎn)A在橢圓

上,AF|-=0,AF|-AF=c1,則橢圓的離心率6=()

FXF22

1【2018河南名校聯(lián)考】已知拋物線C：y2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)f二3點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)桃

左準(zhǔn)線，上，若AMJJ,且直線4F的斜率軟尸=-小，則A4FM的面積為()

A.3&B,6依c.9GD,1矽

x2y2

C:-----=l(a>0力>0)

3【2019安徽黃山一?！恳阎p曲線a?b2的左、右焦點(diǎn)分別儲(chǔ)、以線段尸1尸2為直

徑的圓與雙曲線c在第一象限交于點(diǎn)p,且仍例=儼41,則雙曲線的離心率為()

丑

A.G+lB.2C.木D.2

第二關(guān)以導(dǎo)數(shù)為工具求解參數(shù)取值范圍問題為主的選擇題

_______________________________j

【名師綜述】利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最值，以及用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用題

是導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用，另外從高考試題來看,高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查加強(qiáng)了試題的綜合性和應(yīng)用性，

由此可見,導(dǎo)數(shù)的解題地位成了必不可少的工具,所以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用成為久考不衰的考點(diǎn).

_______________摩趾&_________________

類型一考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義

典例1【安徽省蚌埠市2018屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢查】已知匕beR,設(shè)直線=H+b是曲

線曠=0*+尤的一條切線，貝ij()

A.攵<1且。41B.%<1且bNl

C.女>1且〃VID.左>1且

【名師指點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)處理切線問題，注意三個(gè)條件的運(yùn)用：設(shè)切點(diǎn)M(%,%)，則切線斜率為左=/Uo).

切點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程；切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程，圓的切線的處理注重圓心到直線等于半徑以及切點(diǎn)與圓心

的連線垂直切線等知識(shí)，注重方程思想的運(yùn)用.

【舉一反三】若一直線與曲線y=lnx和曲線/=@(。>0)相切于同一點(diǎn)P,則a的值為_

.類型二.利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

3

xa2(1

典例2.若函數(shù)/(x)=_-―x+%+1在區(qū)間|—,3|上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

32U)

A.「l,+o?8.「5,+8'C.「l°,+aD.「16,+O?

IL3JL3JLTJLTJ

【名師指點(diǎn)】恒成立問題的兩種常見解題思路：①參變分離；②構(gòu)造函數(shù).，由導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用知I,已

知條件可轉(zhuǎn)化為f\x)<0恒成立，經(jīng)過參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值處理.

【舉一反三】【2019山東濟(jì)南模擬工函數(shù)y=/（x）在R上為偶函數(shù)且在［0，+8］單調(diào)遞減，若X6［L3］時(shí)，不

等式/（2所-加-3）22/（3）-/（而+3-2如0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

|±t/ioTO1ln3+&

6.B.\2e'-6一

1ln6+6,1ln3+6,

C.C’6D./6.

類.型三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值

,（X）=仔之一（3m+l）x+3,x<0

典例3【湖南省湘潭市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬檢測(cè)】若函數(shù)一〔mx2+xlnxjc>0恰有三

個(gè)極值點(diǎn)，則m的取值范圍是（）

A.卜沁B,卜別A（TJ）D.（fl）

【名師指點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值：1、求函數(shù)的極值，先求.尸（?=0的根而，再和函數(shù)定義域

比較，如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，無極值；當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分

段，分別考慮而兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷是否有極值.

2、求函數(shù)的最值和求極值類似，先求/'（x）=0的根不，如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函

數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求最值；當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮與兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判

斷函數(shù)大致圖象，從而求最值.

【舉一反三】【貴州省遵義市2019屆高三年級(jí)第一次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)f（x）=x（2bix-l）-ox+a,其中a>0,

若僅存在兩個(gè)正整數(shù)/使得/（*。）<°,則。的取值范圍是（）

33

4ln2-2<a<3ln3--4ln2-2<a<3ln3--

A.2B.2

,3

,a<3Zn3--

C.a>4/n2-2D.2

名I模精煉

J【安徽省合肥市2018屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知直線,2x—y+l=0與曲線y=ae'+x相切（其中

e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.eB.2eC.1D.2

2【湖北省宜昌市2019屆高三年級(jí)元月調(diào)研】己知f'（x）是定義域源的函數(shù)/0）的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)x

