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文檔簡介
專題03絕對值的幾何意義類型一求兩個絕對值的和的最小值1.我們知道,表示數(shù)到原點的距離,這是絕對值的幾何意義.進一步地,數(shù)軸上兩個點、,分別用,表示,那么,兩點之間的距離為,利用此結(jié)論,回答以下問題:(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_______;數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是_______;數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是_______;(2)數(shù)軸上表示和-1的兩點,之間的距離是______,如果,那么的值為______;(3)求的最小值是_______.【答案】(1)3,3,4;(2),或1;(3)1.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意及絕對值的幾何意義解題,數(shù)軸上兩點間的距離即是兩點表示的數(shù)的差的絕對值;(2)根據(jù)絕對值的幾何意義解題,數(shù)軸上的點x與-1的距離即求x與-1的差的絕對值,如果,則點x可能在-1的右側(cè)距離-1是2個單位長度,或者點x可能是在-1的左側(cè)距離-1是2個單位長度,據(jù)此解題;(3)將變形成兩數(shù)差的絕對值形式,再根據(jù)絕對值的幾何意義解題即可.【詳解】(1)數(shù)軸上,A、B兩點之間的距離為,數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離為,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離為,數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離為,故答案為:3,3,4;(2)數(shù)軸上表示和-1的兩點之間的距離為,如果,則,,或故答案為:或;(3),其表示的幾何意義是:數(shù)軸上表示的點x到-1和-2之間的距離和,當時,代數(shù)式,則最小值為1,故答案為:1.【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值等知識,是重要考點,難度較易,掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.2.|5﹣3|表示5與3之差的絕對值,實際上也可理解為5與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離.如|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離.試探索:(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是;表示-3和2兩點之間的距離是;(2)數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于(3)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間,求|a+4|+|a-2|的值.(4)若x為有理數(shù),則|x+12|+|x﹣8|的最小值為【答案】(1)3;5.(2);(3)6;(4)20.【解析】【分析】(1)根據(jù)兩點間的距離公式,即可求出距離;(2)根據(jù)兩點間的距離公式,即可得到答案;(3)由絕對值的意義進行化簡,即可求出答案;(4)把|x+12|+|x8|理解為:在數(shù)軸上表示x到12和8的距離之和,求出表示12和8的兩點之間的距離即可.【詳解】解:(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是:;表示3和2兩點之間的距離是:;故答案為:3;5.(2)數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于;故答案為:;(3)∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于4與2之間,∴,∴;(4)有最小值.最小值為20,理由是:∵|x+12|+|x-8|理解為:在數(shù)軸上表示x到12和8的距離之和,∴當x在12與8之間的線段上(即12≤x≤8)時:即|x+12|+|x-8|的值有最小值,最小值為:8(12)=20.故答案為:20.【點睛】本題考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運用,難度較大,去絕對值的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負性.3.【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值,幾何意義可以解釋為:數(shù)軸上表示5的點與表示2的點之間的距離:|5+2|可以看做|5﹣(﹣2)|表示5與﹣2的差的絕對值,幾何意義可以解釋為:數(shù)軸上表示5的點與表示﹣2的點之間的距離:【探索】(1)數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是.數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是.(2)等式|x﹣3|=2的幾何意義可以解釋為:數(shù)軸上,其中x的值可以是;(3)利用數(shù)軸,找出所有符合條件的整數(shù)x,使x所表示的點到表示4和﹣2的點的距離之和為8,符合條件的整數(shù)x是;(4)由以上探索猜想,對于任何有理數(shù)x,|x+3|+|x﹣4|是否有最小值?如果有,寫出最小值并嘗試用幾何意義來解釋:如果沒有,說明理由.【答案】(1)3,4;(2)5或1;(3)﹣3或5;(4)|x+3|+|x﹣4|有最小值,最小值為7,其幾何意義就是點x到﹣3的距離與點x到4的距離的和.
