教案課題成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用

教案課題成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析的應(yīng)用黃亞河20230508一、教學(xué)目標(biāo)1.通過本章的知識(shí)框架結(jié)構(gòu)圖，熟悉成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析的相關(guān)知識(shí)，查漏補(bǔ)缺，建構(gòu)本章知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系；2.通過梳理回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)過程，總結(jié)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系及分析方法；3.利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷、線性回歸模型參數(shù)最小二乘估計(jì)、值判斷，以及回歸分析的預(yù)測(cè)、獨(dú)立性檢驗(yàn)的解釋，體會(huì)模型思想、假設(shè)檢驗(yàn)思想和樣本估計(jì)總體的思想；4.通過典型問題的解決，會(huì)綜合運(yùn)用相關(guān)系數(shù)、一元線性回歸分析、列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)解決相關(guān)成對(duì)數(shù)據(jù)等實(shí)際問題；5.提升在實(shí)際問題中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思想的能力，落實(shí)直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)。二、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課內(nèi)容選自普通高中數(shù)學(xué)教材人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第八章《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》。體會(huì)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，掌握相關(guān)關(guān)系的判斷，能根據(jù)散點(diǎn)圖對(duì)線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行判斷；會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系；了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理；會(huì)通過分析殘差圖法、殘差平方和和利用決定系數(shù)判斷回歸模型的擬合效果；通過實(shí)例，理解列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，理解判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的常用方法：頻率分析法、等高條形圖法；了解隨機(jī)變量的意義，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法。通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生厘清成對(duì)數(shù)值變量、分類變量的統(tǒng)計(jì)分析方法，強(qiáng)化其中構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量的含義；體會(huì)模型、假設(shè)檢驗(yàn)、樣本估計(jì)總體的思想與方法，并能應(yīng)用它們解決綜合的實(shí)際問題。1.教學(xué)重點(diǎn)：（1）構(gòu)建本章的知識(shí)框架結(jié)構(gòu)（2）理解相關(guān)關(guān)系、散點(diǎn)圖、樣本相關(guān)系數(shù)等基本概念理解一元線性回歸模型的概念，通過對(duì)殘差和殘差圖的分析，能用殘差判斷一元線性回歸模型的擬合程度將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題，能用決定系數(shù)判斷線性回歸模型的優(yōu)劣基于列聯(lián)表，能通過實(shí)例解釋獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，歸納出獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟，提升數(shù)據(jù)分析的能力2.教學(xué)難點(diǎn)：（1）回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因與影響（2）運(yùn)用合適的變換將非線性相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題，用決定系數(shù)判斷模型的優(yōu)劣程度（3）統(tǒng)計(jì)變量的導(dǎo)出與意義，獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想與方法三、學(xué)生學(xué)情整節(jié)課貫穿探索-總結(jié)式教學(xué)原則，并由此獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，踐行“學(xué)會(huì)想象，體驗(yàn)升華過程，學(xué)會(huì)邏輯推理”的理念。1.直觀想象：通過散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量間的關(guān)系2.邏輯推理：了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系；了解最小二乘原理，從而掌握一元線性回歸模型的最小二乘估計(jì)；參數(shù)的意義及參數(shù)估計(jì)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用相關(guān)系數(shù)來判斷兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系；利用卡方進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)4.數(shù)據(jù)分析：運(yùn)用殘差、殘差的平方和和決定系數(shù)判斷線性回歸模型的擬合程度5.數(shù)學(xué)建模：基于圖形建立數(shù)學(xué)模型。四、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一、構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖【問題1】：你能畫出本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖嗎？.結(jié)構(gòu)圖環(huán)節(jié)二：知識(shí)梳理（一）、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性1.舉例說明成對(duì)數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的？（1）案例:教育部門為掌握學(xué)生身體健康狀況,需要了解身高和體重之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施,需要了解有哪些因素會(huì)影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；由此可以知道，需要了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系，需要對(duì)同一個(gè)個(gè)體的兩個(gè)維度進(jìn)行觀測(cè)，從而形成成對(duì)數(shù)據(jù)。什么叫相關(guān)關(guān)系，它與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？變量的相關(guān)關(guān)系常見的有兩類，一類是確定性關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系；另一類是兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)區(qū)精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。3.兩個(gè)變量之間的關(guān)系類型4.如何從定量的角度刻畫成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度？（1）樣本相關(guān)系數(shù)的定義我們稱為變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征r的正負(fù)性當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大。當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大:當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí),另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小。r的絕對(duì)值樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1],樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù),|r|刻畫了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度.當(dāng)r=0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.