2021版高中數(shù)學(xué)必做黃金100題47 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（解析版）

第47題數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

題源探究?黃金母題

已知數(shù)列的前"項(xiàng)的和為S”=1-2〃+3,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________-

_2,〃=1,【試題來(lái)源】人教A版必修5P45練習(xí)T2

【答案】

2n-3,n>2.改編.

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，q=F—2+3=2；【母題評(píng)析】考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.

【思路方法】常轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差數(shù)

當(dāng)〃22時(shí)，

列、等比數(shù)列)來(lái)求解；或利用an與S,,的

an=Sn-Sn_,=〃2-2〃+3--2(?;-1)+3j=2?-3.

關(guān)系，用作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2,"=1,

綜上：cin=<

2"-3,n>2.

考場(chǎng)精彩?真題回放

[202()年高考山東】已知公比大于1的等比數(shù)列僅“｝滿足%+%=20,4=8.

(1)求｛〃“｝的通項(xiàng)公式;

(2)記〉為｛/｝在區(qū)間(OMOneN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列｛勾｝的前100項(xiàng)和5儂.

【命題意圖】這類題主要考查考查數(shù)列通

【解析】(1)設(shè)｛4｝的公比為q.由題設(shè)得%q+*=20,

項(xiàng)公式的求法，能較好的考查考生分析問(wèn)

2題解決問(wèn)題的能力、基本計(jì)算能力等.

atq=8.

【考試方向】這類試題在考查題型上，若

解得4=(舍去)，q=2.由題設(shè)得％=2.

以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，則難度中

等偏易；也可以為解答題，往往與等差(比)

所以｛七｝的通項(xiàng)公式為?！?2".

數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問(wèn)題綜合考查,

難度中等.

(2)由題設(shè)及(1)知么=0,且當(dāng)2"4〃?<2"‘時(shí)，bm=n.

所以【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算

sa+娛+（d+用+4+白）++（%+%++%）+偏除芯]殊心求數(shù)列的通項(xiàng)公式是

最基本的方法，要善于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩種

基本數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）來(lái)求其

=0+1X2+2x22+3x25+4x24+5x254-6x（100-63）通項(xiàng)公式.

=480.

三.理論基礎(chǔ)?解題原理

考點(diǎn)一數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛《,｝的第〃項(xiàng)4和項(xiàng)數(shù)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列

的通項(xiàng)公式.即%=/（〃）.不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.不是每一個(gè)數(shù)列只有一個(gè)通項(xiàng)公式.

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的考查，若以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，則難度中等偏易；也可以為

解答題，往往與等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問(wèn)題綜合考查，難度中等.

考向1公式法求數(shù)列的通項(xiàng)

【溫馨提醒】本題解題

已知數(shù)列｛an｝滿足%+[=2/+3x2”,q=2,求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式.

的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式

【解析】“川=2%+3x2"兩邊除以2向，得智=3+2,則

〃十1"2"]2〃24向=2q+3*2''

&一%=3,故數(shù)列｛&_｝是以粵=2=1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，由

4用4=3

2，，+12"22"2'22

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得組=1+（n-1）3,所以數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為化為2.2-2,說(shuō)

22

隹｝

叨數(shù)列2”是等差數(shù)

列，再直接利用等差數(shù)

列的通項(xiàng)公式求出

^=l+(rt-l)-

2"2進(jìn)

而求出數(shù)列SJ的通

項(xiàng)公式.

考向2累加法求數(shù)列的通項(xiàng)

【溫馨提醒】本題解題

已知數(shù)列他，滿足an+i=4+2〃+1,4=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式

“N=4+2〃+1轉(zhuǎn)化

【解析】由a“+i=?！?2〃+1得a,+1-4=2〃+1則

為4+1-勺=2〃+1

an=(a”-a,i)+(a“T-%-2)++(%-%)+(。2-4)+%

進(jìn)而求出

=[2(〃-1)+1]+[2(〃-2)+1]++(2x2+l)+(2xl+l)+l

(a?~an-l)+(。"-1-an-2

=2[(〃-1)+(〃-2)++2+i]+(〃-

公式.

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為%=n2.

考向3累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)

,、/【溫馨提醒】本題

定義數(shù)列｛%｝如下：a0=\,6=1,當(dāng)〃22時(shí)，有%=%_]+—0.定

4-21￡要考查了數(shù)列的遞推

〃公式和等差數(shù)列的通

義數(shù)列也｝如下：d=1，4=3,當(dāng)〃22時(shí)，有勿=如+也，貝ijha=

bn-2勺38項(xiàng)、累乘法求解數(shù)列的

()通項(xiàng)公式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)

?n]Q用，試題有一定的難度,

A.2017B.2018C.2019D.

