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文檔簡(jiǎn)介

2022高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編

五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、選擇題

7171

1.(2022?全國(guó)甲(文T7)(理T5))函數(shù)舊|在區(qū)間一展,的圖象大致為

()

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】令/(x)=(3,一37)cosx,xe一%,三,

則/(-x)=(3-x-3')cos=-3~x)cosx=-f(x),

所以/(x)為奇函數(shù),排除BD;

又當(dāng)岡時(shí),|岡所以f(x)>0,排除C.

故選:A.

2.(2022?全國(guó)甲(文T8)(理T6)).當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)/'(x)=alnx+2取得最大值一2,則

X

八2)=()

A.-1B.岡C.gD.I

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知/(1)=-2,/'(1)=0即可解得。力,再根據(jù)舊|即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(九)定義域?yàn)?0,+。),所以依題可知,/。)=-2,/'。)=0,而

/,(x)=-,所以8=_2,。_/?=0,即a=—2,Z?=_2,所以/'(x)=_2+±.,因

此函數(shù)/(x)在(0,1)上遞增,在(1,+8)上遞減,x=l時(shí)取最大值,滿(mǎn)足題意,即有

故選:B.

3.(2022?全國(guó)乙(文T8)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖像,則

該函數(shù)是()

—x+3x

A.C.岡D.

,二F

2sinx

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】設(shè)岡,則門(mén)r一故排除民

設(shè)〃(*)=等彳,當(dāng)國(guó)時(shí),

入I1

所以/2(力=好竺<3-41,故排除C;

7X+1X+1

、2sinxe小2sin3八

設(shè)g(x)=K'則8閉=?。尽?故排除D-

故選:A.

4.(2022?全國(guó)乙(理)T12)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且

若丁=g(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)耳對(duì)稱(chēng),

22

g⑵=4,則£/(&)=()

hl

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和已知條件得到|國(guó)從而得到

因」|岡—然后根據(jù)條件得到

/(2)的值,再由題意得到g(3)=6從而得到|因|的值即可求解.

【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)耳]對(duì)稱(chēng),

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)―/(x-4)=7,所以|反]~即g(x+2)=7+/(x-2),

因?yàn)?(x)+g(2-幻=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得|國(guó)],即/(%)+/(%-2)=-2,

所以底廠一I,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因?yàn)?(x)+g(2—x)=5,所以|臼即|臼所以

/(2)=-2-/(0)=-3,

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所為反]又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得,|區(qū)|,

所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)|中心對(duì)稱(chēng),因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

所以g⑶=6

因?yàn)?(x)+g(x+2)=5,所以|國(guó).

所以

22

J;/(A:)=/(l)+/(2)+[/(3)+/(5)+...+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+/(22)]=-l-3-10-10=-24

攵=1

故選:D

【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽,考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)

的轉(zhuǎn)化,然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

5.(2022?新高考I卷T10)己知函數(shù)Q,則()

A./(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線(xiàn)舊|的對(duì)稱(chēng)中心D.I的切

線(xiàn)

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合/a)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷

C;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由題,r(x)=3d—l,令/'(x)>0得,甲J

令((幻<。得0

上單調(diào)遞減,在(-00,-多口上單調(diào)遞增,

所以/(X)在囚

所以是極值點(diǎn),故A正確;

所以,函數(shù)“X)在上有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)xN走時(shí),a

,即函數(shù)“X)在,+8上無(wú)零點(diǎn),

37

綜上所述,函數(shù)/*)有一個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò)誤;

令=一X,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h{-x)=(-X)3-(-X)=-x3+x=-//(x),

則〃(x)是奇函數(shù),(0,0)是〃(x)的對(duì)稱(chēng)中心,

將〃(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到/(x)的圖象,

所以點(diǎn)(0,1)是曲線(xiàn)|w|的對(duì)稱(chēng)中心,故C正確;

令/'(彳)=3/-1=2,可得x=±l,又/(D=/(-1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(U)時(shí),切線(xiàn)方程為r^j當(dāng)切點(diǎn)為?岡?時(shí),切線(xiàn)方程為y=2x+3,

故D錯(cuò)誤.

故選:AC

6.(2022?新高考I卷T12)已知函數(shù)/5)及其導(dǎo)函數(shù)|的定義域均為R,記

臼若/(]一2*),|同|均為偶函數(shù),則()

A./(0)=0B.g[-;]=0C.||D.