數(shù)都有f'W>火力+1,且有=則不等式/（盼+1<2e*T的解集為（）

傲)

A.(-8,1)B.(1,+8)c.(l，e)D.9)

13x-1,0<x<2

f()33

八町x=公2---xd-----x>2

3【湖北省宜昌市2019屆高三年級(jí)元月調(diào)考】已知函數(shù)【42',若關(guān)于4的方程

?0)+1-。_/a=0有4個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

(r一仇4,6-仇2)

A.2B.(4-伍3,6-歷2)

C.(1+73,4-歷3)D.(1+比3,6-m2)

4【福建省泉州市2019屆高三1月單科質(zhì)檢】已知函數(shù)/'(為=〃3-以+2的極大值和極小值分別為，m,

則M+m=()

A.0B.1C.2D.4

5.【河南省天一大聯(lián)考2018屆高三階段性測(cè)試】已知函f(x)=xlnv+a+3,g(x)=X3-X2,若

數(shù)X

Vx,xJl,21,“x)—g(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

12,2

A.[0,-Foo)B.[1,4-oo)C.[2,-Foo)D.[3,4-oo)

612019廣東肇慶二?！考褐?1是/'(x)=X-(a+3)x+2a+3]eX的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+8)B,(T,+8)C.(-8,-1)D.(-8,1)

f(x)=-x3-4x+2ex--

712019廣東揭陽模擬】已知函數(shù)3次其中e是自然對(duì)數(shù)的底，若f(a-l)+f(2a2)wo,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

[―+8)(—1,—)[—1,—]

A.(-oo,-l]B.2C.2，D."

8【2018江西宜春六校聯(lián)考】已知函數(shù)/(x)=xhir-a"(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是，()

A.[o,[B.(O,e)D.(-00,e)

f(x)—(%2-2x+2)e"——

9【云南省昆明市2019屆高三1月復(fù)習(xí)診斷測(cè)試】設(shè)函數(shù)32的極值點(diǎn)的最大

值為。,若與￡5，"+1),則整數(shù)兀的值為()

A.~2B.-1C.0D.1

0)【福建省福州市2019屆高三第一學(xué)期質(zhì)量抽測(cè)】已知函數(shù)/■(x)=--2ex2+m*-lnx,若f(x)>x恒成

立，則實(shí)數(shù)血的取值范圍是

(/H----F1,+8)(o/H-----F1]

A?eB.e

11

(-oo,e2H----Fl](-8,/+-]

C.CD.e

1【四川省南充高級(jí)中學(xué)2018屆高三1月檢測(cè)】已知函數(shù)/(x)=e2A3,g(x)=[+ln]，若

=成立，則〃一機(jī)的最小值為()

A.—+ln2B.In2C.I-21n2D.21n2

22

2【廣東省佛山市2019屆高三1月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】設(shè)為常數(shù)，函數(shù)/'(0="(工-。)+區(qū)給出以下結(jié)論：

①若a>1,則/(x)在區(qū)間(a-l，a)上有唯一零點(diǎn)；

②若0<a<l,則存在實(shí)數(shù)與，當(dāng)時(shí)，/(x)>0.

③若a<0,則當(dāng)x<0時(shí)，/0)<0.學(xué)=科網(wǎng)

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3【湖南省株洲市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)】已知函[“)一版"一"x)一,若f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

1

(-8,一]

A.(一,+8)B.(_8,e)C.(-oo,e]D.e

i【河北省承德市聯(lián)校2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)】已知尢>0,若對(duì)任意的尢￡(0,+8),不等式

吧20恒成立，貝U的最小值為()

2A

A._B.eC.￡D,

2e2e

第三關(guān)以棱柱'棱錐與球的組合體為背景的選擇題

【名!I幣綜述】球作為立體幾何中重要的旋轉(zhuǎn)體之一，成為考查的重點(diǎn).要熟練掌握基本的解題技巧.還

有球的截面的性質(zhì)的運(yùn)用，特別是其它幾何體的內(nèi)切球與外接球類組合體問題，以及與球有關(guān)的最值問題,

更應(yīng)特別加以關(guān)注的.試題一般以小題的形式出現(xiàn),有一定難度.解決問題的關(guān)鍵是畫出正確的截面，把空

間“切接”問題轉(zhuǎn)化為平面“問題”處理.

