2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線的一個方向向量，且直線過點和兩點，則（）A．0 B．1 C． D．32．經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為（

）A． B．C． D．3．若兩條平行線，與之間的距離為，則等于A． B． C． D．4．已知過點和點的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．85．如圖，在三棱錐中，是邊長為3的正三角形，是上一點，，為的中點，為上一點且，則（

）

A．5 B．3 C． D．6．已知點，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．7．若圓上有且僅有兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最?。?/p>

）A． B． C． D．二、多選題9．已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．） D．與夾角的余弦值為10．以下四個命題表述錯誤的是（

）A．恒過定點B．若直線與互相垂直，則實數(shù)C．已知直線與平行，則或D．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是11．如圖，正方體的棱長為1，是的中點，則（

）A．直線平面 B．C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成的角為12．已知、，為圓上一動點，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．到直線距離的最大值為 D．三、填空題13．將直線l：向左平移3個單位，再向上平移2個單位得到直線，則直線l與之間的距離為．14．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.15．在正四面體中，棱長為2，且E是棱中點，則的值為.16．已知過點的直線與軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，當?shù)拿娣e最小時，直線的方程為．四、解答題17．已知向量，，.（Ⅰ）當時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.18．在三棱錐中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面平面，，、分別為的中點．

(1)證明：；(2)求二面角正弦值的大小.19．已知直線.（1）若直線過點，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.20．已知兩兩垂直,,為的中點，點在上，.（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）若點在線段上，設(shè),當時，求實數(shù)的值．21．三角形的頂點，邊上的中線所在直線為，A的平分線所在直線為．(1)求A的坐標和直線的方程；(2)若P為直線上的動點，，，求取得最小值時點P的坐標．22．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點在母線上，且，．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點為線段上的動點．當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離．1．D【分析】首先求出，依題意，則，根據(jù)空間向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】因為直線過點和兩點，所以，又直線的一個方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D2．B【分析】先求出交點，再根據(jù)平行關(guān)系求方程即可.【詳解】解：聯(lián)立，解得，即交點為，因為直線的斜率為，所以，所求直線的方程為，即．故選：B．3．A【詳解】兩條平行線，與，有：，得：平行線，與平行線距離為：,解得或-9（舍）則.故選A.4．A【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系得出的值.【詳解】因為，所以，解得，又，所以，解得.所以.故選：A.5．D【分析】以為一組基底，表示求解.【詳解】解：以為一組基底，則，，，，，，，所以.故選：D6．C【分析】由直線的方程得直線所過定點坐標，求k的臨界值，得k的取值范圍.【詳解】直線l：經(jīng)過定點，，．又直線l：與線段相交，所以或，故選：C．7．B根據(jù)題意可得已知圓與圓相交，由圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，列式即可得解.【詳解】由題意可得：已知圓與圓相交，∴，∴，解得且，故選：B.8．B【分析】將已知變形設(shè)出，，則為點分別到點，的距離之和，則，即可根據(jù)兩點間距離計算得出答案.【詳解】，，設(shè)，，，則為點分別到點，的距離之和，點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，連接，則，當且僅當，，三點共線時取等號，故選：B.9．BCD【分析】對于A，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解，對于B，結(jié)合向量模公式，即可求解，對于C，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解，對于D，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【詳解】因為，且，故A不正確；因為，，則，故B正確；因為，，故C正確；由于，，所以，所以D正確.故選:BCD.10．BCD【分析】根據(jù)題意，求出各直線的斜率，依次判斷各選項的正誤.【詳解】選項A：直線，即，所以恒過定點，故A正確；選項B：根據(jù)題意，當時，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時，與互相垂直，當時，直線的斜率，直線的斜率，因為兩直線互相垂直，所以，解得，所以或，故B錯誤；選項C：根據(jù)題意，當時，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時，與互相垂直，舍去，當時，直線的斜率，直線的斜率，因為兩直線互相平行，所以，解得，當時，兩直線重合，故舍去，所以，故C錯誤；選項D：根據(jù)題意，直線的斜率，因為，所以，所以，傾斜角的取值范圍是，故D錯誤；故選：BCD.11．