工程流體力學(xué)-第五章

工程流體力學(xué)-第五章工程流體力學(xué)---第五章1.通過對物理模型的分析和簡化，建立流體運(yùn)動的基本方程及其邊界條件；2.再通過數(shù)學(xué)方法求解這些方程，得出流動規(guī)律。理論流體力學(xué)是流體力學(xué)重要的組成部分。理論流體力學(xué)研究的思路流體運(yùn)動方程及其邊界的復(fù)雜性實(shí)驗(yàn)研究發(fā)展流體力學(xué)理論解釋流動現(xiàn)象驗(yàn)證流體力學(xué)假說解決流體力學(xué)問題

流體力學(xué)的研究方法中實(shí)驗(yàn)研究既是理論分析的依據(jù)，同時也是檢驗(yàn)理論的準(zhǔn)繩，具有很重要的作用。本章將探討其理論基礎(chǔ)：量綱分析相似理論物理規(guī)律直接實(shí)驗(yàn)法理論分析法模型研究法從相似的概念入手，引入相似準(zhǔn)數(shù)；從相似原理和量綱分析出發(fā)導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)的結(jié)構(gòu)；分析實(shí)際問題與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嗨频臈l件；相似模型的設(shè)計(jì)相似理論相似準(zhǔn)數(shù)定解問題通過相似變換方法獲得能寫出微分方程的問題量綱分析法從所研究問題包含的物理量的量綱著手，運(yùn)用形式邏輯推理來研究問題的一種方法理論根據(jù)：物理方程量綱的一致性特點(diǎn)：不必深入研究內(nèi)部過程的細(xì)節(jié)，只需了解過程遵守的基本定律；邊界上哪些物理量有重要作用；定解條件中包含哪些物理量。1.單位：表征各物理量的大小。如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。2.量綱（因次）：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示。第一節(jié)量綱分析一、量綱單位和量綱都是關(guān)于度量的概念，單位決定量度的數(shù)量，而量綱則指量度的性質(zhì)。

單位制及單位換算

任何物理量都由數(shù)字和單位聯(lián)合表達(dá)的。運(yùn)算時，數(shù)字與單位一并納入運(yùn)算。如：

5m+8m=(5+8)m;5m×8m=(5×8)(m×m)=40m2

物理量單位選擇時，先選定幾個獨(dú)立的物理量，叫基本量，并根據(jù)使用方便的原則，定出這些量的單位，叫基本單位；其它各量的單位通過它們與基本量之間的關(guān)系來確定，這些物理量叫導(dǎo)出量，單位叫導(dǎo)出單位；導(dǎo)出單位是由基本單位乘除構(gòu)成的。單位制基本單位導(dǎo)出單位單位制：國際單位制(SI單位制)：7個基本量：長度:m；時間:s；質(zhì)量:kg；電流強(qiáng)度:A(安培)；發(fā)光強(qiáng)度:cd(燭光)；物質(zhì)的量:mol(摩爾)；熱力學(xué)溫度:K。2個輔助量：平面角:rad(弧度)；立體角:sr(球面度)。特點(diǎn)：1.通用性。2.一貫性。任何一個SI導(dǎo)出單位，在由基本單位導(dǎo)出時，都不需引入比例系數(shù)。我國法定計(jì)量單位國際單位制選定的非國際單位制

基本物理量單位制長度（L）時間（T）質(zhì)量（M）重力（F）絕對單位制cgs制cmsgkgms制mskg英制ftslb工程單位制米制mskgf英制ftslbf不同單位制的不同基本量導(dǎo)出量力――N；壓強(qiáng)――Pa（N/m2）；功，能，熱―J；功率―W物理量：由一種單位換算成另一種單位時，量本身并不變化，只是數(shù)值要變化，換算時要乘或除以兩單位間的換算因數(shù)。

換算因數(shù)：彼此相等而單位不同的兩個物理量包括單位在內(nèi)的比值。如；1m＝100cm，則換算因數(shù)為100cm/m或0.01m/cm

例：已知1atm=1.033kgf/cm2,試用Pa表示。解：查附錄1知：1kgf=9.81N,1cm2=10-4m2

換算因數(shù)：9.81N/kgf,10-4m2/cm2例：通用氣體常數(shù)R＝0.08206atm·L／mol·K，試用國際單位J／mol·K表示。解：R＝0.08206atm·L／mol·K＝0.08206atm·L／mol·K×1m3／1000L×101325Pa／atm＝8.314Pa·m3