【答案】BC

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】因?yàn)?|口|均為偶函數(shù),

所以岡即岡,|臼,「

所以〃3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則〃-1)"(4),故C正確;

函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線(xiàn)岡對(duì)稱(chēng),

又|因且函數(shù)/(x)可導(dǎo),

所以囚,

所以[x|,所以國(guó),

所以岡,|國(guó)|,故B正確,D錯(cuò)誤;

若函數(shù)fW滿(mǎn)足題設(shè)條件,則函數(shù)|岡|(C為常數(shù))也滿(mǎn)足題設(shè)條件,所以無(wú)法確定fM

的函數(shù)值,故A錯(cuò)誤.

故選:BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì),準(zhǔn)確把握原函數(shù)

與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系,準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時(shí)結(jié)合圖象)即可得解.

7.(2022?新高考n卷T8)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且

22

/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則£/(%)=()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的

國(guó)|的值,即可解出.

【詳解】因?yàn)椤▁+y)+〃x—y)=/(x)/(y),令后I可得,舊

所以|因令|囚|可得,|岡即|因—所以函數(shù)/(同

為偶函數(shù),令|問(wèn)|得,,/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有

岡,從而可知岡,岡?

故但即同所以函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6?

因?yàn)閷?,岡?/p>

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,|國(guó)|岡所以

一個(gè)周期內(nèi)的回]由于22除以6余4,

所以岡

故選:A.

/(x)=-------

8.,2022?北京卷T4)、知函數(shù)]+21則對(duì)任意當(dāng)數(shù)居有()

A.|」—一|B.|臼一

c.I臼----D.岡

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計(jì)算,注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

【詳解】a,故A錯(cuò)誤,C正確;

,不是常數(shù),故BD

錯(cuò)誤;

故選:C.

9.(2022?北京卷T7)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶'’使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨

界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)

與T和巨|的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正

確的是()

A.當(dāng)值|習(xí)I時(shí),二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)|w|目|時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)|岡|囚時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)臼7時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)T與直|的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)國(guó)二],臼|時(shí),也尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),故A錯(cuò)誤.

當(dāng)I,|,|W|時(shí),|團(tuán)|,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài),故B錯(cuò)誤.

當(dāng)|囚I,I目I時(shí),㈤與4非常接近,故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),

另一方面,|可|時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài),故C錯(cuò)誤.

當(dāng)|岡I,I岡I時(shí),因|岡|,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài),故D正確.

故選:D

10.(2022?浙江卷T7)已知g.則I岡I()

A.25B.5C.時(shí)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化,塞的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閨國(guó)可,即|,所以

0

故選:c.

二、填空題

1.(2022?全國(guó)乙(文T16)若因是奇函數(shù),則。=,b=

【答案】①.岡;In2.

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)槠婧瘮?shù),所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

由。+」一。0可得,[g―I,所以囚,解得:

1-x--------------------------I

數(shù)的定義域?yàn)椋塾稍儆蒊可得,|管即

/(x)=In—:+「一+In2=In手,在定義域內(nèi)滿(mǎn)足國(guó)I,符合題意.

故答案為:岡;ln2.

2.(2022?全國(guó)乙(理)T16)已知閆|和「工分別是函數(shù)回|(臼I且岡I)

的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若|田則。的取值范圍是.

—(1-

【答案】-J

leJ

【解析】

【分析】由4電分別是函數(shù)/(x)=2a’-ef的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),可得

國(guó)1時(shí),f\x)<Q,舊|時(shí),f(x)>0,再分可和0<”1

兩種情況討論,方程|可|的兩個(gè)根為x”x”即函數(shù)|岡與函數(shù)

國(guó)二]的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)|岡根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖

象即可得出答案.

[詳解]解:叵I,

2

因?yàn)閤?x2分別是函數(shù)/(x)=2a'-ex的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),

所以函數(shù)/⑺在舊卜后|上遞減,在舊|上遞增,

所以當(dāng)舊|時(shí),/'(x)<0,當(dāng)何|時(shí),/'(%)>0,

若a>]時(shí),

當(dāng)x<0時(shí),|岡

則此時(shí)r(x)>o,與前面矛盾,

故不符合題意,

設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)因的圖象相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為區(qū)

則切線(xiàn)的斜率為區(qū)

故切線(xiàn)方程為|~f1一

2v<)

則有-lna-a*=-xolna-a,

所以|臼,解得I

又Ovavl,所以

綜上所述,〃的范圍為

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題,考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討

論思想,有一定的難度.