【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)即可求解;(2)(3)(4)根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)和絕對值的幾何意義即可求解.【詳解】解:(1)數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是:|﹣2﹣(﹣5)|=|3|=3,數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是:|1﹣(﹣3)|=|4|=4;故答案為:3,4.(2)等式|x﹣3|=2的幾何意義可以解釋為:數(shù)軸上表示x的點到表示3的點的距離為2,其中x的值可以是5或1,故答案為:5或1.(3)∵x所表示的點到表示4和﹣2的點的距離之和為8,對P點的位置討論如下:①點P在﹣2的左邊,∵﹣2到4的距離為6,∴點P到﹣2的距離為1,∴x=﹣3;②點P在﹣2與4之間,不符合題意,舍去;③點P在4的右邊,∵﹣2到4的距離為6,∴點P到4的距離為1,∴x=5,故答案為﹣3或5.(4)對于任何有理數(shù)x,|x+3|+|x﹣4|有最小值,最小值為7,其幾何意義就是:|x+3|+|x﹣4|表示點x到﹣3的距離與點x到4的距離的和,其最小值為4﹣(﹣3)=7.【點睛】本題考查絕對值的意義和應(yīng)用,深刻理解絕對值的意義是解題關(guān)鍵.4.的幾何意義表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與原點的距離,表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離.情景:點P為數(shù)軸上的一個動點,其所表示的數(shù)為a,A、B、C三點表示的數(shù)分別為、6、b,點P從原點向數(shù)軸的負方向以每秒一個單位長度運動,當?shù)竭_數(shù)軸上時立即以原速返回向沿數(shù)軸正方向運動.點P分別到點A、B的距離之和可以用絕對值表示為:問題:(1)表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與_______所對應(yīng)的點之間的距離;(2)P分別到點A、B的距離之和的最小值是_______;(3)P點到點A、B的距離之和達到最小值時所用時間一共是_______秒:(4)當b的值是_______時,的最小值是2.【答案】(1)-1(2)8(3)10(4)8或4.【解析】【分析】(1)由題目中絕對值的定義直接得出答案即可;(2)由圖直接得出答案即可;(3)根據(jù)題意知當P點在AB之間時,P點到點A、B的距離之和達到最小值,根據(jù)P點的運動可知,P點在AB間運動的總路程為10,即可得出運動時間;(4)根據(jù)6到8和4的距離都是2,即可判斷當b的值是8或4.(1)解:由絕對值的定義知,|a+1|表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與﹣1所對應(yīng)的點之間的距離,故答案為:﹣1;(2)解:由圖知,當P點不在AB之間運動時,P分別到點A、B的距離之和大于8;當P點在AB之間運動時,P分別到點A、B的距離之和為8,故P分別到點A、B的距離之和的最小值是8;或當,;當,;當,;P分別到點A、B的距離之和的最小值是8;故答案為:8;(3)解:根據(jù)題意知當P點在AB之間時,P點到點A、B的距離之和達到最小值,根據(jù)P點的運動可知,P點在AB間運動的總路程為10,速度為每秒一個單位長度,∴運動時間為10秒,故答案為:8;(4)解:由(2)可知,當P點在CB之間運動時,P分別到點C、B的距離之和的最小,因為最小值是2,所以B、C兩點之間距離為2,∵6到8和4的距離都是2,∴b的值是8或4,故答案為:8或4.【點睛】本題主要考查絕對值的含義,正確理解絕對值與數(shù)軸的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.5.我們知道,可以理解為,它表示:數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離,這是絕對值的幾何意義.進一步地,數(shù)軸上的兩個點,分別用數(shù)表示,那么兩點之間的距離為,反過來,式子的幾何意義是:數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離.利用此結(jié)論,回答以下問題:(1)數(shù)軸上表示數(shù)8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是_________,數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是__________.(2)數(shù)軸上點用數(shù)表示,若,那么的值為_________.(3)數(shù)軸上點用數(shù)表示:①若,那么的值是________.②當時,數(shù)的取值范圍是________,這樣的整數(shù)有________個.③有最小值,最小值是___________.【答案】(1)5;2;(2)5或;(3)①或8;②,6;③2020.【解析】【分析】(1)根據(jù)兩點之間的距離公式進一步計算即可;(2)根據(jù)絕對值的定義求解即可;(3)①利用絕對值的定義可知或,然后進一步計算即可;②的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標,據(jù)此進一步求解即可;③是表示數(shù)軸上表示3與表示的點的距離之和,然后進一步求解即可.