專題03 絕對值的幾何意義（解析版）

專題03絕對值的幾何意義類型一求兩個絕對值的和的最小值1．我們知道，表示數(shù)到原點的距離，這是絕對值的幾何意義.進一步地，數(shù)軸上兩個點、，分別用，表示，那么，兩點之間的距離為，利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_______；數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是_______；數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是_______；（2）數(shù)軸上表示和-1的兩點，之間的距離是______，如果，那么的值為______；（3）求的最小值是_______．【答案】（1）3，3，4；（2），或1；（3）1．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意及絕對值的幾何意義解題，數(shù)軸上兩點間的距離即是兩點表示的數(shù)的差的絕對值；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義解題，數(shù)軸上的點x與-1的距離即求x與-1的差的絕對值，如果，則點x可能在-1的右側(cè)距離-1是2個單位長度，或者點x可能是在-1的左側(cè)距離-1是2個單位長度，據(jù)此解題；（3）將變形成兩數(shù)差的絕對值形式，再根據(jù)絕對值的幾何意義解題即可．【詳解】（1）數(shù)軸上，A、B兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離為，故答案為：3，3，4；（2）數(shù)軸上表示和-1的兩點之間的距離為，如果，則，，或故答案為：或；（3），其表示的幾何意義是：數(shù)軸上表示的點x到-1和-2之間的距離和，當時，代數(shù)式，則最小值為1，故答案為：1．【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．|5﹣3|表示5與3之差的絕對值，實際上也可理解為5與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．如|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離．試探索：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示-3和2兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于（3）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2|的值．（4）若x為有理數(shù)，則|x+12|+|x﹣8|的最小值為【答案】（1）3；5．（2）；（3）6；（4）20．【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式，即可求出距離；（2）根據(jù)兩點間的距離公式，即可得到答案；（3）由絕對值的意義進行化簡，即可求出答案；（4）把|x+12|+|x8|理解為：在數(shù)軸上表示x到12和8的距離之和，求出表示12和8的兩點之間的距離即可．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是：；表示3和2兩點之間的距離是：；故答案為：3；5．（2）數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于；故答案為：；（3）∵數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于4與2之間，∴，∴；（4）有最小值．最小值為20，理由是：∵|x+12|+|x-8|理解為：在數(shù)軸上表示x到12和8的距離之和，∴當x在12與8之間的線段上（即12≤x≤8）時：即|x+12|+|x-8|的值有最小值，最小值為：8（12）=20．故答案為：20．【點睛】本題考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運用，難度較大，去絕對值的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負性．3．【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，幾何意義可以解釋為：數(shù)軸上表示5的點與表示2的點之間的距離：|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|表示5與﹣2的差的絕對值，幾何意義可以解釋為：數(shù)軸上表示5的點與表示﹣2的點之間的距離：【探索】（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是．數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是．（2）等式|x﹣3|＝2的幾何意義可以解釋為：數(shù)軸上，其中x的值可以是；（3）利用數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x，使x所表示的點到表示4和﹣2的點的距離之和為8，符合條件的整數(shù)x是；（4）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x+3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，寫出最小值并嘗試用幾何意義來解釋：如果沒有，說明理由．【答案】（1）3，4；（2）5或1；（3）﹣3或5；（4）|x+3|+|x﹣4|有最小值，最小值為7，其幾何意義就是點x到﹣3的距離與點x到4的距離的和．

