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2022高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編
五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
一、選擇題
7171
1.(2022?全國(guó)甲(文T7)(理T5))函數(shù)舊|在區(qū)間一展,的圖象大致為
()
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令/(x)=(3,一37)cosx,xe一%,三,
則/(-x)=(3-x-3')cos=-3~x)cosx=-f(x),
所以/(x)為奇函數(shù),排除BD;
又當(dāng)岡時(shí),|岡所以f(x)>0,排除C.
故選:A.
2.(2022?全國(guó)甲(文T8)(理T6)).當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)/'(x)=alnx+2取得最大值一2,則
X
八2)=()
A.-1B.岡C.gD.I
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知/(1)=-2,/'(1)=0即可解得。力,再根據(jù)舊|即可解出.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(九)定義域?yàn)?0,+。),所以依題可知,/。)=-2,/'。)=0,而
/,(x)=-,所以8=_2,。_/?=0,即a=—2,Z?=_2,所以/'(x)=_2+±.,因
此函數(shù)/(x)在(0,1)上遞增,在(1,+8)上遞減,x=l時(shí)取最大值,滿(mǎn)足題意,即有
故選:B.
3.(2022?全國(guó)乙(文T8)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖像,則
該函數(shù)是()
—x+3x
A.C.岡D.
,二F
2sinx
【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)岡,則門(mén)r一故排除民
設(shè)〃(*)=等彳,當(dāng)國(guó)時(shí),
入I1
所以/2(力=好竺<3-41,故排除C;
7X+1X+1
、2sinxe小2sin3八
設(shè)g(x)=K'則8閉=?。尽?故排除D-
故選:A.
4.(2022?全國(guó)乙(理)T12)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且
若丁=g(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)耳對(duì)稱(chēng),
22
g⑵=4,則£/(&)=()
hl
A.-21B.-22C.-23D.-24
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和已知條件得到|國(guó)從而得到
因」|岡—然后根據(jù)條件得到
/(2)的值,再由題意得到g(3)=6從而得到|因|的值即可求解.
【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)耳]對(duì)稱(chēng),
所以g(2-x)=g(x+2),
因?yàn)間(x)―/(x-4)=7,所以|反]~即g(x+2)=7+/(x-2),
因?yàn)?(x)+g(2-幻=5,所以/(x)+g(x+2)=5,
代入得|國(guó)],即/(%)+/(%-2)=-2,
所以底廠一I,
/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.
因?yàn)?(x)+g(2—x)=5,所以|臼即|臼所以
/(2)=-2-/(0)=-3,
因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所為反]又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,
聯(lián)立得,|區(qū)|,
所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)|中心對(duì)稱(chēng),因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,
所以g⑶=6
因?yàn)?(x)+g(x+2)=5,所以|國(guó).
所以
22
J;/(A:)=/(l)+/(2)+[/(3)+/(5)+...+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+/(22)]=-l-3-10-10=-24
攵=1
故選:D
【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽,考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)
的轉(zhuǎn)化,然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
5.(2022?新高考I卷T10)己知函數(shù)Q,則()
A./(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)
C.點(diǎn)(0,1)是曲線(xiàn)舊|的對(duì)稱(chēng)中心D.I的切
線(xiàn)
【答案】AC
【解析】
【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合/a)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷
C;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題,r(x)=3d—l,令/'(x)>0得,甲J
令((幻<。得0
上單調(diào)遞減,在(-00,-多口上單調(diào)遞增,
所以/(X)在囚
所以是極值點(diǎn),故A正確;
因
所以,函數(shù)“X)在上有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)xN走時(shí),a
,即函數(shù)“X)在,+8上無(wú)零點(diǎn),
37
綜上所述,函數(shù)/*)有一個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò)誤;
令=一X,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h{-x)=(-X)3-(-X)=-x3+x=-//(x),
則〃(x)是奇函數(shù),(0,0)是〃(x)的對(duì)稱(chēng)中心,
將〃(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到/(x)的圖象,
所以點(diǎn)(0,1)是曲線(xiàn)|w|的對(duì)稱(chēng)中心,故C正確;
令/'(彳)=3/-1=2,可得x=±l,又/(D=/(-1)=1,
當(dāng)切點(diǎn)為(U)時(shí),切線(xiàn)方程為r^j當(dāng)切點(diǎn)為?岡?時(shí),切線(xiàn)方程為y=2x+3,
故D錯(cuò)誤.