（二）、一元線性回歸模型及其應(yīng)用（1）什么是一元線性回歸模型，模型參數(shù)與的統(tǒng)計(jì)意義是什么？由于散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，所以兩變量之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可以用線性回歸模型來表示，我們稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.a：截距參數(shù)；b：斜率參數(shù)，它們刻畫了變量Y與變量的線性關(guān)系；其中參數(shù)b的含義可以解釋為自變量x對(duì)響應(yīng)變量Y的均值的影響，變量x每增加一個(gè)單位，響應(yīng)變量Y的均值將增加b個(gè)單位。（2）最小二乘原理是什么？你能說說它的基本思想嗎？人們通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和來刻畫各樣本數(shù)據(jù)與直線的“整體接近程度”。當(dāng)?shù)娜≈禐槲覀儗⒎Q為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法．求得的叫做的最小二乘估計(jì)。最小二乘法體現(xiàn)了函數(shù)的思想，運(yùn)用它求解參數(shù)的估計(jì)值?；舅枷胧菢颖竟烙?jì)總體的思想。怎樣判斷模型的擬合效果？①殘差圖法殘差點(diǎn)比較均勻的落在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。②殘差平方和法殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好。③決定系數(shù)的計(jì)算公式為.越大，越趨近于1，表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好在實(shí)際情況中，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)不是所有的兩個(gè)變量關(guān)系都適合用一元線性回歸模型，那么常見的非線性模型有哪些呢？怎樣求它的回歸模型呢？指數(shù)函數(shù)型等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，令則②冪函數(shù)型 等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，令,則得對(duì)數(shù)函數(shù)型令,則得（三）、獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）如何從直觀的角度判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)?與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是什么？它與反證法有何異同?獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率的原理，體現(xiàn)的是假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。它和反證法的共同點(diǎn)都是從某種假設(shè)，最后利用結(jié)論推斷是否成立。不同點(diǎn)是結(jié)論形成的依據(jù)不同，而且反證法不會(huì)犯錯(cuò)誤，但獨(dú)立性檢驗(yàn)會(huì)犯隨機(jī)性錯(cuò)誤。(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是什么？對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)=α成立，我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值xα越大.基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立。五、典例分析年份x20102012201420162018需求量y/萬(wàn)噸236246257276286例1：某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程（2）利用（1）中所求的線性回歸方程預(yù)測(cè)該地2020年的糧食需求量。解：（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得所以，y關(guān)于t的回歸方程為：.2）利用所求得的線性回歸方程，可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量大約為小結(jié)：1、你能說出判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點(diǎn)圖直觀判斷；（2）利用相關(guān)系數(shù)r的值判斷。2、在例1中構(gòu)建線性回歸方程的一般步驟是什么？體現(xiàn)了那些數(shù)學(xué)思想與方法？（1）收集樣本數(shù)據(jù)；（2）作出散點(diǎn)圖，線性相關(guān)關(guān)系（3）代入公式計(jì)算公式為（4）寫出線性回歸方程.在這個(gè)回歸分析中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、定量與定性結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想與方法。例2.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=ax+b與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)（Ⅱ）根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：解：（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型。（Ⅱ）令，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程式由于由于∴建立y關(guān)于w的線性回歸方程式為∴關(guān)于y的線性回歸方程式為小結(jié)：你能歸納求非線性回歸方程的步驟嗎？（1）確定變量，作出散點(diǎn)圖（2）根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)幕貧w模型來擬合（3）通過換元把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程（4）根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程例3一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組測(cè)數(shù)據(jù)如下表：甲同學(xué)用線性回歸模型得到乙同學(xué)用非線性回歸模型，得到且（1）甲乙兩個(gè)同學(xué)用的回歸模型相比，哪種的擬合效果更好？這種模型是不是最好的模型？（2）用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35℃時(shí)，該藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)？解：甲同學(xué)用線性回歸模型得到的決定系數(shù)因?yàn)?，所以乙同學(xué)的非線性回歸方程擬合效果更好。當(dāng)溫度為35℃時(shí)，該藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)約為：例4，調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間和性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為嬰兒性別與出生時(shí)間有關(guān)系呢？【解析】根據(jù)上表數(shù)據(jù)得到等高條形圖：由等高條形圖可以初步判斷：嬰兒性別與出生時(shí)間有關(guān)系。解：假設(shè)嬰兒性別與出生時(shí)間沒有關(guān)系，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得出的觀測(cè)值因?yàn)槎?.689>2.706，因此在犯錯(cuò)誤概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“嬰兒的性別和出生的時(shí)間有關(guān)系”?！編熒顒?dòng)】：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生形成規(guī)范解答。（2）零假設(shè)：“防疫標(biāo)兵”與性別無(wú)關(guān).由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得：K方的值查臨界值表可知，我們有95%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)。小結(jié)：通過例3，你能歸納出運(yùn)用獨(dú)立性解決實(shí)際問題的步驟嗎？（1）提出零假設(shè)和相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋（2）根據(jù)數(shù)據(jù)整理出列聯(lián)表（3）計(jì)算卡方的值（4）與臨界值比較，得出結(jié)論六、課堂小結(jié)1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？成隨數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建了本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖2、對(duì)本節(jié)課的三道例題進(jìn)行反思總結(jié)，體會(huì)用成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的方法。七：作業(yè)布置八：教學(xué)反思本單元教學(xué)設(shè)計(jì)基于單元整體化教學(xué)理念，對(duì)教科書進(jìn)行