類型一四面體的外接球問題

典例1.［福建省泉州市2019屆高三1月單科質(zhì)檢］已知三棱錐4-BCD的所有頂點(diǎn)都在球網(wǎng)球面上，401.平

面4BC,zB4C=90°,AD=2,若球0的表面積為29w,則三棱錐4-BCD的側(cè)面積的最大值為（）

_.—乙J,_J./TJL,—乙/,—乙J

5-72+—5#46y/3+—10^+—

A.4B.4c.2D.2

【方法指導(dǎo)】本題屬于三棱錐的外接球問題，當(dāng)三棱錐的某一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，可將其補(bǔ)全為長(zhǎng)方

體或長(zhǎng)方體，三棱錐與長(zhǎng)方體的外接球是同一外接球，而長(zhǎng)方體的外接球的在球心就是對(duì)角線的交點(diǎn)，那

么對(duì)角線就是外接球的直徑2H=yla\lr+c1,a/,c分別指兩兩垂直的三條棱，進(jìn)而確定外接球表面

積.

【舉一反三】【2018南寧摸底聯(lián)考】三棱錐P-4BC中，A4BC為等邊三角形，PA=PB=PC=3,PA1PB,

三棱錐P-4BC的外接球的體積為（）

4嗎

A.2B.2C.27/兀D.277r

類型二三棱柱的外接球問題

典例2.［山東省臨沂市2019屆高三上學(xué)期第六次質(zhì)量調(diào)研］已知三棱柱"BC-ABIG的側(cè)棱垂直于底面,各

頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為季,陽=2四4。=低/8八（?=6（）°,則此球的體積等于（）

8或〃97r5?而〃4邪7t

A.3B.2C.3D.3

【名師指導(dǎo)】確定球心位置是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵，確定一個(gè)點(diǎn)到多面體各頂點(diǎn)相等的策略是將問題分解，即

先確定到頂點(diǎn)A、B、C距離相等的點(diǎn)在過AABC的外心且垂直于平面A3C的直線上，再確定到頂點(diǎn)

4、與、G距離相等的點(diǎn)過的外心且垂直于平面A4G的直線上，故直三棱柱ABC-A4G的

外接球球心為連接上下底面外心的線段的中點(diǎn)，進(jìn)而可確定外接球半徑.

【舉一反三】【陜西省榆林市2018屆高考模擬第一次測(cè)試】已知直三棱柱ABC-A瓦G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球

。的球面上，若AB=3,AC=4,AB，AC,441=12,則球。的直徑為（）

.—,—2/-

A.13B.4麗C.2/）D.上一

2

類型三四棱錐的外接球問題

典例3.【河北省承德市聯(lián)校2018屆高三上學(xué)期期末考試】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,

書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問積幾何?”其意思為：”今有底面為矩形，一側(cè)棱

垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件

不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（.）

A.142兀平方尺B.140兀平方尺C.138兀平方尺D.128無平方尺

【名師指點(diǎn)】某些空間幾何體是某一個(gè)幾何體的一部分，在解題時(shí)，把這個(gè)幾何體通過“補(bǔ)形”補(bǔ)成完整

的幾何體或置于一個(gè)更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題策略——補(bǔ)形

法.常見的補(bǔ)形法有對(duì)稱補(bǔ)形、聯(lián)系補(bǔ)形與還原補(bǔ)形.對(duì)于還原補(bǔ)形，主要涉及臺(tái)體中“還臺(tái)為錐”問

題.本題可以利用補(bǔ)體法，將四棱錐補(bǔ)體為直三棱錐，利用直三棱柱的外接球半徑求法確定其外接球半徑.

【舉一反三】【貴州省貴陽第一中學(xué)、.云南師大附中、廣西南寧三中2019屆高三“333”高考備考診斷聯(lián)考

數(shù)學(xué)（理）試題】已知四棱錐S-4BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC_L平面48CD,底面4BCD是等腰梯

Z.DAB=一

形，48〃。。且滿足48=249=2。。=2,且3,SC=々，貝IJ球。的表面積是（）

A.5〃,B.47rC.3”D.27r

類型四幾何體的內(nèi)切球問題

典例4.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積為.

【名師指點(diǎn)】解決球與其他幾何體的切接問題，關(guān)鍵在于認(rèn)真分析、觀察，弄清先關(guān)元素的幾何關(guān)系和數(shù)

量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面，截面的選擇應(yīng)該更多地體現(xiàn)元素與元素之間關(guān)系，達(dá)到空間問題平面化

的目的.