ABD【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一驗證即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正確；，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；，故C錯誤；故選：ABD本題考查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.12．ABD【分析】求出點到直線的最大距離，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項；求出的最大值，可得出到直線距離的最大值，可判斷C選項；利用平面兩點間的距離公式結(jié)合圓的方程可判斷D選項；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷B選項.【詳解】對于A選項，圓上的一點到直線的最大距離為圓的半徑，故的最大值為，A對；對于C選項，如下圖所示：點到直線的距離為，圓的圓心為原點，當直線與圓相切時，此時最大，則點到直線的距離取最大值，連接，則，則，故，因此，點到直線的距離為，C錯；對于D選項，設(shè)點，則，所以，，D對；對于B選項，，當且僅當點為直線與圓的交點，且點在線段上時，等號成立，所以，的最大值為，B對.故選：ABD.13．【分析】根據(jù)條件得到直線為，再由兩平行線間的距離公式得到，化簡求值即可.【詳解】由題意可得，直線的方程為，即，則直線與之間的距離.故答案為.本題考查了兩平行線間的距離公式的應(yīng)用以及直線的平移的應(yīng)用.14．.根據(jù)兩圓關(guān)于直線對稱，得兩圓圓心關(guān)于直線對稱，由此求出對稱圓圓心，然后求解圓的方程即可.【詳解】圓的圓心為，設(shè)對稱圓的圓心為，由題意得，，解得，，對稱圓的圓心，半徑為，對稱圓的方程為.故答案為.本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，對稱圓的方程的求法，屬于中檔題.15．【分析】由題意，設(shè)，建立空間的一個基底，在正四面體中，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，建立空間的一個基底，在正四面體中，所以.本題主要考查了空間向量的數(shù)量積的運算問題，其中解答中建立適當?shù)目臻g基底，熟記向量的表示，以及向量的數(shù)量積的運算公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16．由題意可知，直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，求出點、的坐標，結(jié)合已知條件可求得的取值范圍，并求出的面積關(guān)于的表達式，利用基本不等式可求得面積的最小值及其對應(yīng)的值，由此可求得直線的方程.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，即.在直線的方程中，令，可得；令，可得.即點、，由題意可得，解得，的面積為，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，直線的方程為，即.故答案為.關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：（1）將三角形的面積利用加以表示；（2）在求解最值時，可充分利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等知識來求解.17．（Ⅰ）實數(shù)和的值分別為和.（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)根據(jù)可求得,再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.(Ⅱ)根據(jù)共面有,再求解對應(yīng)的系數(shù)相等關(guān)系求解即可.【詳解】解：(Ⅰ)因為,所以.且.因為向量與垂直,所以.即.所以實數(shù)和的值分別為和.(Ⅱ)因為向量與向量，共面,所以設(shè)（）.因為,所以所以實數(shù)的值為.本題主要考查了空間向量的基本求解方法,包括模長的運算以及垂直的數(shù)量積表達與共面向量的關(guān)系等.屬于基礎(chǔ)題.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AC得中點O，得，，可知平面，進而得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求出平面CMN與平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】（1）取AC得中點O，連接SO，OB，，，，，又SO，BO交于點O，平面，平面，于是可知平面，又平面，；（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系,那么，∴，設(shè)為平面CMN的一個法向量，那么，取，那么，∴，又為平面的一個法向量，，，即二面角的正弦值為.

19．（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為.因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）建立空間直角坐標系，寫出的坐標，從而可得的長；（Ⅱ）利用垂直，向量數(shù)量積為0，求出的值.【詳解】（Ⅰ）由題意，以O(shè)A,OB,OC分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系，由于為的中點，點在上，可得,；

（Ⅱ）設(shè)，且點在線段上，，

，，

，本題主要考查空間向量的應(yīng)用，利用空間向量求解線段的長度，利用空間向量解決空間的垂直問題.21．(1)，直線的方程為(2)【分析】（1）設(shè)點A坐標并表示中點D坐標，由點在直線方程建立方程求解即可得A，利用角平分線的性質(zhì)可得點B關(guān)于直線的對稱點，從而求方程；（2）由兩點之間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值計算即可.【詳解】（1）由題意可設(shè)，則，由直線，的方程可知：，即，設(shè)點B關(guān)于直線的對稱點，則中點坐標為，，依題意有，解之得，即，易知在直線上，故由兩點式可得，化簡得；

（2）由（1）所得方程，不妨設(shè)，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當，上式取得最小值，此時.22．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)交于點，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進而證得直線平面；（2）通過平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，因為平面，所以，又因為是底面圓的內(nèi)