人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊)同步講義第26講 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含解析）

第01講3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解圓錐曲線的實際背景。②了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。③掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。④會根據(jù)相關(guān)的條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。⑤會求與橢圓有關(guān)的量。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的定義（相關(guān)的量的掌握）及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會求與橢圓有關(guān)的幾何量知識點01：橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點SKIPIF1<0到兩個定點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距離之和等于常數(shù)SKIPIF1<0，這個動點SKIPIF1<0的軌跡叫橢圓.這兩個定點（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（SKIPIF1<0）叫作橢圓的焦距.說明：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的軌跡為線段SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合SKIPIF1<0.【即學(xué)即練1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P滿足條件SKIPIF1<0，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點P的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓.故選：A.知識點02：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在SKIPIF1<0軸上焦點在SKIPIF1<0軸上標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）圖象焦點坐標(biāo)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的關(guān)系SKIPIF1<0【即學(xué)即練2】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┮阎猄KIPIF1<0的周長為20，且頂點SKIPIF1<0，則頂點SKIPIF1<0的軌跡方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】錯解：∵△ABC的周長為20，頂點SKIPIF1<0，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是SKIPIF1<0故選：D.錯因：忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.正解：∵△ABC的周長為20，頂點SKIPIF1<0，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴橢圓的方程是SKIPIF1<0故選：B.特別說明：1、兩種橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.2、給出橢圓方程SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在SKIPIF1<0軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中SKIPIF1<0項的分母較大;橢圓的焦點在SKIPIF1<0軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中SKIPIF1<0項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.題型01橢圓的定義及辨析【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在【答案】B【詳解】∵SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0的距離之和為5，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0點的軌跡為橢圓.故選：B.【典例2】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個定點，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常數(shù)），動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線【答案】C【詳解】解：因為SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時動點SKIPIF1<0的軌跡是橢圓；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時動點SKIPIF1<0的軌跡是線段SKIPIF1<0．故選：C．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果點SKIPIF1<0在運動過程中，總滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡是（

）．A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【答案】B【詳解】SKIPIF1<0表示平面由點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是橢圓，故選：B【變式2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）橢圓SKIPIF1<0上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.【答案】14【詳解】設(shè)左、右焦點為SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以點P與另一個焦點的距離等于14.故答案為：14故選：B.題型02利用橢圓定義求方程【典例1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）方程SKIPIF1<0，化簡的結(jié)果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，可得點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和等于12，即SKIPIF1<0，所以動點SKIPIF1<0的軌跡是焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓，設(shè)其方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故方程為SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國語學(xué)校?？计谀┮阎獔ASKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，動圓M與圓SKIPIF1<0外切，同時與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】如圖，由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故動圓圓心M的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：D【變式1】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題知：SKIPIF1<0，①又橢圓經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③聯(lián)立解得：SKIPIF1<0，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）已知動點M到定點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離的和是SKIPIF1<0，則點M的軌跡方程是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為M到頂點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離的和為SKIPIF1<0，所以M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設(shè)方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M的軌跡方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型03橢圓上點到焦點距離（含最值）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0到右準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到它的左焦點的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0分別為橢圓的左、右焦點，SKIPIF1<0到左準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到右準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到它的左焦點距離為SKIPIF1<0．故選：A.【典例2】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓SKIPIF1<0上的動點SKIPIF1<0到右焦點距離的最大值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點到右焦點距離最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：A【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓的左，右焦點，在SKIPIF1<0中可得：SKIPIF1<0①，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，等號成立，在SKIPIF1<0中可得：SKIPIF1<0②，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，等號成立，由①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，由橢圓方程SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由橢圓定義可得：SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故選：A.