／mol·K＝8.314J／mol·K量綱的表示方法：物理量的代表符號外加上中括號。如[L]，[M]，[T]等。用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位3.基本量綱導(dǎo)出量綱

基本量綱是具有獨(dú)立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：長度量綱L時間量綱T質(zhì)量量綱M

導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示，如加速度的量綱[a]=LT-2

力的量綱[F]=[ma]=MLT-2

任何物理量B的量綱可寫成

[B]=M

L

T

4基本量導(dǎo)出量一個物理問題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量：具有獨(dú)立性、唯一性）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系到除，前者互為獨(dú)立的物理量。基本量個數(shù)取基本量綱個數(shù)，所取定的基本量必須包括三個基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。

流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強(qiáng)dimp=ML－1

T－25.有量綱量和無量綱量水力學(xué)中任何物理量C的量綱可寫成[C]=[L]

[T]

[M]

當(dāng)α、β、γ不全為0時，C稱為有量綱量。當(dāng)α、β、γ全部為0時，C稱為無量綱量或無量綱數(shù)。有量綱量水力學(xué)中的有量綱量可分為三類：1、幾何學(xué)的量:β＝γ＝0，α

≠0；2、運(yùn)動學(xué)的量:γ＝0，α≠0,β≠0

；3、動力學(xué)的量:α≠0，γ≠0,β≠0。[C]=[L]

[T]

[M]

無量綱量

無量綱量無量綱量特點(diǎn)：（1）無量綱數(shù)沒有單位，它的數(shù)值與所選用的單位無關(guān)；（2）在兩個相似流動之間，同名的無量綱相等；（3）在對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)等運(yùn)算中，都必須是對無量綱來說，而對有量綱的某個物理量取對數(shù)是無意義的。量綱齊次性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱和諧性原理，指凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致的。推論：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，必然可以寫成無量綱形式。

二、量綱和諧原理及瑞利法忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無量綱化伯努利方程?在無粘性圓柱繞流中前后駐點(diǎn)上下側(cè)點(diǎn)其他點(diǎn)?以上結(jié)果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。柱面上：柱面外：流場中還與無量綱半徑有關(guān)·C·DABa

對于復(fù)雜的流動,常用量綱分析法和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合進(jìn)行研究。量綱分析法是根據(jù)量綱齊次性原理尋求物理量之間函數(shù)關(guān)系的一種方法，也可以得出相似準(zhǔn)則。量綱分析法有兩種：瑞利法和π定理瑞利法解題步驟：首先找出影響流動的物理量，并用它們寫出假擬的指數(shù)方程；然后以對應(yīng)的量綱代替方程中的物理量本身，并根據(jù)量綱和諧性原理求出各物理量的指數(shù)，整理出最后形式。例題a：自由落體運(yùn)動的位移s與時間t、重力加速度g有關(guān)。試求位移s的表達(dá)式。解：s=Kgatb[L]=[LT-2]a[T]b根據(jù)量綱和諧原理，方程兩側(cè)的量綱應(yīng)一致，則La=1T-2a+b=0得出：a=1,b=2s=Kgt2例題b:液體在恒定水頭H作用下從面積為A的孔口流出，v與H、ρ、g和μ有關(guān)。試求v的表達(dá)式。解：v=KHaρbgcμd[LT-1]=[L]a[ML-3]b[LT-2]c[ML-1T-1]d……三、Π定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個基本量綱，可把這n個變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(

1,2,…

n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。

例經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動的壓降

p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。解：所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為

f(p,d,l,,,,v)=0

有量綱的物理量個數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M、T三個，m=3，按定理，這n個變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(1,2,3,4)=0

從7個物理量中選出基本物理量3個，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示

1=l

1v1d1

2=

2v2d2

3=

3v3d3

4=p

4v4d4將上述表達(dá)式寫成量綱形式[1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T

（1）

[2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0（2）

[3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0（3）

[4]=ML-1T-2(ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0（4）

求解方程（1）M:

1=0T:1=0L:-31+1+1+1=0→1=-1所以1=l/d求解方程（2）M:

