2023-2024學年四川省成都市高二下冊期中數(shù)學（理）質量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年四川省成都市高二下冊期中數(shù)學（理）質量檢測模擬試題一、單選題1．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【正確答案】A【分析】含有一個量詞的命題的否定步驟為：改量詞，否結論.【詳解】改量詞：改為，否結論：否定為，所以，的否定形式為：，.故選：A.2．已知復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，進而求其共軛復數(shù)，即可求解.【詳解】，故，故的虛部為，故選：C3．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)【正確答案】D【分析】利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即得.【詳解】∵函數(shù)，，∴，由，，解得，即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：D.4．用數(shù)學歸納法證明“≥(N*）”時，由到時，不等試左邊應添加的項是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的證明過程求解.【詳解】數(shù)學歸納法的證明過程如下：當時，左邊，原不等式成立；設當時，原不等式成立，即

…①成立，則當時，左邊，即要證明左邊也成立，即證

，由①知即證；故選：D.5．已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)平面的交線都與兩個平面的法向量垂直求解.【詳解】因為四個選項中，只有，，所以平面，交線的方向向量可以是故選：B6．設，“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：當時，為純虛數(shù)，故充分；當復數(shù)為純虛數(shù)時，，解得或，故不必要，故選：A7．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①（）是三角函數(shù)：②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③（）是周期函數(shù)A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①【正確答案】B【分析】按照三段論的形式：大前提，小前提，結論的形式排序即可.【詳解】解：三段論為：大前提，小前提，結論，所以排序為：②三角函數(shù)是周期函數(shù)；①（）是三角函數(shù)；③（）是周期函數(shù).故選：B.8．函數(shù)的導函數(shù)是，下圖所示的是函數(shù)的圖像，下列說法正確的是（

）A．是的零點B．是的極大值點C．在區(qū)間上單調遞增D．在區(qū)間上不存在極小值【正確答案】B【分析】由函數(shù)圖像判斷的符號，進而判斷的單調性和極值情況，即可得答案.【詳解】當時，，而，故；當時，，而，故；當時，，而，故；所以上遞減；上遞增，則、分別是的極小值點、極大值點.故A、C、D錯誤，B正確.故選：B9．若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數(shù)中具有性質的是A． B． C． D．【正確答案】A【分析】若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)上存在兩點，使這點的導函數(shù)值乘積為﹣1，進而可得答案．【詳解】解：函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)上存在兩點，使這點的導函數(shù)值乘積為﹣1，當y＝sinx時，y′＝cosx，滿足條件；當y＝lnx時，y′0恒成立，不滿足條件；當y＝ex時，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；當y＝x3時，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選A．導數(shù)及其性質.10．設雙曲線（）的半焦距為c，直線l過兩點，且原點到直線l的距離為，則雙曲線的離心率（

）A．2 B． C．2和 D．2和【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形面積公式列式，結合雙曲線離心率定義求解作答.【詳解】令，依題意，在中，，且，如圖，顯然，由，得，整理得，而，解得，所以雙曲線的離心率.故選：A11．作為平面直角坐標系的發(fā)明者，法國數(shù)學家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為x3+y3－3axy=0.某同學對a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質進行了探究，得到了下列結論，其中錯誤的是（