【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0是橢圓上一點，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長最大值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)三點M，SKIPIF1<0，A共線時取等號．SKIPIF1<0的周長最大值等于18．故選：C．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A為橢圓SKIPIF1<0上一點，F(xiàn)為橢圓一焦點，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】不妨設(shè)橢圓SKIPIF1<0左焦點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，把橢圓SKIPIF1<0的長軸SKIPIF1<0八等分，過每個分點作SKIPIF1<0軸的垂線交橢圓的上半部分于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0七個點，SKIPIF1<0是橢圓的一個焦點，則SKIPIF1<0的值為．【答案】28【詳解】設(shè)橢圓的另一個焦點為SKIPIF1<0由橢圓的幾何性質(zhì)可知：SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故答案為SKIPIF1<0.【變式3】（2022秋·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？计谀┮阎猄KIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的一點，若SKIPIF1<0分別是圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由題設(shè)圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的圓心分別為SKIPIF1<0，半徑分別為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0的延長線上時取等號，此時最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型04橢圓上點到坐標(biāo)軸上點的距離（含最值）問題【典例1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，曲線SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由曲線SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的焦點，而SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓定義知點SKIPIF1<0的軌跡為以C、D為焦點的橢圓，所以軌跡方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）已知點SKIPIF1<0，P是橢圓SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）已知P是橢圓SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值與最大值．【答案】最小值為SKIPIF1<0，最大值為11【詳解】因為P是橢圓SKIPIF1<0上一點，所以SKIPIF1<0，且橢圓焦點在y軸上，點P是橢圓上任意一點，設(shè)點P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0【變式1】（2022秋·山東淄博·高一?？计谀E圓SKIPIF1<0上任一點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0的距離的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點為F1?F2，點P在橢圓上，若RtSKIPIF1<0F1PF2，則點P到x軸的距離為.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】設(shè)點SKIPIF1<0，則到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）（2）知：SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【變式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南開中學(xué)校考期中）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，P為橢圓上一點，且SKIPIF1<0，則點P到y(tǒng)軸的距離為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，由橢圓SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0...題型05橢圓上點到焦點和定點距離的和差最值【典例1】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A是C上一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中間時等號成立，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，點M、N分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】設(shè)圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的圓心分別為SKIPIF1<0,半徑分別為SKIPIF1<0.則橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0的延長線上時取等號.此時SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎獧E圓C：SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，由SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時取等號），∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、SKIPIF1<0共線時等號成立.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0共線時，SKIPIF1<0最大，如下圖所示：SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，P是橢圓上一點，若點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】根據(jù)橢圓的定義：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取得最小值時，即SKIPIF1<0最小，如圖所示：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線時取得最小值．SKIPIF1<0的最小值為：SKIPIF1<0﹒故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知F是橢圓SKIPIF1<0的右焦點，P為橢圓C上一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中間時等號成立.故答案為：SKIPIF1<0【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P為橢圓上一點，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】1【詳解】依題意，橢圓SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0，右焦點SKIPIF1<0，點P為橢圓上一點，點A在此橢圓外，由橢圓的定義得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)點P是線段SKIPIF1<0與橢圓的交點時取“=”，所以SKIPIF1<0的最小值為1.故答案為：1題型06判斷方程是否表示橢圓【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知條件SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，條件SKIPIF1<0：SKIPIF1<0表示一個橢圓，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示一個圓，充分性不成立；而SKIPIF1<0表示一個橢圓，則SKIPIF1<0成立，必要性成立.所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件.故選：B【典例2】（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)方程①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．其中表示橢圓的方程是．【答案】①【詳解】對于①，方程SKIPIF1<0表示平面內(nèi)的動點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離之和等于8的點的軌跡，因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為6，且SKIPIF1<0，所以動點SKIPIF1<0的軌跡是橢圓，所以方程①表示橢圓的方程，對于②，方程SKIPIF1<0表示平面內(nèi)的動點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離之和等于2的點的軌跡，由于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為2，所以動點SKIPIF1<0的軌跡是一條線段，所以方程②表示的不是橢圓方程，故答案為：①【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示的曲線為橢圓”的條件．