2=0T:2=0L:1-32+2+2=0→2=-1所以2=/d

1=l

1v1d1

2=

2v2d2

3=

3v3d3

4=p

4v4d4求解方程（3）M:1+

3=0→3=-1T:-1-3=0→3=-1L:-1-33+3+3=0→3=-1所以3=/vd=1/Re求解方程（4）M:1+4=0→4=-1T:-2-4=0→4=-2L:-1-34+4+4=0→4=0所以4=p/v2因此，所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為

F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0至此，問題求解結(jié)束，進(jìn)一步對上式整理規(guī)范。由上式可知p/v2與其余三個無量綱數(shù)有關(guān)，那么

p/v2=F1(l/d,/d,1/Re)=(l/d)F2(/d,1/Re)

p/g=p/=(l/d)(v2/2g)F2(/d,1/Re)令=

F2(/d,1/Re)

p/=(l/d)(v2/2g)這就是達(dá)西公式，為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長、速度水頭成正比，與管徑成反比。

從該例題看出，利用

定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出的式子往往還帶有待定的系數(shù)，這個系數(shù)要通過實(shí)驗(yàn)來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實(shí)驗(yàn)來確定這個系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。

為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)上同名物理量具有各自的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似。兩流動相似應(yīng)滿足的條件第二節(jié)相似原理一、流動相似的概念1.幾何相似（空間相似）

定義：兩流動流場的幾何形狀相似,即兩流動的對應(yīng)長度成比例，對應(yīng)角度相等。

引入尺度比例系數(shù)

進(jìn)而，面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)模型流動用下標(biāo)m表示原型流動用下標(biāo)p表示2.運(yùn)動相似（時間相似）

定義：兩流動的速度場相似,即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)的速度方向相同,大小成比例。

引入速度比例系數(shù)由于因此

運(yùn)動相似需要建立在幾何相似基礎(chǔ)上.因此運(yùn)動相似只需確定時間比例系數(shù)就可以了。故運(yùn)動相似也就被稱之為時間相似。運(yùn)動學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為長度比尺和時間比尺的不同組合形式。如：

的單位是m2/sQ的單位是m3/t3.動力相似（受力相似）

定義：兩流動的對應(yīng)點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)所受F的方向相同,大小成比例。引入力比例系數(shù)也可寫成

力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比尺的不同組合形式，如：力矩M壓強(qiáng)p功率N動力粘度

綜上所述，要使模型流動和原型流動相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似。動力相似（受力相似）用相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)）的形式來表示，即：要使模型流動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。三種相似之間的聯(lián)系：（1）幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù);（2）動力相似是決定兩個流動相似的主導(dǎo)因素;（3）運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。二、相似準(zhǔn)則

相似準(zhǔn)則:幾何比尺、運(yùn)動比尺和動力比尺之間由力學(xué)基本定律規(guī)定了的一定的約束關(guān)系。一、牛頓相似準(zhǔn)則兩流動動力相似要求對應(yīng)點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)所受各種力大小成比例。液體流動的變化是慣性力和其它各種力相互作用的結(jié)果。慣性力則慣性力之比：另一企圖改變流體運(yùn)動狀態(tài)的力為F，其比尺為CF。由動力相似有如下關(guān)系：CF=CI即：式中：是一個無量綱數(shù)因此，兩個流動相似的重要標(biāo)志是它們的牛頓準(zhǔn)則數(shù)相等：即牛頓相似準(zhǔn)則二、雷諾準(zhǔn)則（粘性力相似準(zhǔn)則）

對于有壓流動，粘性力是主要作用力。

粘性力比尺

要滿足慣性力相似，必須滿足CT=CI，即即粘性力相似準(zhǔn)則雷諾數(shù)的物理意義雷諾數(shù)Re反映了慣性力與粘性力之比：

對于具有自由表面的流動，重力是主要的作用力。

重力比尺

三、弗勞德準(zhǔn)則（重力相似準(zhǔn)則）要滿足重力相似，必須滿足CG=CI，即重力相似準(zhǔn)則弗勞德數(shù)的物理意義佛汝德數(shù)Fr反映了慣性力與重力之比：

