2023-2024學(xué)年福建省廈門高二上冊(cè)第一次月考9月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省廈門高二上冊(cè)第一次月考9月月考數(shù)學(xué)模擬試題第I卷（選擇題共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，則（

）A．2 B． C．6 D．2．已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．4．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．5．已知平面，其中點(diǎn)，法向量，則下列各點(diǎn)中不在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．6．已知正四面體，M為AB中點(diǎn)，則直線CM與直線BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中不正確的是（）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．任意向量，若，則或或B．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為C．已知向量，若，則為鈍角D．若，，是不共面的向量，則，，的線性組合可以表示空間中的所有向量10．在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)（不與頂點(diǎn)重合），則點(diǎn)到平面的距離可以是（

）A． B． C．2 D．11．如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（

）A．B．C．四邊形的面積為D．平行六面體的體積為12．如圖的六面體中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，則（

）A．CD⊥平面ABC B．AC與BE所成角的大小為 C． D．該六面體外接球的表面積為3π第II卷(共70分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已用，，則在方向上的投影向量為．14．如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點(diǎn)，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長(zhǎng)等于.15．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點(diǎn)的直線l的方程為，則直線l的一個(gè)方向向量是，直線l與平面所成角的余弦值為．16．盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的，已成為巴黎的城市地標(biāo).盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球心到該四棱錐側(cè)面的距離為.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．如圖，在底面為菱形的四棱錐中，底面，為的中點(diǎn)，且，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

(1)寫出四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求．18．已知向量，，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.19．如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為3，且，N是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)用、、表示向量，并求的長(zhǎng)；(2)求證：平面．20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，M，N分別為棱PD，BC的中點(diǎn)，.(1)求證：平面PAB；(2)求直線MN與平面PBD所成角的正弦值.21．如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，，，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．

(1)若為的中點(diǎn)，在圖中過點(diǎn)作一個(gè)平面，使得平面．（不必給出證明過程，只要求作出與棱臺(tái)的截面）；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記．(1)問a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??？(2)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．1．D【分析】直接由空間兩點(diǎn)的距離公式求解即可.【詳解】由題意得．故選：D.2．A【分析】求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A.3．D【分析】要使空間中的、、、四點(diǎn)共面，只需滿足，且即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D.4．D【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．5．B【分析】結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)分別求出，計(jì)算的值是否為0，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A在平面內(nèi)；對(duì)于B，，，故選項(xiàng)B不在平面內(nèi)；對(duì)于C，，，故選項(xiàng)C在平面內(nèi)；對(duì)于D，，，故選項(xiàng)D在平面內(nèi).故選：B.6．B【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，利用幾何法求解作答.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因此或其補(bǔ)角為直線與直線所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，且，同理，在等腰中，，所以直線CM與直線BD所成角的余弦值為.故選：B7．D以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和的公垂線的方向向量，求出，再由可求出.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.本題考查異面直線距離的求解，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解.8．B【分析】取中點(diǎn)，證明平面，得動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由與此法向量平行確定點(diǎn)位置，判斷B，利用空間向量法求得到到平面距離的最大值，確定點(diǎn)位置判斷C，利用勾股定理確定點(diǎn)軌跡，得軌跡長(zhǎng)度判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，分別取中點(diǎn)，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，，，所以，同理平面，，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即點(diǎn)軌跡是線段，A正確；選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)（），，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，，到平面的距離為，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，d有最大值1，時(shí)，，時(shí)，d有最大值，綜上，時(shí)，d取得最大值1，故與重合時(shí)，d取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項(xiàng)D，平面，平面，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長(zhǎng)度為，D正確．故選：B．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過且與平面平行的平面，由體積公式，在正方形內(nèi)的點(diǎn)到平面的距離最大，則三棱錐體積最大．9．ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式分析即可；對(duì)B，根據(jù)空間中點(diǎn)到線的距離向量公式求解即可；對(duì)C，討論特殊情況反向時(shí)判斷即可；對(duì)D，根據(jù)空間向量共面滿足的條件判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，則或或，即或或，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則，故B正確；對(duì)于C，，若，則，當(dāng)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以當(dāng)，且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，若、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量，否則若、、共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，顯然無(wú)解，所以、、也不共面，由空間向量基本定理，可能用它們表示出空間任意向量，D正確.故選：ABD10．CD【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得平面的法向量，進(jìn)而即得.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，，設(shè)為平面的法向量，則有：，令，可得，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以距離的范圍是.故選：CD.11．ABD【分析】A、B選項(xiàng)通過空間向量的模長(zhǎng)及數(shù)量積進(jìn)行判斷即可；C選項(xiàng)通過空間向量求出，進(jìn)而求出面積即可；D選項(xiàng)作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長(zhǎng)，即可求出體積.【詳解】，則，故，A正確；，，，故，B正確；連接，則，，即，同理，故四邊形為矩形，面積為，C錯(cuò)誤；過作面，易知在直線上，過作于，連接，由得面，易得，故，，，故平行六面體的體積為，D正確.故選：ABD.12．ACD【分析】利用線面垂直的判定定理、空間向量以及球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)镃A＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝，所以，即又，所以CD⊥平面ABC，故A正確；因?yàn)镃D⊥平面ABC，如圖，建立空間之間坐標(biāo)系，因?yàn)镃A＝CB＝CD＝1，所以四面體是正三棱錐，因?yàn)锳B＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝，所以四面體是正四面體，在正三棱錐中過點(diǎn)C作底面的垂線，垂足為正三角形的中心，同理，在正四面體中，過頂點(diǎn)作底面的垂線，垂足為正三角形的中心，所以，三點(diǎn)共線；因?yàn)椋驗(yàn)檎切蔚闹行?，所以，設(shè)，因?yàn)樵谡拿骟w中，，在正三棱錐中，，所以，解得，所以，所以，又，所以，故AC與BE所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；