【詳解】(1)數(shù)軸上表示數(shù)8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是:;數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是:,故答案為:5,2;(2)若,則或,故答案為:5或;(3)①若,則或,∴或,故答案為:或8;②∵的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標,∴,其中整數(shù)有、、0、1、2、3共6個,故答案為:,6;③∵是表示數(shù)軸上表示3與表示的點的距離之和,∴當時,有最小值,此時最小值為:,故答案為:2020.【點睛】本題主要考查了絕對值意義的綜合運用,熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.類型二求多個絕對值和的最小值6.數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具,它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系,它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).我們知道,它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點與原點(即表示0的點)之間的距離,又如式子,它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點與表示數(shù)3的點之間的距離.也就是說,在數(shù)軸上,如果點A表示的數(shù)記為a,點B表示的數(shù)記為b,則A,B兩點間的距離就可記作.回答下列問題:(1)幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)2的點與數(shù)的點之間的距離的式子是________;式子的幾何意義是_______________________;(2)根據(jù)絕對值的幾何意義,當時,________;(3)探究:的最小值為_________,此時m滿足的條件是________;(4)的最小值為________,此時m滿足的條件是__________.【答案】(1)或;數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)2的點之間的距離.(2)或5(3)10,(4)17,【解析】【分析】(1)根據(jù)距離公式及定義表示即可;(2)分點在2表示的數(shù)的點的左邊和右邊兩種情形求解;(3)利用數(shù)形結(jié)合思想,畫數(shù)軸求解即可;(4)利用數(shù)形結(jié)合思想,畫數(shù)軸求解即可.(1)解:①在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離的式子是,故答案為:;②∵=|a-(-5)|,∴在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)a的點與表示數(shù)-5的點之間的距離.故答案為:表示數(shù)a的點與表示數(shù)-5的點之間的距離.(2)解:∵表示數(shù)m到2的距離,畫數(shù)軸如下:當數(shù)在2的右邊時,右數(shù)3個單個單位長,得到對應(yīng)數(shù)是5,符合題意;當數(shù)在2的左邊時,左數(shù)3個單個單位長,得到對應(yīng)數(shù)是-1,符合題意;故答案為:-1或5;(3)解:∵表示數(shù)m與-1,9的距離之和,畫數(shù)軸如下:根據(jù)兩點之間線段最短,-1表示點與9表示點的最短距離為9-(-1)=10,此時動點m在-1表示點與9表示點構(gòu)成的線段上,∴;故答案為:10、;(4)解:根據(jù)題意,畫圖如下,根據(jù)兩點之間線段最短,-1表示點與16表示點的最短距離為16-(-1)=17,此時動點m在-1表示點與16表示點構(gòu)成的線段上,且到9表示的點的距離為0,∴;故答案為:17、.【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算公式,線段最短原理,數(shù)軸的意義,解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想,分類思想,結(jié)合數(shù)軸,運用數(shù)學思想解題.7.我們知道,表示數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離,這是絕對值的幾何意義.進一步地,數(shù)軸上兩個點、分別表示數(shù)、,那么.利用此結(jié)論,回答下列問題:(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____,數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_____,數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是____;(2)數(shù)軸上表示和-1的兩點、之間的距離是____,如果=2,那么的值為_____;(3)寫出表示的幾何意義:_____,該式的最小值為______;(4)的最小值_____.【答案】(1)3,3,4;(2),1或-3;(3)點x到的距離與點x到的距離之和,2;(4)2【解析】【分析】(1)結(jié)合題意,根據(jù)數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)計算,即可得到答案;(2)根據(jù)數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)計算,即可得到答案;(3)根據(jù)數(shù)軸、絕對值的性質(zhì),對x的取值分類計算,即可完成求解;(4)結(jié)合(3)的結(jié)論,根據(jù)數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)計算,即可得到答案.