3.(2022?新高考I卷T15)若曲線(xiàn)|岡|有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn),則。的取值范圍

是.

[答案]舊—-

【解析】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)/,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)方程,根據(jù)切線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到

關(guān)于X。的方程,根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求得。的取值范圍.

[詳解]1區(qū)],:.\a|,

設(shè)切點(diǎn)為I叵]],則I區(qū)切線(xiàn)斜率I叵]

切線(xiàn)方程為:|國(guó)

?.?切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),g,

整理得:|岡

V切線(xiàn)有兩條,????=a2+4a>0,解得|岡條三f"l

?的取值范圍是[百一,

故答案為:叵]

4.(2022?新高考II卷T14)寫(xiě)出曲線(xiàn)|岡|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程:,

【答案】①.B(2).|岡|

【解析】

【分析】分x>0和x<0兩種情況,當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為舊],求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù),

即可求出切線(xiàn)的斜率,從而表示出切線(xiàn)方程,再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出%,即可求出切線(xiàn)

方程,當(dāng)x<0時(shí)同理可得;

【詳解】解:因?yàn)閨國(guó)卜

當(dāng)尤>。時(shí)而I,設(shè)切點(diǎn)為舊―|,由|岡所以岡,所以切線(xiàn)方程為

又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以岡,解得|兇所以切線(xiàn)方程為岡

即尸J;

當(dāng)x<0時(shí)國(guó)一設(shè)切點(diǎn)為|區(qū)]由|岡J所以岡,所以切線(xiàn)

方程為岡,

又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以因,解得|囚所以切線(xiàn)方程為

a

5.(2022?北京卷T11)里數(shù)I_________________I的定義域是_________.

[答案]同

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組,解得即可;

【詳解】解:因?yàn)榍?,所以因,解得XW1且X。。,

故函數(shù)的定義域?yàn)閲?guó)

故答案為:國(guó)——

a

6.(2022?北京卷T14)設(shè)函數(shù)I_______________________I若/“)存在最小值,則”的一個(gè)取

值為;a的最大值為.

【答案】①0(答案不唯一)②.1

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)「W|的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論,可知,國(guó)二|符合條件,

1不符合條件,時(shí)函數(shù)目|沒(méi)有最小值,故/(X)的最小值只能取|臼一

的最小值,根據(jù)定義域討論可知|岡]或|國(guó)解得|囚.

【詳解】解:若向二|時(shí),岡,I岡

若I叼I時(shí),當(dāng)x<a時(shí),|回單調(diào)遞增,當(dāng)與二|時(shí),|弘|,故fa)沒(méi)

有最小值,不符合題目要求;

若目二I時(shí),

當(dāng)x<a時(shí),|于]單調(diào)遞減,/(x)>/(a)=-?2+l,

當(dāng)x>a時(shí),岡

???|V|或|71-I,

解得I岡I,

練上可得I;

故答案為:o(答案不唯一),1

7.(2022?浙江卷T14)已知函數(shù)-則M?;若當(dāng)

臼|時(shí),臼則Z?_a的最大值是.

【答案】①.②.3+6閘岡

2o

【解析】

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值,由條件求出。的最小值,。的最大值即可.

【詳解】由已知/(,)=—口■)+2=-,因,

所以因,

當(dāng)時(shí),由I臼I可得I岡|,所以I岡|,

當(dāng)x>l時(shí),由I區(qū)可得岡,所以1cxW2+JL

等價(jià)于g,所以區(qū)

所以匕一。的最大值為3+6-

37

故答案為:,3+A/3-

三、解答題

1.(2022?全國(guó)甲(文)T20)已知函數(shù)/。)=%3一%送(%)=/+4,曲線(xiàn)|岡|在點(diǎn)

(X"(芭))處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=g(x)的切線(xiàn).

(1)若|因卜求。;

(2)求。的取值范圍.