2屬于中檔試題，在利用

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，

【答案】D

性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)

2律的深刻體現(xiàn)，是解決

【解析】由4=勺|+4二，兩邊同除%t，可得」￡=1+也，即

??-2??-1an-2等差、等比數(shù)列問(wèn)題既

快捷又方便的工具，應(yīng)

有意識(shí)地去應(yīng)用.但在

應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)

，構(gòu)成首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，所以上-=〃，

則數(shù)列《1,1的前提條件，有時(shí)需要

進(jìn)行適當(dāng)變形，運(yùn)算問(wèn)

a題時(shí)，要注意采用“巧

所以a”=qx—x—xx-^――Ix2x3x4xxn

aa

q2n-\用性質(zhì)、整體考慮、減

少運(yùn)算量”的方法.

hhb

同理可得上——以1,則數(shù)列《n構(gòu)成首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)

%b?-2

b

列，所以工=〃+2,

%

b

可得a=4X%x%xx—^-=3x4xx(〃+2),

h4%I)

所以3=3X4X>2。3四故選口.

4018lx2xx20182

考向4待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)

已知數(shù)列｛叫滿足%=24+3x5",4=6,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.【技能方法】本題解題

的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式

【解析】設(shè)a+xx5,,+|=2(a,+xx5")④

n+i“用=2?！?3x5"轉(zhuǎn)化

為

等

將an+t=2q+3x5"代入④式，得2an+3x5"+xx52=2an+2xx5",

n+ln

an+I-5=2(a?-5)

式兩邊消去2%,得35'+匕52=2r5",兩邊除以5",得

，從而可知數(shù)列

n+,n

3+5x=2x,貝卜=-l,代入④式得all+l-5=2(??-5)⑤

｛4—5"｝是等比數(shù)歹1」,

由4-5|=6-5=1彳0及⑤式得勺一5"#0,則皿E=2,則數(shù)列進(jìn)而求出數(shù)列

。“-5"

｛。"-5"｝的通項(xiàng)公式,

應(yīng)-5"｝是以4-5:1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則%-5"=2"，故

最后再求出數(shù)列｛%｝

an=2"~+5".的通項(xiàng)公式.

考向5對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)

已知數(shù)列｛可｝滿足a“+i=2x3"xa；,q=7,求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式.【技能方法】本題解題

的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換

【解析】因?yàn)閍n+｝=2x3"xa：,q=7,所以>0,an+l>0.在把遞推關(guān)系式

6,+1=2x3"x獷，化

=2x3"xa：式兩邊取常用對(duì)數(shù)得1g。用=5lgan+〃1g3+1g2①

為

設(shè)〃〃②

lga“+i+x(+l)+y=5(lg/+x+y),但37八1g31g2

lga,+-^-(?+l)+--+-^-

,,+l4164

,從而可知數(shù)列

將①式代入②式，得5lg+〃1g3+1g2+x("+1)+y=5(lgan+xn+y),

｛lga“+駕+螞+蛤

兩邊消去5lgan并整理，得(Ig3+x)〃+x+y+lg2=5x〃+5y,則

是等比數(shù)列，進(jìn)而求出

r1上

lg3+x=5x4數(shù)列

V，故〈

x+y+lg2=5ylg3?lg2

7~164(…小翳學(xué)

的通項(xiàng)公式，最后再求

代入。式,得lg%+竽(〃+l)+祟+殍=5(lga“+孥〃+整+殍)

4lo44lo4出數(shù)列的通項(xiàng)公

③

式.

由愴4+螞、1+柜+典=愴7+柜乂1+柜+螞力0及③式，得

41644164

ja3]Q3Is2

lg??+—?+—+—*0,

"4164

愴4川+整("+1)+器+詈

則=5,

叱+柜〃+史+盛

6''4164

所以數(shù)列｛1g4+號(hào)〃+臂+號(hào)｝是以lg7+號(hào)+胃+號(hào)為首項(xiàng)，以

5為公比的等比數(shù)列，貝!|

3“+詈+翳*Qg7+*翳學(xué)尸，因此

lga“=(lg7+號(hào)+臂+〃.豆愴2

64

?_i_ji11

lg7+1g3“+lg36+1g2,5n-1-lg3z-lg316-lg24=[lg(7?3“3正?23)]5n-l-lg3"-3l5-24

7\

j2n_1_1、5n-l-n5n-'-l

=lg7?313正?2“5"T—lg3"3正?2*=lg75M-,?31?316.24

777

5n-4n-\5n-,-l)

=lg752.316-24

/

5〃一4〃一15小一1

則4=7。3丁x23

考向6迭代法求數(shù)列的通項(xiàng)