故選:AC
6.(2022?新高考I卷T12)已知函數(shù)/5)及其導(dǎo)函數(shù)|的定義域均為R,記
臼若/(]一2*),|同|均為偶函數(shù),則()
A./(0)=0B.g[-;]=0C.||D.
【答案】BC
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)
逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】因?yàn)?|口|均為偶函數(shù),
所以岡即岡,|臼,「
所以〃3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則〃-1)"(4),故C正確;
函數(shù)/(x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線(xiàn)岡對(duì)稱(chēng),
又|因且函數(shù)/(x)可導(dǎo),
所以囚,
所以[x|,所以國(guó),
所以岡,|國(guó)|,故B正確,D錯(cuò)誤;
若函數(shù)fW滿(mǎn)足題設(shè)條件,則函數(shù)|岡|(C為常數(shù))也滿(mǎn)足題設(shè)條件,所以無(wú)法確定fM
的函數(shù)值,故A錯(cuò)誤.
故選:BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì),準(zhǔn)確把握原函數(shù)
與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系,準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時(shí)結(jié)合圖象)即可得解.
7.(2022?新高考n卷T8)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且
22
/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則£/(%)=()
k=T
A.-3B.-2C.0D.1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的
國(guó)|的值,即可解出.
【詳解】因?yàn)椤▁+y)+〃x—y)=/(x)/(y),令后I可得,舊
所以|因令|囚|可得,|岡即|因—所以函數(shù)/(同
為偶函數(shù),令|問(wèn)|得,,/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有
岡,從而可知岡,岡?
故但即同所以函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6?
因?yàn)閷?,岡?/p>
/(4)=/(-2)=/(2)=-1,|國(guó)|岡所以
一個(gè)周期內(nèi)的回]由于22除以6余4,
所以岡
故選:A.
/(x)=-------
8.,2022?北京卷T4)、知函數(shù)]+21則對(duì)任意當(dāng)數(shù)居有()
A.|」—一|B.|臼一
c.I臼----D.岡
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入計(jì)算,注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.
【詳解】a,故A錯(cuò)誤,C正確;
可
,不是常數(shù),故BD
錯(cuò)誤;
故選:C.
9.(2022?北京卷T7)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶'’使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨
界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)
與T和巨|的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正
確的是()
A.當(dāng)值|習(xí)I時(shí),二氧化碳處于液態(tài)
B.當(dāng)|w|目|時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)
C.當(dāng)|岡|囚時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D.當(dāng)臼7時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)T與直|的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)國(guó)二],臼|時(shí),也尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),故A錯(cuò)誤.
當(dāng)I,|,|W|時(shí),|團(tuán)|,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài),故B錯(cuò)誤.
當(dāng)|囚I,I目I時(shí),㈤與4非常接近,故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),
另一方面,|可|時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài),故C錯(cuò)誤.
當(dāng)|岡I,I岡I時(shí),因|岡|,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài),故D正確.
故選:D
10.(2022?浙江卷T7)已知g.則I岡I()
A.25B.5C.時(shí)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化,塞的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.
【詳解】因?yàn)閨國(guó)可,即|,所以
0
故選:c.
二、填空題
1.(2022?全國(guó)乙(文T16)若因是奇函數(shù),則。=,b=
【答案】①.岡;In2.
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)槠婧瘮?shù),所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
由。+」一。0可得,[g―I,所以囚,解得:
1-x--------------------------I
數(shù)的定義域?yàn)椋塾稍儆蒊可得,|管即
/(x)=In—:+「一+In2=In手,在定義域內(nèi)滿(mǎn)足國(guó)I,符合題意.
故答案為:岡;ln2.
2.(2022?全國(guó)乙(理)T16)已知閆|和「工分別是函數(shù)回|(臼I且岡I)
的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若|田則。的取值范圍是.
—(1-
【答案】-J
leJ
【解析】
【分析】由4電分別是函數(shù)/(x)=2a’-ef的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),可得
國(guó)1時(shí),f\x)<Q,舊|時(shí),f(x)>0,再分可和0<”1
兩種情況討論,方程|可|的兩個(gè)根為x”x”即函數(shù)|岡與函數(shù)
國(guó)二]的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)|岡根據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義結(jié)合圖
象即可得出答案.