【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)即可求解；（2）（3）（4）根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)和絕對值的幾何意義即可求解．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是：|﹣2﹣（﹣5）|＝|3|＝3，數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是：|1﹣（﹣3）|＝|4|＝4；故答案為：3，4．（2）等式|x﹣3|＝2的幾何意義可以解釋為：數(shù)軸上表示x的點到表示3的點的距離為2，其中x的值可以是5或1，故答案為：5或1．（3）∵x所表示的點到表示4和﹣2的點的距離之和為8，對P點的位置討論如下：①點P在﹣2的左邊，∵﹣2到4的距離為6，∴點P到﹣2的距離為1，∴x＝﹣3；②點P在﹣2與4之間，不符合題意，舍去；③點P在4的右邊，∵﹣2到4的距離為6，∴點P到4的距離為1，∴x＝5，故答案為﹣3或5．（4）對于任何有理數(shù)x，|x+3|+|x﹣4|有最小值，最小值為7，其幾何意義就是：|x+3|+|x﹣4|表示點x到﹣3的距離與點x到4的距離的和，其最小值為4﹣（﹣3）＝7．【點睛】本題考查絕對值的意義和應(yīng)用，深刻理解絕對值的意義是解題關(guān)鍵．4．的幾何意義表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與原點的距離，表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離．情景：點P為數(shù)軸上的一個動點，其所表示的數(shù)為a，A、B、C三點表示的數(shù)分別為、6、b，點P從原點向數(shù)軸的負方向以每秒一個單位長度運動，當?shù)竭_數(shù)軸上時立即以原速返回向沿數(shù)軸正方向運動．點P分別到點A、B的距離之和可以用絕對值表示為：問題：(1)表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與_______所對應(yīng)的點之間的距離；(2)P分別到點A、B的距離之和的最小值是_______；(3)P點到點A、B的距離之和達到最小值時所用時間一共是_______秒：(4)當b的值是_______時，的最小值是2．【答案】(1)-1(2)8(3)10(4)8或4．【解析】【分析】（1）由題目中絕對值的定義直接得出答案即可；（2）由圖直接得出答案即可；（3）根據(jù)題意知當P點在AB之間時，P點到點A、B的距離之和達到最小值，根據(jù)P點的運動可知，P點在AB間運動的總路程為10，即可得出運動時間；（4）根據(jù)6到8和4的距離都是2，即可判斷當b的值是8或4．(1)解：由絕對值的定義知，|a+1|表示數(shù)軸上a所對應(yīng)的點與﹣1所對應(yīng)的點之間的距離，故答案為：﹣1；(2)解：由圖知，當P點不在AB之間運動時，P分別到點A、B的距離之和大于8；當P點在AB之間運動時，P分別到點A、B的距離之和為8，故P分別到點A、B的距離之和的最小值是8；或當，；當，；當，；P分別到點A、B的距離之和的最小值是8；故答案為：8；(3)解：根據(jù)題意知當P點在AB之間時，P點到點A、B的距離之和達到最小值，根據(jù)P點的運動可知，P點在AB間運動的總路程為10，速度為每秒一個單位長度，∴運動時間為10秒，故答案為：8；(4)解：由（2）可知，當P點在CB之間運動時，P分別到點C、B的距離之和的最小，因為最小值是2，所以B、C兩點之間距離為2，∵6到8和4的距離都是2，∴b的值是8或4，故答案為：8或4．【點睛】本題主要考查絕對值的含義，正確理解絕對值與數(shù)軸的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．5．我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上的兩個點，分別用數(shù)表示，那么兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離．利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示數(shù)8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是_________，數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是__________．（2）數(shù)軸上點用數(shù)表示，若，那么的值為_________．（3）數(shù)軸上點用數(shù)表示：①若，那么的值是________．②當時，數(shù)的取值范圍是________，這樣的整數(shù)有________個．③有最小值，最小值是___________．【答案】（1）5；2；（2）5或；（3）①或8；②，6；③2020．【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式進一步計算即可；（2）根據(jù)絕對值的定義求解即可；（3）①利用絕對值的定義可知或，然后進一步計算即可；②的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標，據(jù)此進一步求解即可；③是表示數(shù)軸上表示3與表示的點的距離之和，然后進一步求解即可.【詳解】（1）數(shù)軸上表示數(shù)8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是：；數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是：，故答案為：5，2；（2）若，則或，故答案為：5或；（3）①若，則或，∴或，故答案為：或8；②∵的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標，∴，其中整數(shù)有、、0、1、2、3共6個，故答案為：，6；③∵是表示數(shù)軸上表示3與表示的點的距離之和，∴當時，有最小值，此時最小值為：，故答案為：2020.【點睛】本題主要考查了絕對值意義的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.類型二求多個絕對值和的最小值6．數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．我們知道，它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點與原點（即表示0的點）之間的距離，又如式子，它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點與表示數(shù)3的點之間的距離．也就是說，在數(shù)軸上，如果點A表示的數(shù)記為a，點B表示的數(shù)記為b，則A，B兩點間的距離就可記作．回答下列問題：(1)幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)2的點與數(shù)的點之間的距離的式子是________；式子的幾何意義是_______________________；(2)根據(jù)絕對值的幾何意義，當時，________；(3)探究：的最小值為_________，此時m滿足的條件是________；(4)的最小值為________，此時m滿足的條件是__________．