【技能方法】本題

已知數(shù)列｛4｝滿足an+｛=a：""""，4=5,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

還可綜合利用累乘法和

【解析】4+1=。：向)2",對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通

項(xiàng)公式.即先將等式

?.?%=邸丁'=[d*2"2產(chǎn)*

n-〃3("+1)2"

4+1—4兩邊取

_「”3("-2>2"-3]32("-1)."2(A22T>

an-2-4-3J常用對(duì)數(shù)得

1g1=3(砧l)x2"xlga“

/,_,2

_33(〃-2)(〃-1)〃?2("3)+("-2)+5_1)__3-2-35-2)(〃-1)〃-2件2++(n-3)+(?-2)+(n-i)_3'1能!-2

=an-3==a\=a\即

思弘■=3(〃+1)2"

但4，再

又4=5,所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a=53""2k

n由累乘法可推知

U警產(chǎn).

,從而

4=52

考向7換元法求數(shù)列的通項(xiàng)

已知數(shù)列他“｝滿足。,川=—己+44+，1+24q),4=1,求數(shù)列｛4｝的通【技能方法】本題

16

解題的關(guān)鍵是通過(guò)將

項(xiàng)公式.

J1+24%的換元為

【解析】令仇=71+24%,則凡$娛1)，故％=1(%—1)，

”,使得所給遞推關(guān)系

代入%=[(l+4a“+Jl+24a“)得

,1,3

16hn\=~bn+~

式轉(zhuǎn)化+

=端-1)=白口+4加-1)+。]，即<,=電+3>.22

241O24

形式，從而可知數(shù)列

因?yàn)椤?=Jl+24q20,故"+i=Jl+244m40,則2b,,+i=2+3,即也-3｝為等比數(shù)列，進(jìn)

,1,3

=52+'，而求出數(shù)列g(shù)"-3｝的

通項(xiàng)公式，最后再求出

可化為%-3=，勿一3),所以也一3｝是以

數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

4-3=Jl+24q-3=6+24x1-3=2為首項(xiàng),以g為公比的等比數(shù)列，因此

2—3=2(g)"T=g)"2,則2=弓尸+3,即3+24?！?('"-2+3,得

考向8不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)

21〃-24【技能方法】本題

已知數(shù)列｛4｝滿足〃用=〃，q=4,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

4%+1解題的關(guān)鍵是先求出函

91r-74，/、2U-24

【解析】令,得4/—20x+24=0,則％=2,%=3是函數(shù)f(x)=----------

4x+l-數(shù)以+1的

21Xx-24

/（X）=--的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因?yàn)椴粍?dòng)點(diǎn)，即方程

4x+l

鞏21X-24

2-242X一

a,/—2二4%+1二2&-24-2（44+1）_134—26=134—2所4x+l的兩個(gè)根

??+1-3―21凡-243—21。“—24—3（4。,+1）-9?！耙?7一9一3?

44+1玉=2,W=3,進(jìn)而可

推出

以數(shù)列出^是以幺二2=3二2=2為首項(xiàng)，以上為公比的等比數(shù)列，故

n-3]q-34-39

n4+1-2=13an-2

%-39a-3

上|=2片尸，則為=二一+3.n

〃（｝nl

a-392--~-1從而可知數(shù)列

9

目

q-3j為等比數(shù)列，

《,一2

<----->

再求出數(shù)列1為一3，

的通項(xiàng)公式，最后求出

數(shù)列他力的通項(xiàng)公式.

考向9歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)

【技能方法】本題解題

已知數(shù)列｛4｝滿足%=a?+(2〃羊苗+374=:，求數(shù)列｛4，｝的通

的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞

項(xiàng)公式.推關(guān)系式先求出數(shù)列的

前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列

【解析】由??+1=an+——嗎土?—<及得

n+1"(2〃+1)2(2〃+3)219的通項(xiàng)公式，最后再用

88X2

a?8(1+1)=+-2_4數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

9-925

4(2xl+l)2(2xl+3)2X25

8(2+1)_248x3_48

22-+

士(2X2+1)(2X2+3)2525x49-49

8(3+1)488x480

-J-----------------------------------------------1--------------------

(2X3+1)2(2X3+3)24949x8181

由此可猜測(cè)q=：；；?；丁,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q=?.+l=1=§,所以等式成立.