[詳解]解:叵I,
2
因?yàn)閤?x2分別是函數(shù)/(x)=2a'-ex的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),
所以函數(shù)/⑺在舊卜后|上遞減,在舊|上遞增,
所以當(dāng)舊|時(shí),/'(x)<0,當(dāng)何|時(shí),/'(%)>0,
若a>]時(shí),
當(dāng)x<0時(shí),|岡
則此時(shí)r(x)>o,與前面矛盾,
故不符合題意,
設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)因的圖象相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為區(qū)
則切線(xiàn)的斜率為區(qū)
故切線(xiàn)方程為|~f1一
2v<)
則有-lna-a*=-xolna-a,
所以|臼,解得I
又Ovavl,所以
綜上所述,〃的范圍為
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題,考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討
論思想,有一定的難度.
3.(2022?新高考I卷T15)若曲線(xiàn)|岡|有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn),則。的取值范圍
是.
[答案]舊—-
【解析】
【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)/,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)方程,根據(jù)切線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到
關(guān)于X。的方程,根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求得。的取值范圍.
[詳解]1區(qū)],:.\a|,
設(shè)切點(diǎn)為I叵]],則I區(qū)切線(xiàn)斜率I叵]
切線(xiàn)方程為:|國(guó)
?.?切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),g,
整理得:|岡
V切線(xiàn)有兩條,????=a2+4a>0,解得|岡條三f"l
?的取值范圍是[百一,
故答案為:叵]
4.(2022?新高考II卷T14)寫(xiě)出曲線(xiàn)|岡|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程:,
【答案】①.B(2).|岡|
【解析】
【分析】分x>0和x<0兩種情況,當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為舊],求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù),
即可求出切線(xiàn)的斜率,從而表示出切線(xiàn)方程,再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出%,即可求出切線(xiàn)
方程,當(dāng)x<0時(shí)同理可得;
【詳解】解:因?yàn)閨國(guó)卜
當(dāng)尤>。時(shí)而I,設(shè)切點(diǎn)為舊―|,由|岡所以岡,所以切線(xiàn)方程為
又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以岡,解得|兇所以切線(xiàn)方程為岡
即尸J;
當(dāng)x<0時(shí)國(guó)一設(shè)切點(diǎn)為|區(qū)]由|岡J所以岡,所以切線(xiàn)
方程為岡,
又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以因,解得|囚所以切線(xiàn)方程為
a
5.(2022?北京卷T11)里數(shù)I_________________I的定義域是_________.
[答案]同
【解析】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組,解得即可;
【詳解】解:因?yàn)榍?,所以因,解得XW1且X。。,
故函數(shù)的定義域?yàn)閲?guó)
故答案為:國(guó)——
a
6.(2022?北京卷T14)設(shè)函數(shù)I_______________________I若/“)存在最小值,則”的一個(gè)取
值為;a的最大值為.
【答案】①0(答案不唯一)②.1
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)「W|的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論,可知,國(guó)二|符合條件,
1不符合條件,時(shí)函數(shù)目|沒(méi)有最小值,故/(X)的最小值只能取|臼一
的最小值,根據(jù)定義域討論可知|岡]或|國(guó)解得|囚.
【詳解】解:若向二|時(shí),岡,I岡
若I叼I時(shí),當(dāng)x<a時(shí),|回單調(diào)遞增,當(dāng)與二|時(shí),|弘|,故fa)沒(méi)
有最小值,不符合題目要求;
若目二I時(shí),
當(dāng)x<a時(shí),|于]單調(diào)遞減,/(x)>/(a)=-?2+l,
當(dāng)x>a時(shí),岡
???|V|或|71-I,
解得I岡I,
練上可得I;
故答案為:o(答案不唯一),1
7.(2022?浙江卷T14)已知函數(shù)-則M?;若當(dāng)
臼|時(shí),臼則Z?_a的最大值是.
【答案】①.②.3+6閘岡
2o
【解析】
【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值,由條件求出。的最小值,。的最大值即可.
【詳解】由已知/(,)=—口■)+2=-,因,
所以因,
當(dāng)時(shí),由I臼I可得I岡|,所以I岡|,
當(dāng)x>l時(shí),由I區(qū)可得岡,所以1cxW2+JL
等價(jià)于g,所以區(qū)
所以匕一。的最大值為3+6-
37
故答案為:,3+A/3-
三、解答題
1.(2022?全國(guó)甲(文)T20)已知函數(shù)/。)=%3一%送(%)=/+4,曲線(xiàn)|岡|在點(diǎn)
(X"(芭))處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=g(x)的切線(xiàn).