）A．曲線不經(jīng)過第三象限 B．曲線關于直線y=x對稱C．曲線與直線x+y=－1有公共點 D．曲線與直線x+y=－1沒有公共點【正確答案】C【分析】對于A：當時，判斷是否可能成立即可；對于B：將點代入方程，判斷與原方程是否相同即可；對于C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當，則方程為對于A：若，則，所以，即曲線不經(jīng)過第三象限，故A正確；對于B：將點代入方程得，所以曲線關于直線y=x對稱，故B正確；對于C、D：聯(lián)立方程，由可得，將代入方程可得，所以方程組無解，即曲線與直線x+y=－1沒有公共點，故C錯誤，D正確；故選：C.12．芯片制作的原料是晶圓，晶圓是硅元素加以純化，晶圓越薄，生產(chǎn)的成本越低，但對工藝要求就越高．某大學為鼓勵更多的有志青年投入到芯片事業(yè)中，成立個科研小組，用、、三種不同的工藝制作芯片原料，其厚度分別為，，（單位：毫米），則三種芯片原料厚度的大小關系為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調性可得出、的關系，利用余弦函數(shù)的單調性可得出與的大小關系，構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，可得出與的大小關系，綜合可得出、、的大小關系.【詳解】令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則當時，，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，則，所以，，即，即，因為在上單調遞減，且，所以，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，所以，，則，綜上所述，故選：A.二、填空題13．若方程的圖形是雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點求解.【詳解】由于是雙曲線方程，；故14．在平面上，點到直線的距離公式為，通過類比的方法，可求得：在空間中，點到平面的距離為______.【正確答案】【分析】通過類比推理可知,空間中點到平面的距離為,進而代入求解即可.【詳解】通過類比推理可知,空間中點到平面的距離為,所以點到平面的距離為,故答案為:本題考查類比推理,考查運算能力.15．如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面內一點，若平面，則下列說法正確的是__________.①線段的最大值是②③與一定異面④三棱錐的體積為定值【正確答案】①④【分析】過點作出與平面平行的平面，找出其與面的交線，從而確定點在線段上.選項①中線段的最大值可直接得到為；選項②通過建系求向量數(shù)量積來說明與平面不垂直，從而不一定成立；選項③通過構造平面來確定位置關系；選項④通過證明平面，來說明三棱錐即的體積為定值.【詳解】如圖，延長至，使得，則有取的中點，連接，則有，連接并延長交于點，則點為的中點.因為，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面內，且相交于點，所以平面平面.故點在線段上.由圖知，，故選項①正確；以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，.，，.因為，所以與不垂直，而點在線段上，所以條件不一定成立，故選項②錯誤；如圖，連接，，，則有，且，故四邊形為梯形，與為相交直線，故選項③錯誤；因為點，分別為，的中點，所以.又平面，平面，所以平面.故線段上的點到平面的距離都相等.又點在線段上，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項④正確.故①④.立體幾何問題中與動點相關問題，可以從一下幾點考慮：(1)先作輔助線，找出動點所在的線段或軌跡.(2)判斷與動點相關的條件是否成立常需結合動點所在的線段或軌跡，利用線線、線面、面面位置關系求解，或線線、線面、面面位置關系的判定或性質求解，或建立空間直角坐標系利用向量法求解.16．已知，，若不等式對恒成立，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】易得，分和兩種情況討論，當時，由恒成立，得，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，分析即可得出答案.【詳解】解：顯然，若，當時，有，而，矛盾，∴，令，則恒成立，即，，因為與在都是增函數(shù)，所以函數(shù)在是增函數(shù)，又，當時，，所以存在使得，在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，且，，∴，，∴，當且僅當，即時取等號，所以的取值范圍是．故．本題考查了利用導數(shù)解決不等式恒成立的問題，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想及隱零點問題，有一定的難度.三、解答題17．設F為拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，若線段AB的中點D的橫坐標為1，.求點D到拋物線C的準線的距離和拋物線C的方程.【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義結合幾何性質可得點D到拋物線C的準線的距離.解法一：根據(jù)拋物線的定義分析求解p=1；解法二：利用弦長公式結合韋達定理分析運算.【詳解】由題意可得拋物線C的焦點，準線，過A、B分別向拋物線C的準線作垂線，垂足為E、H，則根據(jù)拋物線的定義，有AF=AE，BF=BH，所以AE+BH=AF+BF=AB=3.因此在直角梯形ABHE中，點D到拋物線C的準線的距離.解法一：設，根據(jù)拋物線的定義有，，∴，而x1+x2=2，∴p=1，故拋物線C的方程y2=2x.解法二：顯然直線l的斜率k存在且不為0，設方程為，，聯(lián)立方程，消去y整理得，∴，，于是，代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此拋物線C的方程為y2=2x.18．已知函數(shù).（1）當，求證；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)見證明；(2)【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，之后對函數(shù)求導，得到其單調性，從而求得其最小值為，從而證得結果.（2）通過時，時，利用函數(shù)的單調性結合函數(shù)的零點，列出不等式即可求解的取值范圍，也可以構造新函數(shù)，結合函數(shù)圖象的走向得到結果.【詳解】（1）證明：當時，，得，知在遞減，在遞增，，綜上知，當時，.（2）法1：，，即，令，則，知在遞增，在遞減，注意到，當時，；當時，，且，由函數(shù)有個零點，即直線與函數(shù)圖像有兩個交點，得.法2：由得，，當時，，知在上遞減，不滿足題意；當時，，知在遞減，在遞增.，的零點個數(shù)為，即，綜上，若函數(shù)有兩個零點，則.該題考查的是有關導數(shù)的應用問題，涉及到的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，應用導數(shù)研究函數(shù)的最值，以及研究其零點個數(shù)的問題，屬于中檔題目.19．已知函數(shù).(1)當時，求在點處的切線方程；(2)時，求證.【正確答案】(1)y=2x－2ln2(2)證明見解析【分析】（1）將代入的解析式，求出和，再運用點斜式直線方程求解；（2）運用導數(shù)求出的最小值，只要證明最小值即可.【詳解】（1）當a=1時，，x＞0，則，，而，所以在點處的切線方程為，即；（2）對求導得，x＞0，當a＞0時，令得，當時，f（x）單調遞減；當時，f（x）單調遞增，所以，只需證明≥

，即≥0

恒成立；設，，則，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.20．已知四棱錐中，.(1)求證：平面平面；(2)若，線段上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；（2）以A為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示坐標系，設線段上存在一點，即滿足條件，利用向量法對二面角的余弦值列式求解即可判斷.【詳解】（1）由已知可知，，所以因為，所以，所以，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）因為，所以，所以，故兩兩垂直，所以以A為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示坐標系，則：，設線段上存在一點，即，使二面角的余弦值為，因為，則，所以，所以，因為平面，所以平面的法向量為方向的單位向量，設平面的法向量，則，令，得，因為二面角的平面角為銳角，所以，解得舍去故線段上存在一點使二面角的余弦值為，此時.21．設函數(shù)，，其中、(1)求的單調區(qū)間；(2)若存在極值點，且，其中，求的值.【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由極值點的定義可得出，再由以及結合作差法可求得的值.【詳解】（1）解：因為函數(shù)，，其中、，則，則.①當時，對任意的，且不恒為零，此時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；②當時，，由可得，由可得或，此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（2）解：因為函數(shù)存在極值點，由（1）可知，且，由題意可得，可得，由且，可得，即，即，所以，.22．如圖，A、F是橢圓C：（）的左頂點和右焦點，P是C上在第一象限內的點.(1)若，軸，求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的離心率為，，求直線PA的傾斜角的正弦.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）首