【答案】必要不充分【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時表示圓，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時表示橢圓，充分性不成立；當(dāng)SKIPIF1<0為橢圓，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，必要性成立；綜上，“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線SKIPIF1<0（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是橢圓，其焦點在SKIPIF1<0軸上B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是橢圓，其焦點在SKIPIF1<0軸上C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是圓，其半徑為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是兩條直線【答案】AD【詳解】對于A，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即曲線SKIPIF1<0表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓，故A正確，故B錯誤；對于C，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，此時曲線SKIPIF1<0表示圓心在原點，半徑為SKIPIF1<0的圓，故C不正確；對于D，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時曲線SKIPIF1<0表示平行于SKIPIF1<0軸的兩條直線，故D正確；故選：AD.【變式2】（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程SKIPIF1<0表示橢圓的充要條件是．【答案】SKIPIF1<0答案不唯一【詳解】方程SKIPIF1<0表示橢圓,則必有SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0,（答案不唯一，其他等價情況也對）題型07求橢圓方程【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為SKIPIF1<0，則這個橢圓的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．以上都不對【答案】B【詳解】

由題意，當(dāng)橢圓焦點在SKIPIF1<0軸上，設(shè)橢圓方程為：SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為：SKIPIF1<0，當(dāng)橢圓焦點在SKIPIF1<0軸上時，同理可得：SKIPIF1<0，故選：B【典例2】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學(xué)校校考期末）已知橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的一個焦點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．41 D．9【答案】A【詳解】由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.【典例3】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C:SKIPIF1<0,四點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中恰有三點在橢圓SKIPIF1<0上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在橢圓上,SKIPIF1<0不在橢圓上,SKIPIF1<0在橢圓上.將SKIPIF1<0,SKIPIF1<0代入橢圓方程得:SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故選:D.【典例4】（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓以原點為中心，長軸長是短軸長的2倍，且過點SKIPIF1<0，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】當(dāng)焦點在SKIPIF1<0軸上時，設(shè)橢圓方程SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓方程為SKIPIF1<0；當(dāng)焦點在SKIPIF1<0軸上時，設(shè)橢圓方程SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓方程為SKIPIF1<0；綜上，橢圓方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓SKIPIF1<0的焦距等于SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為橢圓的焦點在SKIPIF1<0軸上，所以SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點在對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】當(dāng)焦點在SKIPIF1<0軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，故舍棄.當(dāng)焦點在SKIPIF1<0軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題知：SKIPIF1<0，①又橢圓經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②又SKIPIF1<0，③聯(lián)立解得：SKIPIF1<0，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式4】（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙?jīng)過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)所求橢圓的方程為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型08根據(jù)橢圓方程求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）方程SKIPIF1<0表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】方程SKIPIF1<0可變形為SKIPIF1<0，表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.易知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時未必有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分但不必要條件.故選：B.【典例2】（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓SKIPIF1<0的焦距為2，則實數(shù)m＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或1【答案】D【詳解】焦距為2，即SKIPIF1<0.當(dāng)焦點在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當(dāng)焦點在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；綜合得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：D.【典例3】（2023·高三課時練習(xí)）若方程SKIPIF1<0表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】∵方程SKIPIF1<0表示焦點在x軸上的橢圓，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴實數(shù)a的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┓匠蘏KIPIF1<0表示橢圓的一個充分不必要條件是（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】若方程SKIPIF1<0表示橢圓，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的真子集，所以“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示橢圓”的充分不必要條件，故選：B.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0①.由于方程SKIPIF1<0表示橢圓，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0②.由①②得SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：C題型09橢圓中的軌跡方程問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0外切，記動圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡為SKIPIF1<0.則軌跡SKIPIF1<0的方程為；【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)動圓的半徑為SKIPIF1<0，由已知得：圓SKIPIF1<0可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：SKIPIF1<0，即圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：SKIPIF1<0，即圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經(jīng)分析可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由題意可知：SKIPIF1<0，兩式相加得，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，可設(shè)方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知SKIPIF1<0的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，A、C兩點的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，則頂點B的軌跡方程為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0的三邊a，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為B、A、C三點構(gòu)成SKIPIF1<0，所以B、A、C三點不能在一條直線上，所以SKIPIF1<0，所以頂點B的軌跡方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓CSKIPIF1<0上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足SKIPIF1<0.求點P的軌跡方程；【答案】SKIPIF1<0；【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0