【答案】(1)或；數(shù)軸上表示數(shù)a的點與數(shù)2的點之間的距離．(2)或5(3)10，(4)17，【解析】【分析】（1）根據(jù)距離公式及定義表示即可；（2）分點在2表示的數(shù)的點的左邊和右邊兩種情形求解；（3）利用數(shù)形結(jié)合思想，畫數(shù)軸求解即可；（4）利用數(shù)形結(jié)合思想，畫數(shù)軸求解即可．(1)解：①在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離的式子是，故答案為：；②∵=|a-(-5)|，∴在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)a的點與表示數(shù)-5的點之間的距離．故答案為：表示數(shù)a的點與表示數(shù)-5的點之間的距離．(2)解：∵表示數(shù)m到2的距離，畫數(shù)軸如下：當數(shù)在2的右邊時，右數(shù)3個單個單位長，得到對應(yīng)數(shù)是5，符合題意；當數(shù)在2的左邊時，左數(shù)3個單個單位長，得到對應(yīng)數(shù)是-1，符合題意；故答案為：-1或5；(3)解：∵表示數(shù)m與-1，9的距離之和，畫數(shù)軸如下：根據(jù)兩點之間線段最短，-1表示點與9表示點的最短距離為9-（-1）=10，此時動點m在-1表示點與9表示點構(gòu)成的線段上，∴；故答案為：10、；(4)解：根據(jù)題意，畫圖如下，根據(jù)兩點之間線段最短，-1表示點與16表示點的最短距離為16-（-1）=17，此時動點m在-1表示點與16表示點構(gòu)成的線段上，且到9表示的點的距離為0，∴；故答案為：17、．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算公式，線段最短原理，數(shù)軸的意義，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，分類思想，結(jié)合數(shù)軸，運用數(shù)學思想解題．7．我們知道，表示數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上兩個點、分別表示數(shù)、，那么．利用此結(jié)論，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是____；（2）數(shù)軸上表示和-1的兩點、之間的距離是____，如果=2，那么的值為_____；（3）寫出表示的幾何意義：_____，該式的最小值為______；（4）的最小值_____．【答案】（1）3，3，4；（2），1或-3；（3）點x到的距離與點x到的距離之和，2；（4）2【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）根據(jù)數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)計算，即可得到答案；（3）根據(jù)數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)，對x的取值分類計算，即可完成求解；（4）結(jié)合（3）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是：；故答案是：3，3，4；（2）數(shù)軸上表示和-1的兩點、之間的距離是：；∵=2∴∴或故答案為：，1或-3（3）表示的幾何意義：點x到的距離與點x到的距離之和；當時，當時，當時，∴的最小值為：2故答案為：點x到的距離與點x到的距離之和，2；（4）結(jié)合（3）的結(jié)論，當時，的最小值為：2∴當時，取最小值，即∴∴的最小值為：2故答案為：2．【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)，從而完成求解．8．我們知道，表示數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義，進一步地，如果數(shù)軸上兩個點分別表示數(shù)，那么兩點之間的距離為．利用此結(jié)論，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示3和－3的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示和－1的兩點之間的距離為2，那么的值為；（3）直接寫出的最小值為；（4）直接寫出的最小值為；（5）簡要求出的最小值．【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式求解可得；（2）根據(jù)絕對值的定義可得；（3）得出的幾何意義，從而得到最小值；（4）得出的幾何意義，從而得到最小值；（5）根據(jù)絕對值的幾何意義可知：當x=50時值最小，然后去掉絕對值符號，再利用求和公式列式計算即可得解．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示3和－3的兩點之間的距離是，故答案為：6；（2）由題意可得：，則x的值為：-3或1；（3）∵表示數(shù)軸上表示點x到-2和4兩點的距離和，∴當x在-2到4之間時，有最小值，最小值為6；（4）表示數(shù)軸上表示點x到-2和1和4三點的距離和，∴當x與1重合時，的值最小，最小值為6；（5）的中間一項是|x-50|，當x=50時，有最小值，∴==49+48+47+…+1+0+1+2+…+49=2×（1+2+…+49）=2450．【點睛】本題主要考查的是絕對值的意義的應(yīng)用，理解并應(yīng)用絕對值的定義及兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．9．我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上兩個點A、B，分別用a，b表示，那么A、B兩點之間的距離為：AB＝|a﹣b|．利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示﹣20和﹣5的兩點之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A，B之間的距離是．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（4）結(jié)合數(shù)軸求的最小值為，此時符合條件的整數(shù)x為．（5）結(jié)合數(shù)軸求的最小值為，此時符合條件的整數(shù)x為．（6）結(jié)合數(shù)軸求的最小值為，最大值為．