【答案】(1)3(2)國(guó)

【解析】

【分析】(1)先由/(X)上的切點(diǎn)求出切線(xiàn)方程,設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo),由斜率求出切點(diǎn)

坐標(biāo),再由函數(shù)值求出“即可;

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo),分別由f(x)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線(xiàn)方程,由切線(xiàn)重合表示

出。,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)求出函數(shù)值域,即可求得〃的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知,|岡|,|岡—|岡則|岡|在點(diǎn)

|因[處的切線(xiàn)方程為岡一|,

即|臼設(shè)該切線(xiàn)與g(x)切于點(diǎn)|區(qū)]|岡I,則|岡~|,解

得|岡],則|年解得耳]:

【小問(wèn)2詳解】

岡則|岡|在點(diǎn)]臼|處的切線(xiàn)方程為

0,整理得0,

設(shè)該切線(xiàn)與g(x)切于點(diǎn)|回|,|,則|岡|,則切線(xiàn)方程為

+a)=2%2(%一%2),整理得y=2X2X-X1+a,

[xl[x]

則I,整理得

令岡,則舊令應(yīng)

解得口或X>1,

,解得|岡|或目I,則x變化時(shí),

令向的變化情況如下表:

O□

X00(0,1)1(1,+°0)

同—0+0—0+

0

a

h(x)/-1/

2.(2022?全國(guó)甲(理)T21)已知函數(shù)0

(1)若f(x)*0,求a的取值范圍;

(2)證明:若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)%,々,則環(huán)回.

【答案】(1)|臼

(2)證明見(jiàn)的解析

【解析】

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值,即可得解;

(2)利用分析法,轉(zhuǎn)化要證明條件為司,再利用導(dǎo)數(shù)即

可得證.

【小問(wèn)1詳解】

/⑴的定義域?yàn)椋?,+8),

件a

令I(lǐng)岡I,得X=1

當(dāng)xe(0,1),/'(X)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)|岡|單調(diào)遞增|.

若I狂I廁同I,即同I

所以“的取值范圍為I.

【小問(wèn)2詳解】

由題知,/(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1

不妨設(shè)岡

,即證|囚|

要證岡

即證a

即證a

下面證明X>1時(shí),

所以,所以

所以g(x)在I.I單調(diào)遞增

即國(guó),所以

所以〃(x)在I田I單調(diào)遞減

即向

綜上,,所以回

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法,構(gòu)造函數(shù)證明不等

這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn),需要掌握

3.(2022?全國(guó)乙(文)T20)已知函數(shù)回.

(1)當(dāng)|叼I時(shí),求/")的最大值;

(2)若〃x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

【答案】(1)-1

(2)(0,4-oo)

【解析】

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得解;

(2)求導(dǎo)得岡,按照耳|、0<。<1及。>1結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單

調(diào)性,求得函數(shù)的極值,即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)耳J時(shí),岡,則廣(力=2一/=爰,

當(dāng)|岡|時(shí),同“X)單調(diào)遞增;

當(dāng)向|時(shí),/(x)單調(diào)遞減;

所以|國(guó)卜

【小問(wèn)2詳解】

百I(mǎi),則因,

當(dāng)目1時(shí),IV]I,所以當(dāng)舊|時(shí),同卜/(X)單調(diào)遞增;

當(dāng)回I時(shí),/4》)<。,/(X)單調(diào)遞減;

所以同L此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn),不合題意;

當(dāng)0<4<1時(shí),]岡)在岡上,[g/(x)單調(diào)遞增;

/(x)單調(diào)遞減;

又|臼],當(dāng)X趨近正無(wú)窮大時(shí),“X)趨近于正無(wú)窮大,

所以/(x)僅在、,+=0)有唯一零點(diǎn),符合題意;

當(dāng)目二I時(shí),乂,所以“X)單調(diào)遞增,又國(guó)

所以/(X)有唯一零點(diǎn),符合題意;

當(dāng)a>1時(shí)/(X)單調(diào)遞增;

所以/(X)有唯一零點(diǎn),符合題意;

綜上,a的取值范圍為(0,+8).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性,把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.

4.(2022?全國(guó)乙(理)T21)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+axe7

(1)當(dāng)國(guó)二|時(shí),求曲線(xiàn)|岡]在點(diǎn)|叵]]處的切線(xiàn)方程;

(2)若“X)在區(qū)間國(guó)忸恰有一個(gè)零點(diǎn),求〃的取值范圍.