四、歐拉準(zhǔn)則（壓力相似準(zhǔn)則）作用在兩流動對應(yīng)點(diǎn)上的動水總壓力之比為：要滿足動水總壓力相似，必須滿足CP=CI，即歐拉相似準(zhǔn)則歐拉數(shù)的物理意義歐拉數(shù)Eu反映了動水總壓力與慣性力之比：通常，對流動起作用的是液流中兩點(diǎn)壓強(qiáng)差△p，而不是某點(diǎn)的壓強(qiáng)p。故歐拉數(shù)常寫為：注意：壓力場的相似不是兩個流動相似的原因，而是兩個流動相似的結(jié)果。Eu準(zhǔn)則不是獨(dú)立的。只要主要的相似準(zhǔn)則（Re或Fr)得到滿足，則該準(zhǔn)則必定滿足。

綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等。相似準(zhǔn)數(shù)的性質(zhì)均時性數(shù)弗勞德數(shù)歐拉數(shù)雷諾數(shù)整個系統(tǒng)流動過程進(jìn)行時間與流體質(zhì)點(diǎn)通過系統(tǒng)中某一定性尺寸距離所需要的時間的比值重力位能與動能比值或重力項(xiàng)與慣性力項(xiàng)的比值流體壓力項(xiàng)與慣性力項(xiàng)的比值流體慣性力項(xiàng)與粘性力項(xiàng)的比值彼此相似的現(xiàn)象必具有數(shù)值相同的同名相似準(zhǔn)數(shù)相似第一定律必為同類現(xiàn)象，必須服從自然界中同一基本規(guī)律必須發(fā)生在幾何相似的空間，并且具有相似的初、邊值條件描述物性的參量必須具有相似的變化規(guī)律定解問題相似凡同一種類現(xiàn)象，如果定解條件相似，同時由定解條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)數(shù)在數(shù)值上相等，那么這些現(xiàn)象必相似。相似第二定律同類現(xiàn)象，形式相同的控制方程組－－第一個必要條件定解條件相似－－第二個必要條件獨(dú)立相似準(zhǔn)數(shù)在數(shù)值上相等－－第三個必要條件現(xiàn)象相似的充要條件描述某現(xiàn)象的各種量之間的關(guān)系式可以表示成相似準(zhǔn)數(shù)方程之間的函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系式稱為準(zhǔn)數(shù)方程，即相似第三定律任何定解問題的積分結(jié)果都可以表示成準(zhǔn)數(shù)方程的形式；便于實(shí)驗(yàn)第三節(jié)模型實(shí)驗(yàn)什么是模型實(shí)驗(yàn)：

通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象。實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實(shí)驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實(shí)驗(yàn)和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實(shí)驗(yàn)才是有價值的。

為什么要進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)?科學(xué)研究和生產(chǎn)設(shè)計(jì)需要做模型實(shí)驗(yàn)；?并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實(shí)驗(yàn)。做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必模擬實(shí)驗(yàn)。?并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實(shí)驗(yàn)。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認(rèn)識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實(shí)驗(yàn)。一、相似準(zhǔn)則的選擇

為了使兩流動完全相似，在滿足幾何相似的前提下，各獨(dú)立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時得到滿足。這在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中往往很難實(shí)現(xiàn)，甚至是不可能的。例如：欲在某實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則的同時滿足：

即要實(shí)現(xiàn)流動相似應(yīng)滿足兩個條件：（1）模型流速原比型流速縮小倍；（2）模型流體的粘度應(yīng)比原型粘度縮小倍，這很難實(shí)現(xiàn)。

因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實(shí)際上辦不到，我們尋求的是起主要作用的力相似——近似相似。例如：有壓管流、潛體繞流——粘性力起主要作用——雷諾準(zhǔn)則明渠流動、繞橋墩流動——重力起主要作用——弗勞德準(zhǔn)則雷諾模型弗勞德模型二、模型的設(shè)計(jì)1、首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地和模型制作的條件定出長度比尺Cl;2、根據(jù)選定的長度比尺Cl確定出模型流動的幾何邊界；3、根據(jù)所選用的相似準(zhǔn)則確定速度比尺和流量比尺，從而定出模型流動的流量。

例1有一轎車，高h(yuǎn)p=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計(jì)時速vp=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實(shí)驗(yàn)來確定此轎車在公路上以此速行駛時的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(Cl=3/2)，并假定風(fēng)洞試驗(yàn)段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時的溫度相同，試求：風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段