【答案】（1）15；（2）|x+1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．【解析】【分析】（1）利用兩點距離公式-5-（-20）計算即可；（2）利用兩點距離公式|x-(-1)|計算即可；（3）分當x≤-1當-1＜x≤2，當2＜x≤3，當x≥3區(qū)間化去絕對值，合并同類項即可；（4）分當x≤-2，當-2≤x≤0，當0≤x≤1，當1≤x≤4，當x≥4區(qū)間化去絕對值，合并同類項，再確定區(qū)間的代數(shù)式最小值即可；（5）分當x≤-2，當-2≤x≤0，當0≤x≤1，當1≤x≤4，當x≥4區(qū)間化去絕對值，合并同類項，再確定區(qū)間的代數(shù)式最小值即可；（6）分區(qū)間化去絕對值當x≤1，，當1≤x≤3，，當x≥3，即可．【詳解】解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，故答案為15；（2）|x-(-1)|=|x+1|，故答案為：|x+1|；（3）當x≤-1，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=-x-1–x+2-x+3=-3x+4≥7，當-1＜x≤2，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1–x+2-x+3=-x+6≥4，當2＜x≤3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x-2-x+3=x+2＞4，當x＞3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x-2+x-3=3x-4＞5，式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4，故答案為4；（4）當x≤-2，，當-2≤x≤0，當0≤x≤1，當1≤x≤4，當x≥4，|∴的最小值為7，符合條件的整數(shù)x為0，1，故答案為：7；0,1；（5）當x≤-2，，當-2≤x≤0，當0≤x≤1，當1≤x≤4，當x≥4，|∴的最小值為16，符合條件的整數(shù)x為1，故答案為16；1；（6）當x≤1，，當1≤x≤3，，當x≥3，，的最小值為-2，最大值為2．故答案為-2；2．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點距離，絕對值化簡，最值，掌握數(shù)軸上兩點距離，分區(qū)間絕對值化簡方法是解題關(guān)鍵．類型三利用絕對值的幾何意義解絕對值方程10．閱讀理解；我們知道」x丨的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離，即丨x丨=丨x-0丨，也就是說丨x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為：丨x-y丨表示在數(shù)軸上數(shù)x、y對應(yīng)點之間的距離．在解題中，我們常常運用絕對值的幾何意義．①解方程|x|=2，容易看出，在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2，即該方程的解為x=±2．②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是數(shù)軸上到1的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)，所以該方程的解是x=3或x=-1．知識運用：根據(jù)上面的閱讀材料，求下列方程的解（1）方程|x|=5的解（2）方程|x-2|=3的解【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由閱讀材料中的方法求出x的值即可；（2）由閱讀材料中的方法求出x的值即可；【詳解】（1）∵在數(shù)軸上與原點距離為5的點對應(yīng)的數(shù)為∴方程的解是（2）∵在方程中，數(shù)軸上到2的距離為3的點對應(yīng)的數(shù)．∴方程的解是或．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵．11．我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”．數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如，式子的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與-1所對應(yīng)的點之間的距離．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）若，則；的最小值是．（2）若，則的值為；若，則的值為．（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接寫出這個最小值及此時的取值情況；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值為17，此時【解析】【分析】（1）對于直接根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行求解即可；設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，則表示的意義即為數(shù)軸上一點P到A的距離和到B的距離之和，然后分別討論P在AB之間，P在A點左側(cè)和P在B點右側(cè)的取值即可得到答案；（2）設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，由（1）可知當P在AB之間（包含A、B）時，，當P在A點左側(cè)時，當P在B點右側(cè)時，由此可以確定此時P點在A點左側(cè)或在B點右側(cè)，由此進行求解即可；分當時，當時，當時，當時，這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案；（3）分當時，當時，當時，當時，這四種情況去絕對值進行討論求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴或；設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，∴表示的意義即為數(shù)軸上一點P到A的距離和到B的距離之和，如圖所示，當P在AB之間（包含A、B）時，；當P在A點左側(cè)時；同理當P在B點右側(cè)時；∴的最小值為5，故答案為：5或-1；5；（2）設(shè)A點表示的數(shù)為-2，B點表示的數(shù)為3，P點表示的數(shù)為x，由（1）可知當當P在AB之間（包含A、B）時，，當P在A點左側(cè)時，當P在B點右側(cè)時∵，∴當P在A點左側(cè)時即，∴；同理當P在B點右側(cè)時即，∴；∴當時，或4；當時，∵，∴，解得符合題意；當時，∵，∴，解得符合題意；當時∵，∴，解得不符合題意；當時∵，∴，解得不符合題意；∴綜上所述，當，或；故答案為：或4；或；（3）當時，∴，當時，∴，當時∴，當時∴，∴此時∴綜上所述，的最小值為17，此時．