【舉一反三】【黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期末】在底面是邊長(zhǎng)為2的正方形的四

棱錐W,-蒯錮底面的射影為正方形的中心，異便直線與所成角的正切值為嚏，若

四棱錐P-4BCD的內(nèi)切球半徑為r,外接球的半徑為R,則左一（）

2211

A.3B.5c.2D.3

名I模精煉

1.12018河南溪河中學(xué)三?！恳阎忮FS-ABC的底面是以為斜邊的等腰直角三角形,

.AB=4,SA=S3=SC=4,則三棱錐的外接球的球心到平面A8C的距離為（）

2.【廣東省佛山市順德區(qū)2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知三棱健-4BC的底面4BC是邊長(zhǎng)為2的等

邊三角形，PAJ?平面4BC,且24=2,則該三棱鏈外接球的表面積為（）

A.3B.207rC.487TD.3

3.[2018河南溪河中學(xué)二?！克拿骟w"BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，4B=2,BC=CD=1,^BCD=60°,

4EJ.平面BCD,則球。的表面積為（）

8"Qy/3--

A.8〃B.3C.3D.3

4.【福建省三明市第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中考試】已知底面半徑為1,高為淄的圓錐的頂點(diǎn)和底

面圓周都在球O的球面上，則此球的表面積為（）

167r

A.27B.127rC.4TTD.~T~

5.【山西省呂梁市2018屆高三上學(xué)期第一次模擬】已知點(diǎn)A,8,C,。在同一個(gè)球的球面上，

AB=BC=也,AC=2,若四面體ABC。的體積為馬￡，球心。恰好在棱0A上，則這個(gè)球的表面

3

積為（）

25萬4石1,

A.____B.4乃C.8萬D.16萬

4

6【河南省洛陽市2019屆高三上學(xué)期尖子生第二次聯(lián)考】已知正三角般BC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面

上，球心0到平面ABC的距離為I,點(diǎn)E是線段4B的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球。的截面，則截面面積的最小值是（〉

，JLy/c

A.4B.2nC.4D.3n

7【河北省唐山市2018屆高三上學(xué)期期末考試】在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面PA8

是直角三角形，且PA=PB=2,當(dāng)三棱椎P-ABC表面積最大時(shí)，該三棱椎外接球的表面積為（）

32〃

A.12乃B.8）C.4孝兀D.____

3

8【湖南省邵陽市2019屆高三上學(xué)期10月大聯(lián)考】已知三棱錐「48C底面的3個(gè)頂點(diǎn)4B,C在球的同

一個(gè)大圓上，AABC為正三角形？為該球面上的點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為2&,則球的表

面積為（）.

A.12〃B.167rc.327rD.647r

9【2019貴州省貴陽市高三模擬】在四棱錐-"BCD中，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2,底面4BCD為正方形，E為PC的

中點(diǎn)，且4BED=90。，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）

162什

——冗——n—n

A.,3B.9c.3D.n

（D【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期末考試】已知點(diǎn)M,N,P,Q在同一個(gè)球面上,

MN=3,NP=4,MP=5,若四面體MNPQ體積的最大值為io,則這個(gè)球的表面積是

乙。71OZ.O71乙乙。711ZS376

A.4B.16C.16D.4

1【黑龍江省牡丹江市第一高級(jí)中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期末】在三棱錐P-4BC中，

P41.平面4BC,4847=120°/。=低48=2四是線段8（；上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長(zhǎng)度最小值為依，則三棱錐

P-ABC的外接球的表面積是（）

97r

A.2B.407TC.D.18兀

13.【福建省龍巖市2018-2019學(xué)年第一學(xué)期期末高三教學(xué)質(zhì)量檢查】在三棱錐4-BCD中，A4BC和AECD都

是邊長(zhǎng)為2力的等邊三角形，息平面4BC_L平面BCD,則三棱錐4-BCC外接球的表面積為（）

A.8〃B.12wC.16比D.20〃

14.【四川省樂山四校2019屆第三學(xué)期半期聯(lián)考】如圖，在等腰梯形ABCO中，

48=2。。=2,/。43=60°,￡為48中點(diǎn).將乙4。￡與八8七。分別沿￡。、EC折起，使A、B重合于

點(diǎn)P,則三棱錐P-OCE的外接球的體積為（）

A4蒜B#乃c#兀D#兀

272824

15.【福建省寧德市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末高三質(zhì)量檢測(cè)】已知正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為小，體積為

r,則其外接球的表面積為（）

A.167rB.367rc.487rD.64〃

第四關(guān)以數(shù)列與函數(shù)'不等式以及其他知識(shí)相結(jié)合為背景的選擇題

【名師綜述】數(shù)列與函數(shù)的交匯問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲

線上給出s的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)

關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的交匯問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或

恒成立問題.