【答案】(1)|岡

(2)|臼

【解析】

【分析】(1)先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

(2)求導(dǎo),對(duì)4分類(lèi)討論,對(duì)X分后一I兩部分研究

【小問(wèn)1詳解】

/5)的定義域?yàn)槎鴟

當(dāng)目1時(shí),岡,所以切點(diǎn)為(0,0)

岡,所以切線(xiàn)斜率為2

所以曲線(xiàn)|囚|在點(diǎn)|7]|處的切線(xiàn)方程為后二

【小問(wèn)2詳解】

0

0

設(shè)|國(guó)

用|工I,當(dāng)尤G(TO),g(x)=ev+a(l-f)>。,即目

所以在|又]|上單調(diào)遞增,目

n商囚L當(dāng)?丘I,則回

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以|遇即兇

所以/(X)在(0,+00)上單調(diào)遞增,同

故fM在(0,-KO)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意

由耳1

⑴當(dāng)|囚~(yú)|,則I網(wǎng)所以g(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞增

當(dāng)向一一

所以/(X)在IVI上有唯一零點(diǎn)

又|回I沒(méi)有零點(diǎn),即fM在(0,+oo)上有唯一零點(diǎn)

設(shè)岡

"(x)=e'-2a>0

所以可在|岡]單調(diào)遞增

a

所以存在|臼使得|臼

當(dāng)I岡|單調(diào)遞減

當(dāng)xe(〃,O),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增且__________________

又g(-l)」>0

e

所以存在I國(guó)使得I扇網(wǎng)向I

當(dāng)|后]單調(diào)遞增,當(dāng)「臼I單調(diào)遞減

有回—___________

而/(。)=(),所以當(dāng)I臼

所以/(X)在|上有唯一零點(diǎn)J岡I上無(wú)零點(diǎn)

即/(X)在目二I上有唯一零點(diǎn)

所以耳H,符合題意

所以若所X)在區(qū)間而-I各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍為巨

y

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是對(duì)“的范圍進(jìn)行合理分類(lèi),否定和肯定并用,否定只需要

說(shuō)明一邊不滿(mǎn)足即可,肯定要兩方面都說(shuō)明.

5.(2022?新高考I卷T22)已知函數(shù)/(x)=e*-ox和g(x)="-lnx有相同最小值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線(xiàn)百二其與兩條曲線(xiàn)國(guó)二]#y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并

且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】(1)臼|

(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性,從而可得相應(yīng)的最小值,根據(jù)最小值相等可求

。注意分類(lèi)討論.

(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)印時(shí),|的解的個(gè)數(shù)、|V|的解的個(gè)數(shù)均為2,

構(gòu)建新函數(shù)向利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得向|的

大小關(guān)系,根據(jù)存在直線(xiàn)后~~|與曲線(xiàn)國(guó)|、|區(qū)|有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得用的取

值,再根據(jù)兩類(lèi)方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.

【小問(wèn)1詳解】

|岡|的定義域?yàn)镽,而|岡|,

若耳I,則|岡|,此時(shí)無(wú)最小值,故日「

8(幻=奴一111%的定義域?yàn)?0,+8),而岡

當(dāng)|岡|時(shí),f'(x)<0,故/(x)在向~|上為減函數(shù),

當(dāng)[三]I時(shí),|JI,故/(X)在因一上為增函數(shù),

故|國(guó)一?

當(dāng)|岡卜,I囚I,故g(x)在回上為減函數(shù),

當(dāng)囚時(shí),ITII,故g(x)在(L+m]上為增函數(shù),

因?yàn)閨臼|和g(x)=Inx有相同的最小值,

故岡,整理得到可,其中國(guó)二],

故I叵]I的唯一解為百~I,故岡的解為向

綜上,I囚|.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可得|)[和|臼―|的最小值為區(qū)

當(dāng)可時(shí),考慮|口|的解的個(gè)數(shù)、|W|的解的個(gè)數(shù).

設(shè)同~S,(x)=ev-1,

當(dāng)x<0時(shí),[岡],當(dāng)x>0時(shí),岡.

故舊|在叵一|上為減函數(shù),在(。,物)上為增函數(shù),

所以S(xL=S(°)T2<°,

而岡,岡,

設(shè)I國(guó)1其中可,則回

故舊|在(L+0。)上為增函數(shù),故“(0)>"l)=e-2>0,

故國(guó)故|國(guó)一|有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即|岡|的解的個(gè)數(shù)為2.

設(shè)岡因,

當(dāng)I.I時(shí),|因"|,當(dāng)x>l時(shí),岡—I

故|因歸巨上為減函數(shù),在(1,轉(zhuǎn))上為增函數(shù),

所以T(x)“,=7(1)=1一。<0,

而國(guó)>S,

岡~|有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即|囚|的解的個(gè)數(shù)為2.