(2x1+1)-9

(2)假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)等式成立，即4=(2八］/「,則當(dāng)〃=%+1時(shí),

(2%+1)2

8(Z+1)_(2k+l)2-]8(A+1)

+(2%+1)2(2改+3)2一(2Z+1)2(2C+1)2(2%+34

[(2火+l)2_l](2k+3)2+8(k+l)

(2%+1)2(2,+3)2

_Qk+1)?(2%+3>-(2k+3)2+8(%+1)_Qk+1『(2Z+3f—Qk+

(2%+1)2(2-+3>―(2-+1)2(22+3,

_3+3)2-][2(%+1)+1]J

一(2-+3)2-[2(攵+1)+1]2

由此可知，當(dāng)”=左+1時(shí)等式也成立.

根據(jù)(1),(2)可知，等式對(duì)任何〃eN”都成立.

五.限時(shí)訓(xùn)練*提升素養(yǎng)

1.(2020?湖北隨州?期末)大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤普》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中

國(guó)傳統(tǒng)文化中太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩翼數(shù)量總和，是中

國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,

50,則此數(shù)列的第20項(xiàng)與21項(xiàng)的和為（）

A.380B.410C.420D.462

【答案】C由數(shù)列的前10項(xiàng)可知，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式=2/,:.4。=2xl（）2=200.

奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式％,I=%*11=2x10x11=220,

%()+%=200+220=420.

故選：C

2.（2020.新安縣）如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有〃個(gè)

9999

點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為/，則--+——+——++-一'—等于（）

°2a3°3a4a4a5^2019^2020

■■

??

???

??

■????

??

?????

?????????

”3n?5

2015201620172018

A.-----B.-----c.-----D.-----

2016201720182019

=3(〃-1)(力>1,力wN*),

【答案】D，%=3,%=6,a4=9,。5=12,貝ijdn

9_9

所以,

3(〃7)x3〃

99911

因此,------------1--------------1---------------F+

a2a3。3。4。4。520182019

112018

--2019-2019

故選：D.

2。

3.已知數(shù)列｛為｝滿足：田1，%一：（“WN）則數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為（）

4+2

21ni

A-qFB-C'%，D-

【答案】A

【解析】

2a,

?i(〃GN*)

n+4+2

11

1一4+2——|--

%2?！?4

\"ai=l

｛二1｝是以1為首項(xiàng)，工為公差的等差數(shù)列

a?2

—1=,11/-1)=-〃-+-l

%+2一')2

2

故選A.

a，a”.

4..已知數(shù)列為,―,…一-，…是首項(xiàng)為l,公比為2的等比數(shù)列，則log,%=（）

%a）,-\

/八c〃(〃T)c”("+1)crt(/2-l)

A.〃(〃+1)B.-------C.—-----D.———-

422

【答案】D由題設(shè)有‘￡=1X2"T=2"T(〃N2),

%

n(n-l)

而?！?4x&x&xx=1x2I+2++n~l=22(H>2),

%a2an-\

/?(?-1)

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1也滿足該式，故q=2丁(〃21)，

所以］og?%=〃(丁),

故選：D.

5.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等

差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高

階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,

36,54,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為()

(注：F+22+3?++/=〃(〃+1)(2〃+1))

6

A.1624B.1198C.1024D.1560

【答案】C

【詳解】設(shè)該數(shù)列為｛《,｝,令/=4+「4，設(shè)色｝的前〃項(xiàng)和為紇，又令&=%一%

設(shè)｛c,,｝的前〃項(xiàng)和為?！埃椎胏”=〃，

C.=g+%++。=(%-2)+(2—％)+++(4一4)

所以C“=b”+「bi，仄=%-%=3

-n~2+n、什hr,「廠n2+n

cn=~Y~'進(jìn)而得"+l=3+C"=3o+—，

所以d=3+^11=日—L〃+3,

"222

1/,,1/、n(n+1](n-l]

B?=-(l2+22++/?2)--(l+2++〃)+3〃=-^————L+3n

同理：B“=b“+be++偽=(4+「4,)+(4,-41)++3-4)

紇=a“+「4

所以?！?|=1+紇，所以須=1024.

故選：C

6.(2020?陜西漢中?月考)設(shè)數(shù)列｛q,｝的前”項(xiàng)和為S“，且S“=24-l(〃eN*),則。“=()

A.2/1B.2〃一1C.2"D.2'i

【答案】D

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，4=S1=2q-l,可得4=1；

當(dāng)〃22時(shí)，2(%-即a?=2%；

二數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為4=2"，

故選：D

f（X）

7.我們把滿足：工用=x“一汁々的數(shù)列｛七｝叫做牛頓數(shù)列，已知函數(shù)/（x）=f-1,且數(shù)列｛七｝為牛頓

數(shù)列，設(shè)a“=ln匕。，則&也=（）

當(dāng)+1%

A.64B.32C.2D.1

答案】C

【解析】

Vf（x）=X2-1,數(shù)列｛Xn｝為牛頓數(shù)列，.??當(dāng)M=4—坐&