【詳解】(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是:;數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是:;數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是:;故答案是:3,3,4;(2)數(shù)軸上表示和-1的兩點、之間的距離是:;∵=2∴∴或故答案為:,1或-3(3)表示的幾何意義:點x到的距離與點x到的距離之和;當時,當時,當時,∴的最小值為:2故答案為:點x到的距離與點x到的距離之和,2;(4)結(jié)合(3)的結(jié)論,當時,的最小值為:2∴當時,取最小值,即∴∴的最小值為:2故答案為:2.【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值的知識;解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸、絕對值的性質(zhì),從而完成求解.8.我們知道,表示數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離,這是絕對值的幾何意義,進一步地,如果數(shù)軸上兩個點分別表示數(shù),那么兩點之間的距離為.利用此結(jié)論,回答下列問題:(1)數(shù)軸上表示3和-3的兩點之間的距離是;(2)數(shù)軸上表示和-1的兩點之間的距離為2,那么的值為;(3)直接寫出的最小值為;(4)直接寫出的最小值為;(5)簡要求出的最小值.【答案】(1)6;(2)-3或1;(3)6;(4)6;(5)2450【解析】【分析】(1)根據(jù)兩點間的距離公式求解可得;(2)根據(jù)絕對值的定義可得;(3)得出的幾何意義,從而得到最小值;(4)得出的幾何意義,從而得到最小值;(5)根據(jù)絕對值的幾何意義可知:當x=50時值最小,然后去掉絕對值符號,再利用求和公式列式計算即可得解.【詳解】解:(1)數(shù)軸上表示3和-3的兩點之間的距離是,故答案為:6;(2)由題意可得:,則x的值為:-3或1;(3)∵表示數(shù)軸上表示點x到-2和4兩點的距離和,∴當x在-2到4之間時,有最小值,最小值為6;(4)表示數(shù)軸上表示點x到-2和1和4三點的距離和,∴當x與1重合時,的值最小,最小值為6;(5)的中間一項是|x-50|,當x=50時,有最小值,∴==49+48+47+…+1+0+1+2+…+49=2×(1+2+…+49)=2450.【點睛】本題主要考查的是絕對值的意義的應(yīng)用,理解并應(yīng)用絕對值的定義及兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵.9.我們知道,在數(shù)軸上,|a|表示數(shù)a到原點的距離,這是絕對值的幾何意義.進一步地,數(shù)軸上兩個點A、B,分別用a,b表示,那么A、B兩點之間的距離為:AB=|a﹣b|.利用此結(jié)論,回答以下問題:(1)數(shù)軸上表示﹣20和﹣5的兩點之間的距離是.(2)數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A,B之間的距離是.(3)式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是.(4)結(jié)合數(shù)軸求的最小值為,此時符合條件的整數(shù)x為.(5)結(jié)合數(shù)軸求的最小值為,此時符合條件的整數(shù)x為.(6)結(jié)合數(shù)軸求的最小值為,最大值為.【答案】(1)15;(2)|x+1|;(3)4;(4)7;0,1;(5)16;1;(6)-2;2.【解析】【分析】(1)利用兩點距離公式-5-(-20)計算即可;(2)利用兩點距離公式|x-(-1)|計算即可;(3)分當x≤-1當-1<x≤2,當2<x≤3,當x≥3區(qū)間化去絕對值,合并同類項即可;(4)分當x≤-2,當-2≤x≤0,當0≤x≤1,當1≤x≤4,當x≥4區(qū)間化去絕對值,合并同類項,再確定區(qū)間的代數(shù)式最小值即可;(5)分當x≤-2,當-2≤x≤0,當0≤x≤1,當1≤x≤4,當x≥4區(qū)間化去絕對值,合并同類項,再確定區(qū)間的代數(shù)式最小值即可;(6)分區(qū)間化去絕對值當x≤1,,當1≤x≤3,,當x≥3,即可.【詳解】解:(1)-5-(-20)=-5+20=15,故答案為15;(2)|x-(-1)|=|x+1|,故答案為:|x+1|;(3)當x≤-1,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=-x-1–x+2-x+3=-3x+4≥7,當-1<x≤2,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1–x+2-x+3=-x+6≥4,當2<x≤3,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x-2-x+3=x+2>4,當x>3,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x-2+x-3=3x-4>5,式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4,故答案為4;(4)當x≤-2,,當-2≤x≤0,當0≤x≤1,當1≤x≤4,當x≥4,|∴的最小值為7,符合條件的整數(shù)x為0,1,故答案為:7;0,1;(5)當x≤-2,,當-2≤x≤0,當0≤x≤1,當1≤x≤4,當x≥4,|∴的最小值為16,符合條件的整數(shù)x為1,故答案為16;1;(6)當x≤1,,當1≤x≤3,,當x≥3,,的最小值為-2,最大值為2.故答案為-2;2.