【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，絕對值方程，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握絕對值的幾何意義．12．已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣1、3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．（1）如果點P到點A、點B的距離相等，直接寫出x的值；（2）當點P以每秒3個單位長的速度從數(shù)軸的原點出發(fā)，幾秒后可使PB＝3AB？（3）利用數(shù)軸，根據(jù)絕對值的幾何意義，找出滿足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值．【答案】（1）x=1；（2）若向x軸負向運動，3s后可使PB＝3AB；若向x軸正向運動，5s后可使PB＝3AB；（3）x=-2或4．【解析】【分析】（1）點P到點A、點B的距離相等，點P必在A、B中間；（2）先求出使PB＝3AB的P點，再用距離除以速度；（3）找到與A、B兩點距離之和為6的點．【詳解】解：（1）到點A、點B的距離相等的點位于A、B的中點，即x=1的點；（2）若P向數(shù)軸負方向運動，使PB＝3AB，AB=4則PB=12所以P點對應(yīng)的數(shù)是3-12=-9，從原點到-9對應(yīng)點的距離是9，P移動的速度是3個單位/s所以到達-9處需要時間=；若P向數(shù)軸正方向運動，使PB＝3AB，AB=4則PB=12所以P點對應(yīng)的數(shù)是3+12=15從原點到15對應(yīng)點的距離是15，P移動的速度是3個單位/s所以到達15處需要時間=．綜上，當以數(shù)軸負向運動時，3秒后可使PB＝3AB；當以數(shù)軸正向運動時，5秒后可使PB＝3AB．（3）由題可得，要找出與A、B兩點距離之和為6的點，因為AB=4，所以必定在線段AB兩側(cè)在線段AB右側(cè)的點為x=4的點，與B距離為1，與A距離為5；在線段AB左側(cè)的點為x=-2的點，與A距離為1，與B距離為5．【點睛】這道題考察的是數(shù)軸上兩點間距離的概念和絕對值的幾何意義．熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．13．認真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．材料：在學習絕對值時，我們知道了絕對值的幾何意義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．（1）一般地，點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和如何表示？（用含絕對值的式子表示）．（2）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出這些點表示的數(shù)的和．（3）在數(shù)軸上找到一點a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及該式的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）時，有最小值7．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意和數(shù)軸上兩點間的距離解答即可；（2）等式=7表示數(shù)x到﹣2的兩點間的距離和x到5的兩點間的距離之和為7，再結(jié)合題意可確定數(shù)x在﹣2與5之間，進而可確定整數(shù)x的值，然后求和計算即可；（3）式子|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|表示數(shù)a的點與表示數(shù)﹣3、1、4的點的距離之和，由于數(shù)1在﹣3與4之間，可先考慮求|a+3|+|a﹣4|的最小值，易知數(shù)軸上當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3的點的左邊和表示數(shù)4的點的右邊時，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3與4的距離，故當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3和4之間時，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此時只要求|a﹣1|的最小值即可，顯然當a＝1時滿足要求，再把a＝1代入原式計算即可．【詳解】解：（1）因為點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，所以點A到B的距離為，點A到C的距離為，所以A到B的距離與A到C的距離之和是；（2）因為=7表示數(shù)x到﹣2的兩點間的距離和x到5的兩點間的距離之和為7，且數(shù)軸上﹣2與5的兩點間的距離為7，所以數(shù)x在﹣2與5之間，因為x為整數(shù)，所以x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，它們的和為﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5=12；（3）因為|a+3|+|a﹣4|表示數(shù)a的點到表示數(shù)﹣3和4的點的距離之和，所以當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3的點的左邊和表示數(shù)4的點的右邊時，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3與4的距離，此時|a+3|+|a﹣4|的值均大于7，所以當表示數(shù)a的點在表示數(shù)﹣3和4的點之間時，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此時|a+3|+|a﹣4|=7；又因為當a=1時，|a﹣1|的值最小，且數(shù)軸上表示數(shù)1的點在表示數(shù)﹣3和4的點之間，所以當a＝1時，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，此時|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|=4+0+3=7．