當(dāng)[可,由(1)討論可得r^jI、?也?僅有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)耳時(shí),由(1)討論可得?岡|、?口?均無(wú)零點(diǎn),

故若存在直線(xiàn)百~1與曲線(xiàn)舊一|、|叵]將三個(gè)不同的交點(diǎn),

則1目L

故|W|在(°,+8)上為增函數(shù),故I區(qū)"I即H

所以岡,所以/i(x)在(0,叱)上為增函數(shù),

7I司

而I回I,,

故〃(X)在(0,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)飛,岡且:

當(dāng)問(wèn)時(shí),[x]即e*-x<x-Inx即|因」,

當(dāng)|岡的,〃(%)>。即e、-x>x-Inx即回],

因此若存在直線(xiàn)|季|與曲線(xiàn)晅]、|團(tuán)|有三個(gè)不同交點(diǎn),

故|耳卜

此時(shí)I習(xí)]有兩個(gè)不同的零點(diǎn)|岡

此時(shí)|囚有兩個(gè)不同的零點(diǎn)|因],

故I岡]|岡:岡'岡

所以I叵I-I即I區(qū)]即S,

故I岡I為方程IwI的解,同理I岡I也為方程I岡]的解

又回I可化為國(guó)[即舊網(wǎng)岡

故包」為方程I囚I的解,同理回口也為方程I囚-|的解,

所以S,而向二I,

故,即I岡.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:函數(shù)的最值問(wèn)題,往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,此時(shí)注意對(duì)參

數(shù)的分類(lèi)討論,而不同方程的根的性質(zhì),注意利用方程的特征找到兩類(lèi)根之間的關(guān)系.

6.(2022?新高考II卷T22)已知函數(shù)|岡.

(1)當(dāng)國(guó)二|時(shí),討論/(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí),J7],求〃的取值范圍;

(3)設(shè)司,證明:岡

【答案】(I)/(x)的減區(qū)間為因,增區(qū)間為(0,+8).

(2)|岡|

(3)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求出舊],討論其符號(hào)后可得/(x)的單調(diào)性.

(2)設(shè)同卜求出|國(guó)先討論|時(shí)題設(shè)中的不等式不成立,再就

|因卜合放縮法討論可|符號(hào),最后就可1結(jié)合放縮法討論〃(x)的范圍后可得參數(shù)

的取值范圍.

(3)由(2)可得囚對(duì)任意的國(guó)}恒成立,從而可得因?qū)?/p>

任意的|.|恒成立,結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)國(guó)二I時(shí),|國(guó)一,則岡,

當(dāng)x<0時(shí),<0,當(dāng)x>0時(shí),同

故/(x)的減區(qū)間為叵I,增區(qū)間為(0,+8).

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)岡,則區(qū)I,

又岡,設(shè)岡,

貝憫,

若I岡J,則I國(guó)一

因?yàn)榫?為連續(xù)不間斷函數(shù),

故存在|國(guó)一|,使得|因總有g(shù)?x)>0,

故I國(guó)I在[百~~|為增函數(shù),故|國(guó)—I,

故〃(x)在場(chǎng)~~|為增函數(shù),故〃(尤)>〃(0)=-1,與題設(shè)矛盾.

若岡,則叵1

下證:對(duì)任意x>0,總有國(guó)成立,

證明:設(shè)S(x)=ln(l+x)-尤,故回

即岡成立.

由上述不等式有回

故0總成立,即〃(力在(0,+8)上為減函數(shù),

所以|國(guó).

當(dāng)I臼附,有旦>

所以網(wǎng)力在(0,+8)上為減函數(shù),所以〃(x)<〃(0)=-1.

綜上,

【小問(wèn)3詳解】

取岡

,則|岡I,總有岡成立,

令I(lǐng)岡],則區(qū)

故E即岡對(duì)任意意'成立.

所以對(duì)任意的

整理得到:a

111

故]—]-----1-~/=>In2-In1+In3-In2H---Fln(/i+l)-lnrt

Vl2+16+2冊(cè)

a

故不等式成立.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題,應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,注

意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明,應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)

不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.

7.(2022?北京卷T20).百知函數(shù)目________________

(1)求曲線(xiàn)|囚|在點(diǎn)|三]|處切線(xiàn)方程;

(2)設(shè)|臼],討論函數(shù)g(x)在國(guó)二|上的單調(diào)性:

(3)證明:對(duì)任意的|岡

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