【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點距離,絕對值化簡,最值,掌握數(shù)軸上兩點距離,分區(qū)間絕對值化簡方法是解題關(guān)鍵.類型三利用絕對值的幾何意義解絕對值方程10.閱讀理解;我們知道」x丨的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離,即丨x丨=丨x-0丨,也就是說丨x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離;這個結(jié)論可以推廣為:丨x-y丨表示在數(shù)軸上數(shù)x、y對應(yīng)點之間的距離.在解題中,我們常常運用絕對值的幾何意義.①解方程|x|=2,容易看出,在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2,即該方程的解為x=±2.②在方程丨x-1丨=2中,x的值就是數(shù)軸上到1的距離為2的點對應(yīng)的數(shù),所以該方程的解是x=3或x=-1.知識運用:根據(jù)上面的閱讀材料,求下列方程的解(1)方程|x|=5的解(2)方程|x-2|=3的解【答案】(1);(2)或【解析】【分析】(1)由閱讀材料中的方法求出x的值即可;(2)由閱讀材料中的方法求出x的值即可;【詳解】(1)∵在數(shù)軸上與原點距離為5的點對應(yīng)的數(shù)為∴方程的解是(2)∵在方程中,數(shù)軸上到2的距離為3的點對應(yīng)的數(shù).∴方程的解是或.【點睛】本題考查了數(shù)軸,絕對值的性質(zhì),讀懂題目信息,理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵.11.我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”.數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具,它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系,揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系,它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).例如,式子的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離;因為,所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與-1所對應(yīng)的點之間的距離.結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題:(1)若,則;的最小值是.(2)若,則的值為;若,則的值為.(3)是否存在使得取最小值,若存在,直接寫出這個最小值及此時的取值情況;若不存在,請說明理由.【答案】(1)5或-1;5;(2)或4;或;(3)的最小值為17,此時【解析】【分析】(1)對于直接根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行求解即可;設(shè)A點表示的數(shù)為-2,B點表示的數(shù)為3,P點表示的數(shù)為x,則表示的意義即為數(shù)軸上一點P到A的距離和到B的距離之和,然后分別討論P在AB之間,P在A點左側(cè)和P在B點右側(cè)的取值即可得到答案;(2)設(shè)A點表示的數(shù)為-2,B點表示的數(shù)為3,P點表示的數(shù)為x,由(1)可知當P在AB之間(包含A、B)時,,當P在A點左側(cè)時,當P在B點右側(cè)時,由此可以確定此時P點在A點左側(cè)或在B點右側(cè),由此進行求解即可;分當時,當時,當時,當時,這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案;(3)分當時,當時,當時,當時,這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案.【詳解】解:(1)∵,∴,∴,∴或;設(shè)A點表示的數(shù)為-2,B點表示的數(shù)為3,P點表示的數(shù)為x,∴表示的意義即為數(shù)軸上一點P到A的距離和到B的距離之和,如圖所示,當P在AB之間(包含A、B)時,;當P在A點左側(cè)時;同理當P在B點右側(cè)時;∴的最小值為5,故答案為:5或-1;5;(2)設(shè)A點表示的數(shù)為-2,B點表示的數(shù)為3,P點表示的數(shù)為x,由(1)可知當當P在AB之間(包含A、B)時,,當P在A點左側(cè)時,當P在B點右側(cè)時∵,∴當P在A點左側(cè)時即,∴;同理當P在B點右側(cè)時即,∴;∴當時,或4;當時,∵,∴,解得符合題意;當時,∵,∴,解得符合題意;當時∵,∴,解得不符合題意;當時∵,∴,解得不符合題意;∴綜上所述,當,或;故答案為:或4;或;(3)當時,∴,當時,∴,當時∴,當時∴,∴此時∴綜上所述,的最小值為17,此時.【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義,絕對值方程,數(shù)軸上兩點之間的距離,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握絕對值的幾何意義.12.已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣1、3,點P為數(shù)軸上一動點,其對應(yīng)的數(shù)為x.(1)如果點P到點A、點B的距離相等,直接寫出x的值;(2)當點P以每秒3個單位長的速度從數(shù)軸的原點出發(fā),幾秒后可使PB=3AB?(3)利用數(shù)軸,根據(jù)絕對值的幾何意義,找出滿足|x+1|+|x﹣3|=6的所有x的值.【答案】(1)x=1;(2)若向x軸負向運動,3s后可使PB=3AB;若向x軸正向運動,5s后可使PB=3AB;(3)x=-2或4.