(1)若|因卜求。;
(2)求。的取值范圍.
【答案】(1)3(2)國(guó)
【解析】
【分析】(1)先由/(X)上的切點(diǎn)求出切線(xiàn)方程,設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo),由斜率求出切點(diǎn)
坐標(biāo),再由函數(shù)值求出“即可;
(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo),分別由f(x)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線(xiàn)方程,由切線(xiàn)重合表示
出。,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)求出函數(shù)值域,即可求得〃的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知,|岡|,|岡—|岡則|岡|在點(diǎn)
|因[處的切線(xiàn)方程為岡一|,
即|臼設(shè)該切線(xiàn)與g(x)切于點(diǎn)|區(qū)]|岡I,則|岡~|,解
得|岡],則|年解得耳]:
【小問(wèn)2詳解】
岡則|岡|在點(diǎn)]臼|處的切線(xiàn)方程為
0,整理得0,
設(shè)該切線(xiàn)與g(x)切于點(diǎn)|回|,|,則|岡|,則切線(xiàn)方程為
+a)=2%2(%一%2),整理得y=2X2X-X1+a,
[xl[x]
則I,整理得
令岡,則舊令應(yīng)
解得口或X>1,
,解得|岡|或目I,則x變化時(shí),
令向的變化情況如下表:
O□
X00(0,1)1(1,+°0)
同—0+0—0+
0
a
h(x)/-1/
2.(2022?全國(guó)甲(理)T21)已知函數(shù)0
(1)若f(x)*0,求a的取值范圍;
(2)證明:若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)%,々,則環(huán)回.
【答案】(1)|臼
(2)證明見(jiàn)的解析
【解析】
【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值,即可得解;
(2)利用分析法,轉(zhuǎn)化要證明條件為司,再利用導(dǎo)數(shù)即
可得證.
【小問(wèn)1詳解】
/⑴的定義域?yàn)椋?,+8),
件a
令I(lǐng)岡I,得X=1
當(dāng)xe(0,1),/'(X)<0,/(x)單調(diào)遞減
當(dāng)|岡|單調(diào)遞增|.
若I狂I廁同I,即同I
所以“的取值范圍為I.
【小問(wèn)2詳解】
由題知,/(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1
不妨設(shè)岡
,即證|囚|
要證岡
即證a
即證a
回
下面證明X>1時(shí),
所以,所以
所以g(x)在I.I單調(diào)遞增
岡
即國(guó),所以
所以〃(x)在I田I單調(diào)遞減
即向
綜上,,所以回
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法,構(gòu)造函數(shù)證明不等
式
這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn),需要掌握
3.(2022?全國(guó)乙(文)T20)已知函數(shù)回.
(1)當(dāng)|叼I時(shí),求/")的最大值;
(2)若〃x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
【答案】(1)-1
(2)(0,4-oo)
【解析】
【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得解;
(2)求導(dǎo)得岡,按照耳|、0<。<1及。>1結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單
調(diào)性,求得函數(shù)的極值,即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)耳J時(shí),岡,則廣(力=2一/=爰,
當(dāng)|岡|時(shí),同“X)單調(diào)遞增;
當(dāng)向|時(shí),/(x)單調(diào)遞減;
所以|國(guó)卜
【小問(wèn)2詳解】
百I(mǎi),則因,
當(dāng)目1時(shí),IV]I,所以當(dāng)舊|時(shí),同卜/(X)單調(diào)遞增;
當(dāng)回I時(shí),/4》)<。,/(X)單調(diào)遞減;
所以同L此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn),不合題意;
當(dāng)0<4<1時(shí),]岡)在岡上,[g/(x)單調(diào)遞增;
/(x)單調(diào)遞減;
又|臼],當(dāng)X趨近正無(wú)窮大時(shí),“X)趨近于正無(wú)窮大,
所以/(x)僅在、,+=0)有唯一零點(diǎn),符合題意;
當(dāng)目二I時(shí),乂,所以“X)單調(diào)遞增,又國(guó)
所以/(X)有唯一零點(diǎn),符合題意;
當(dāng)a>1時(shí)/(X)單調(diào)遞增;
所以/(X)有唯一零點(diǎn),符合題意;
綜上,a的取值范圍為(0,+8).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性,把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)
題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.