顯然，該六面體外接球的球心位于線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋粤骟w外接球的半徑，所以該六面體外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.13．【分析】用在方向上的投影乘以與同向的單位向量可得結(jié)果.【詳解】在方向上的投影向量為.故14．4【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合空間向量加法運(yùn)算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故4.15．##【分析】根據(jù)題意，結(jié)合已知條件求得平面的法向量，以及直線的方向向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠?，不妨令，可得，所以過點(diǎn)，設(shè)其法向量為，根據(jù)題意得，即，由平面的方程為，則，不妨取，可得，則平面的一個(gè)法向量為，經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，不妨取，則，則該直線的一個(gè)方向向量為，則直線與平面所成的角為，則，由，所以.故；.16．##【分析】連接、，交于，連接，則球心在的延長(zhǎng)線上，結(jié)合題意可得，且，，設(shè)，，求出，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再結(jié)合法向量求解即可.【詳解】如圖，連接、，交于，連接，則球心在上（或延長(zhǎng)線上），在正四棱錐中，，且，，設(shè)，所以，解得，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，所以球心到四棱錐側(cè)面的距離為.故答案為.17．(1)，，，(2)【分析】（1）根據(jù)為正三角形，由，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的寫法，即可求解；（2）利用空間向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，可得為正三角形，因?yàn)椋?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為的方向?yàn)檩S、軸和軸建立的空間直角坐標(biāo)系，可得．（2）解：由（1）可得，所以.

18．（Ⅰ）實(shí)數(shù)和的值分別為和.（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)根據(jù)可求得,再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.(Ⅱ)根據(jù)共面有,再求解對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等關(guān)系求解即可.【詳解】解：(Ⅰ)因?yàn)?所以.且.因?yàn)橄蛄颗c垂直,所以.即.所以實(shí)數(shù)和的值分別為和.(Ⅱ)因?yàn)橄蛄颗c向量，共面,所以設(shè)（）.因?yàn)?所以所以實(shí)數(shù)的值為.本題主要考查了空間向量的基本求解方法,包括模長(zhǎng)的運(yùn)算以及垂直的數(shù)量積表達(dá)與共面向量的關(guān)系等.屬于基礎(chǔ)題.19．(1),(2)證明見解析【分析】（1）在三角形,三角形,正方形等閉合路徑中進(jìn)行向量轉(zhuǎn)化，將向量用、、表示，再平方將向量實(shí)數(shù)化求出向量的模即的長(zhǎng).（2）先用基向量法求，可證得，結(jié)合正方形中,可證得平面.【詳解】（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，底面是正方形，所以，又，，，且，，所以，所以，即的長(zhǎng)為．（2）因?yàn)?，所以，?又在正方體中，，且，平面所以平面.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）若是中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，進(jìn)而有，利用線面平行的判定證結(jié)論；（2）轉(zhuǎn)化為求直線與平面PBD所成角正弦值，利用等體積法求到面的距離，即可求夾角正弦值.【詳解】（1）若是中點(diǎn)，連接，又為中點(diǎn)，所以且，又ABCD為正方形，即且，而為中點(diǎn)，故且，即為平行四邊形，所以，面，面，則面.（2）由（1）知：直線MN與平面PBD所成角，即為直線與平面PBD所成角，若到面的距離為，則到面的距離為，由平面ABCD，平面ABCD，則，由ABCD為正方形，則，又，所以△為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，即，由，即，則，而，綜上，直線MN與平面PBD所成角正弦值為.21．(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面平行的定義即可得出平面；（2）設(shè)出點(diǎn)的位置，表達(dá)出平面與平面的法向量，寫出余弦值表達(dá)式，即可求出點(diǎn)的位置和的長(zhǎng)度.【詳解】（1）由題意，我們需要保證平面的兩條相交直線平行于平面的兩個(gè)相交直線，我們過點(diǎn)作的平行線，連接，即可得到平面，作出圖像如下圖所示，

（2）由題