【解析】【分析】(1)點P到點A、點B的距離相等,點P必在A、B中間;(2)先求出使PB=3AB的P點,再用距離除以速度;(3)找到與A、B兩點距離之和為6的點.【詳解】解:(1)到點A、點B的距離相等的點位于A、B的中點,即x=1的點;(2)若P向數(shù)軸負方向運動,使PB=3AB,AB=4則PB=12所以P點對應(yīng)的數(shù)是3-12=-9,從原點到-9對應(yīng)點的距離是9,P移動的速度是3個單位/s所以到達-9處需要時間=;若P向數(shù)軸正方向運動,使PB=3AB,AB=4則PB=12所以P點對應(yīng)的數(shù)是3+12=15從原點到15對應(yīng)點的距離是15,P移動的速度是3個單位/s所以到達15處需要時間=.綜上,當以數(shù)軸負向運動時,3秒后可使PB=3AB;當以數(shù)軸正向運動時,5秒后可使PB=3AB.(3)由題可得,要找出與A、B兩點距離之和為6的點,因為AB=4,所以必定在線段AB兩側(cè)在線段AB右側(cè)的點為x=4的點,與B距離為1,與A距離為5;在線段AB左側(cè)的點為x=-2的點,與A距離為1,與B距離為5.【點睛】這道題考察的是數(shù)軸上兩點間距離的概念和絕對值的幾何意義.熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵.13.認真閱讀下面的材料,完成有關(guān)問題.材料:在學習絕對值時,我們知道了絕對值的幾何意義,如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離;|5+3|=|5﹣(﹣3)|,所以|5+3|表示5、﹣3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離;|5|=|5﹣0|,所以|5|表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離.(1)一般地,點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1,那么A到B的距離與A到C的距離之和如何表示?(用含絕對值的式子表示).(2)利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x,使得|x+2|+|x﹣5|=7,求出這些點表示的數(shù)的和.(3)在數(shù)軸上找到一點a,使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小,求出a的值及該式的最小值.【答案】(1);(2);(3)時,有最小值7.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意和數(shù)軸上兩點間的距離解答即可;(2)等式=7表示數(shù)x到﹣2的兩點間的距離和x到5的兩點間的距離之和為7,再結(jié)合題意可確定數(shù)x在﹣2與5之間,進而可確定整數(shù)x的值,然后求和計算即可;(3)式子|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|表示數(shù)a的點與表示數(shù)﹣3、1、4的點的距離之和,由于數(shù)1在﹣3與4之間,可先考慮求|a+3|+|a﹣4|的最小值,易知數(shù)軸上當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3的點的左邊和表示數(shù)4的點的右邊時,|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3與4的距離,故當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3和4之間時,|a+3|+|a﹣4|的值最小,此時只要求|a﹣1|的最小值即可,顯然當a=1時滿足要求,再把a=1代入原式計算即可.【詳解】解:(1)因為點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1,所以點A到B的距離為,點A到C的距離為,所以A到B的距離與A到C的距離之和是;(2)因為=7表示數(shù)x到﹣2的兩點間的距離和x到5的兩點間的距離之和為7,且數(shù)軸上﹣2與5的兩點間的距離為7,所以數(shù)x在﹣2與5之間,因為x為整數(shù),所以x=﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5,它們的和為﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5=12;(3)因為|a+3|+|a﹣4|表示數(shù)a的點到表示數(shù)﹣3和4的點的距離之和,所以當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3的點的左邊和表示數(shù)4的點的右邊時,|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3與4的距離,此時|a+3|+|a﹣4|的值均大于7,所以當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3和4的點之間時,|a+3|+|a﹣4|的值最小,此時|a+3|+|a﹣4|=7;又因為當a=1時,|a﹣1|的值最小,且數(shù)軸上表示數(shù)1的點在表示數(shù)﹣3和4的點之間,所以當a=1時,|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小,此時|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|=4+0+3=7.即時,|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|有最小值7.