4.(2022?全國(guó)乙(理)T21)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+axe7
(1)當(dāng)國(guó)二|時(shí),求曲線(xiàn)|岡]在點(diǎn)|叵]]處的切線(xiàn)方程;
(2)若“X)在區(qū)間國(guó)忸恰有一個(gè)零點(diǎn),求〃的取值范圍.
【答案】(1)|岡
(2)|臼
【解析】
【分析】(1)先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可
(2)求導(dǎo),對(duì)4分類(lèi)討論,對(duì)X分后一I兩部分研究
【小問(wèn)1詳解】
/5)的定義域?yàn)槎鴟
當(dāng)目1時(shí),岡,所以切點(diǎn)為(0,0)
岡,所以切線(xiàn)斜率為2
所以曲線(xiàn)|囚|在點(diǎn)|7]|處的切線(xiàn)方程為后二
【小問(wèn)2詳解】
0
0
設(shè)|國(guó)
用|工I,當(dāng)尤G(TO),g(x)=ev+a(l-f)>。,即目
所以在|又]|上單調(diào)遞增,目
n商囚L當(dāng)?丘I,則回
所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以|遇即兇
所以/(X)在(0,+00)上單調(diào)遞增,同
故fM在(0,-KO)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意
由耳1
⑴當(dāng)|囚~(yú)|,則I網(wǎng)所以g(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞增
當(dāng)向一一
所以/(X)在IVI上有唯一零點(diǎn)
又|回I沒(méi)有零點(diǎn),即fM在(0,+oo)上有唯一零點(diǎn)
設(shè)岡
"(x)=e'-2a>0
所以可在|岡]單調(diào)遞增
a
所以存在|臼使得|臼
當(dāng)I岡|單調(diào)遞減
當(dāng)xe(〃,O),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增且__________________
又g(-l)」>0
e
所以存在I國(guó)使得I扇網(wǎng)向I
當(dāng)|后]單調(diào)遞增,當(dāng)「臼I單調(diào)遞減
有回—___________
而/(。)=(),所以當(dāng)I臼
所以/(X)在|上有唯一零點(diǎn)J岡I上無(wú)零點(diǎn)
即/(X)在目二I上有唯一零點(diǎn)
所以耳H,符合題意
所以若所X)在區(qū)間而-I各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍為巨
y
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是對(duì)“的范圍進(jìn)行合理分類(lèi),否定和肯定并用,否定只需要
說(shuō)明一邊不滿(mǎn)足即可,肯定要兩方面都說(shuō)明.
5.(2022?新高考I卷T22)已知函數(shù)/(x)=e*-ox和g(x)="-lnx有相同最小值.
(1)求a;
(2)證明:存在直線(xiàn)百二其與兩條曲線(xiàn)國(guó)二]#y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并
且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
【答案】(1)臼|
(2)見(jiàn)解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性,從而可得相應(yīng)的最小值,根據(jù)最小值相等可求
。注意分類(lèi)討論.
(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)印時(shí),|的解的個(gè)數(shù)、|V|的解的個(gè)數(shù)均為2,
構(gòu)建新函數(shù)向利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得向|的
大小關(guān)系,根據(jù)存在直線(xiàn)后~~|與曲線(xiàn)國(guó)|、|區(qū)|有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得用的取
值,再根據(jù)兩類(lèi)方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.
【小問(wèn)1詳解】
|岡|的定義域?yàn)镽,而|岡|,
若耳I,則|岡|,此時(shí)無(wú)最小值,故日「
8(幻=奴一111%的定義域?yàn)?0,+8),而岡
當(dāng)|岡|時(shí),f'(x)<0,故/(x)在向~|上為減函數(shù),
當(dāng)[三]I時(shí),|JI,故/(X)在因一上為增函數(shù),
故|國(guó)一?
當(dāng)|岡卜,I囚I,故g(x)在回上為減函數(shù),
當(dāng)囚時(shí),ITII,故g(x)在(L+m]上為增函數(shù),
因?yàn)閨臼|和g(x)=Inx有相同的最小值,
故岡,整理得到可,其中國(guó)二],
故I叵]I的唯一解為百~I,故岡的解為向
綜上,I囚|.
【小問(wèn)2詳解】
由(1)可得|)[和|臼―|的最小值為區(qū)
當(dāng)可時(shí),考慮|口|的解的個(gè)數(shù)、|W|的解的個(gè)數(shù).
設(shè)同~S,(x)=ev-1,
當(dāng)x<0時(shí),[岡],當(dāng)x>0時(shí),岡.