即時，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|有最小值7．【點睛】本題以數(shù)軸為載體，主要考查了絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點間的距離和有理數(shù)的加法運算，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．類型四利用絕對值的幾合意義解絕對值不等式14．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和－2的距離之和為5的點對應(yīng)的x的值．在數(shù)軸上，1和－2的距離為3，滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或－2的左邊，若x對應(yīng)點在1的右邊，由圖可以看出x＝2；同理，若x對應(yīng)點在－2的左邊，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程|x＋3|＝4的解為________．(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a對任意的x都成立，求a的取值范圍．【答案】(1)1和－7；(2)x≥4或x≤－5(3)a≤7【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件可以得到絕對值方程，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上，到某個點的距離的問題，即可求解；(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3與－4兩點距離的和，大于或等于9個單位長度的點所表示的數(shù)；(3)|x－3|＋|x＋4|≥a對任意的x都成立，即求到3與－4兩點距離的和最小的數(shù)值．【詳解】(1)方程|x＋3|＝4的解就是在數(shù)軸上到－3這一點，距離是4個單位長度的點所表示的數(shù)，是1和－7.故解是1和－7；(2)由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與3和－4的距離之和為大于或等于9的點對應(yīng)的x的值．在數(shù)軸上，３和－４的距離為７，滿足方程的x對應(yīng)點在３的右邊或－４的左邊，若x對應(yīng)點在３的右邊，由圖可以看出x≥４；同理，若x對應(yīng)點在－４的左邊，可得x≤－５，即可求得x≥4或x≤－5．(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的點到數(shù)軸上與3和－4的距離之和，當表示對應(yīng)x的點在數(shù)軸上3與－4之間時，距離的和最小，是7．故a≤7．【點睛】此題主要考察不等式的應(yīng)用，熟知不等式與數(shù)軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.15．閱讀下列材料：我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離，即=，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)的點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對應(yīng)的點之間的距離；例1解方程||=2．因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為，所以方程||=2的解為．例2解不等式|－1|＞2．在數(shù)軸上找出|－1|=2的解（如圖），因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)的數(shù)為－1或3，所以方程|－1|=2的解為=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集為＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和－2對應(yīng)的點的距離之和等于5的點對應(yīng)的的值．因為在數(shù)軸上1和－2對應(yīng)的點的距離為3（如圖），滿足方程的對應(yīng)的點在1的右邊或－2的左邊．若對應(yīng)的點在1的右邊，可得=2；若對應(yīng)的點在－2的左邊，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|+2|=3的解為；（2）解不等式：|－2|＜6；（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；（4）解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或

.【解析】【分析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3；（2）在數(shù)軸上找出|－2|=6的解；即在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于6的點對應(yīng)的數(shù)；（3）在數(shù)軸上找出|－3|+|+4|=9的解．再根據(jù)數(shù)軸上的位置分析出不等式的解集;（4）由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和－4對應(yīng)的點的距離之和等于9的點對應(yīng)的x的值．【詳解】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=－5．（2）在數(shù)軸上找出|－2|=6的解．∵在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于6的點對應(yīng)的數(shù)為－4或8，∴方程|－2|=6的解為x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集為－4＜x＜8．（3）在數(shù)軸上找出|－3|+|+4|=9的解．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和－4對應(yīng)的點的距離之和等于15的點對應(yīng)的x的值．∵在數(shù)軸上3