【點睛】本題以數(shù)軸為載體,主要考查了絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點間的距離和有理數(shù)的加法運算,正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.類型四利用絕對值的幾合意義解絕對值不等式14.解方程|x-1|+|x+2|=5.由絕對值的幾何意義知,該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5的點對應(yīng)的x的值.在數(shù)軸上,1和-2的距離為3,滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或-2的左邊,若x對應(yīng)點在1的右邊,由圖可以看出x=2;同理,若x對應(yīng)點在-2的左邊,可得x=-3,故原方程的解是x=2或x=-3.參考閱讀材料,解答下列問題:(1)方程|x+3|=4的解為________.(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;(3)若|x-3|+|x+4|≥a對任意的x都成立,求a的取值范圍.【答案】(1)1和-7;(2)x≥4或x≤-5(3)a≤7【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可以得到絕對值方程,可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上,到某個點的距離的問題,即可求解;(2)不等式|x-3|+|x+4|≥9表示到3與-4兩點距離的和,大于或等于9個單位長度的點所表示的數(shù);(3)|x-3|+|x+4|≥a對任意的x都成立,即求到3與-4兩點距離的和最小的數(shù)值.【詳解】(1)方程|x+3|=4的解就是在數(shù)軸上到-3這一點,距離是4個單位長度的點所表示的數(shù),是1和-7.故解是1和-7;(2)由絕對值的幾何意義知,該方程表示求在數(shù)軸上與3和-4的距離之和為大于或等于9的點對應(yīng)的x的值.在數(shù)軸上,3和-4的距離為7,滿足方程的x對應(yīng)點在3的右邊或-4的左邊,若x對應(yīng)點在3的右邊,由圖可以看出x≥4;同理,若x對應(yīng)點在-4的左邊,可得x≤-5,即可求得x≥4或x≤-5.(3)|x-3|+|x+4|即表示x的點到數(shù)軸上與3和-4的距離之和,當表示對應(yīng)x的點在數(shù)軸上3與-4之間時,距離的和最小,是7.故a≤7.【點睛】此題主要考察不等式的應(yīng)用,熟知不等式與數(shù)軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.15.閱讀下列材料:我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離,即=,也就是說,表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)的點之間的距離;這個結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對應(yīng)的點之間的距離;例1解方程||=2.因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為,所以方程||=2的解為.例2解不等式|-1|>2.在數(shù)軸上找出|-1|=2的解(如圖),因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)的數(shù)為-1或3,所以方程|-1|=2的解為=-1或=3,因此不等式|-1|>2的解集為<-1或>3.例3解方程|-1|+|+2|=5.由絕對值的幾何意義知,該方程就是求在數(shù)軸上到1和-2對應(yīng)的點的距離之和等于5的點對應(yīng)的的值.因為在數(shù)軸上1和-2對應(yīng)的點的距離為3(如圖),滿足方程的對應(yīng)的點在1的右邊或-2的左邊.若對應(yīng)的點在1的右邊,可得=2;若對應(yīng)的點在-2的左邊,可得=-3,因此方程|-1|+|+2|=5的解是=2或=-3.參考閱讀材料,解答下列問題:(1)方程|+2|=3的解為;(2)解不等式:|-2|<6;(3)解不等式:|-3|+|+4|≥9;(4)解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【答案】(1)或x=-5;(2)-4<x<8;(3)x≥或x≤-5;(4)或
.【解析】【分析】(1)由已知可得x+2=3或x+2=-3;(2)在數(shù)軸上找出|-2|=6的解;即在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于6的點對應(yīng)的數(shù);(3)在數(shù)軸上找出|-3|+|+4|=9的解.再根據(jù)數(shù)軸上的位置分析出不等式的解集;(4)由絕對值的幾何意義知,該方程就是求在數(shù)軸上到3和-4對應(yīng)的點的距離之和等于9的點對應(yīng)的x的值.【詳解】(1)由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=-5.(2)在數(shù)軸上找出|-2|=6的解.∵在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于6的點對應(yīng)的數(shù)為-4或8,∴方程|-2|=6的解為x=-4或x=8,∴不等式|-2|<6的解集為-4<x<8.(3)在數(shù)軸上找出|-3|+|+4|=9的解.由絕對值的幾何意義知,該方程就是求在數(shù)軸上到3和-4對應(yīng)的點的距離之和等于15的點對應(yīng)的x的值.∵在數(shù)軸上3
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