_______________________________

類型一數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合

典例1已知都是定義在R上的函數(shù)，g（x）wo,fa）ga）〉/（x）g'a）,且

/⑴+/（-1）=5,若數(shù)列（/（〃））的前〃項(xiàng)和大于62,則〃的最小值

f(x)=axg(x)(Q>0,且awl),

g（l）g（-l）2g（〃）

為()

A.6B.7C.8D.9

【名師指點(diǎn)】由已知條件構(gòu)造函數(shù)H，則（,￡1>0

故函數(shù)遞增，即函數(shù)y=a'遞增，從而

g（x）g。）g（x）

結(jié)合已知條件可確定。的值，數(shù)列｛,四｝的前〃項(xiàng)和即等比數(shù)列/的前〃項(xiàng)和，通過計(jì)算

確定a>I,

g（〃）1

可得關(guān)于n的不等式，進(jìn)而確定n的最小值.

【舉一反三X湖北省七?？荚嚶?lián)盟”2018屆高三2月聯(lián)考】對(duì)〃eN*,依懸關(guān)于x的方程n?+2x-〃=0

的實(shí)數(shù)根，a=[（"+l）x],（〃=2,3…）（符號(hào)表示不超過x的最大整數(shù)）.則生+的+…+々018;

nL"」------2OH------

（）

A.1010B.1012C.2018D.2020

類型二數(shù)列與不等式的結(jié)合

典例2.[2019山西懷仁模擬】在等差數(shù)列｛%[中，4=1,公差dH0,S”為｛%｝的前n項(xiàng)和.若向量法=（%,。3）,

一25.+16

%=（。佟一。3）,且肩力二。，則%+3的最小值為（）

9

A.4B.3c.2G-2D.2

【名師指點(diǎn)】解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法

①用作差比較法，根據(jù)凡+「4的符號(hào)判斷數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列.

②用作商比較法，根據(jù)上與1的大小關(guān)系及。符號(hào)進(jìn)行判斷.

③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷，注意自變量取值為正整數(shù)這一特殊條件

求解數(shù)列與不等式相結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：（1）參變分離法，將已知不等式變形為

恒成立恒成立O/（〃）鵬＜M（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列

等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過解不等式解得.求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，

其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷

數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.

【舉一反三】【廣東省2019屆高三六校第一次聯(lián)考】已知數(shù)胡馬茜足

,4n

八b”1

a1+2a2+3a3+-+na?=（2n-l）-3設(shè)冊(cè)，S”為數(shù)冽獨(dú)力的前n項(xiàng)和.若無＜2（常數(shù)），neN*,

則久的最小值是（）

393131

A.2B.4c.12D.18

類型三數(shù)列與其他知識(shí)的結(jié)合

典例3已知等差數(shù)列｛叫與等比數(shù)列出｝滿足4=4=。2+偽=1，直線/上三個(gè)不同的點(diǎn)A，B,

f1〕

C與直線/外的點(diǎn)P滿足PA="3P8+仇尸。，則數(shù)列〈-----＞的前九項(xiàng)和為（）

n「〃，213

A.B.C.1——D.__-2

1-2n2n-3nn

【名師指點(diǎn)】本題考查數(shù)列與平面向量的結(jié)合，又向量知識(shí)得其系數(shù)滿足的關(guān)系4+。2010=1，進(jìn)而利用

等差數(shù)列求和公式求解，本題要求學(xué)生熟悉向量三點(diǎn)共線公式0A=〃，8+（l-/l）0C=A、B、CH

點(diǎn)共線，

【舉一反三X陜西省漢中市2019屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測(cè)】在A4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,

若角4B,C成等差數(shù)列，且直線ax+cy=4平分圓,+y2-2x-2y-3=0的周長(zhǎng)，則A4BC面積的最大值為

()

A.3-#B,也C.2D.G

名I模精煉

21

1.【河南省南陽市2019屆高三上學(xué)期期中考試】已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的公比為2,若