故舊|在叵一|上為減函數(shù),在(。,物)上為增函數(shù),
所以S(xL=S(°)T2<°,
而岡,岡,
設(shè)I國(guó)1其中可,則回
故舊|在(L+0。)上為增函數(shù),故“(0)>"l)=e-2>0,
故國(guó)故|國(guó)一|有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即|岡|的解的個(gè)數(shù)為2.
設(shè)岡因,
當(dāng)I.I時(shí),|因"|,當(dāng)x>l時(shí),岡—I
故|因歸巨上為減函數(shù),在(1,轉(zhuǎn))上為增函數(shù),
所以T(x)“,=7(1)=1一。<0,
而國(guó)>S,
岡~|有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即|囚|的解的個(gè)數(shù)為2.
當(dāng)[可,由(1)討論可得r^jI、?也?僅有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)耳時(shí),由(1)討論可得?岡|、?口?均無(wú)零點(diǎn),
故若存在直線(xiàn)百~1與曲線(xiàn)舊一|、|叵]將三個(gè)不同的交點(diǎn),
則1目L
故|W|在(°,+8)上為增函數(shù),故I區(qū)"I即H
所以岡,所以/i(x)在(0,叱)上為增函數(shù),
7I司
而I回I,,
故〃(X)在(0,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)飛,岡且:
當(dāng)問(wèn)時(shí),[x]即e*-x<x-Inx即|因」,
當(dāng)|岡的,〃(%)>。即e、-x>x-Inx即回],
因此若存在直線(xiàn)|季|與曲線(xiàn)晅]、|團(tuán)|有三個(gè)不同交點(diǎn),
故|耳卜
此時(shí)I習(xí)]有兩個(gè)不同的零點(diǎn)|岡
此時(shí)|囚有兩個(gè)不同的零點(diǎn)|因],
故I岡]|岡:岡'岡
所以I叵I-I即I區(qū)]即S,
故I岡I為方程IwI的解,同理I岡I也為方程I岡]的解
又回I可化為國(guó)[即舊網(wǎng)岡
故包」為方程I囚I的解,同理回口也為方程I囚-|的解,
所以S,而向二I,
故,即I岡.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:函數(shù)的最值問(wèn)題,往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,此時(shí)注意對(duì)參
數(shù)的分類(lèi)討論,而不同方程的根的性質(zhì),注意利用方程的特征找到兩類(lèi)根之間的關(guān)系.
6.(2022?新高考II卷T22)已知函數(shù)|岡.
(1)當(dāng)國(guó)二|時(shí),討論/(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x>0時(shí),J7],求〃的取值范圍;
(3)設(shè)司,證明:岡
【答案】(I)/(x)的減區(qū)間為因,增區(qū)間為(0,+8).
(2)|岡|
(3)見(jiàn)解析
【解析】
【分析】(1)求出舊],討論其符號(hào)后可得/(x)的單調(diào)性.
(2)設(shè)同卜求出|國(guó)先討論|時(shí)題設(shè)中的不等式不成立,再就
|因卜合放縮法討論可|符號(hào),最后就可1結(jié)合放縮法討論〃(x)的范圍后可得參數(shù)
的取值范圍.
(3)由(2)可得囚對(duì)任意的國(guó)}恒成立,從而可得因?qū)?/p>
任意的|.|恒成立,結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)國(guó)二I時(shí),|國(guó)一,則岡,
當(dāng)x<0時(shí),<0,當(dāng)x>0時(shí),同
故/(x)的減區(qū)間為叵I,增區(qū)間為(0,+8).
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)岡,則區(qū)I,
又岡,設(shè)岡,
貝憫,
若I岡J,則I國(guó)一
因?yàn)榫?為連續(xù)不間斷函數(shù),
故存在|國(guó)一|,使得|因總有g(shù)?x)>0,
故I國(guó)I在[百~~|為增函數(shù),故|國(guó)—I,
故〃(x)在場(chǎng)~~|為增函數(shù),故〃(尤)>〃(0)=-1,與題設(shè)矛盾.
若岡,則叵1
下證:對(duì)任意x>0,總有國(guó)成立,
證明:設(shè)S(x)=ln(l+x)-尤,故回
即岡成立.
由上述不等式有回
故0總成立,即〃(力在(0,+8)上為減函數(shù),
所以|國(guó).
當(dāng)I臼附,有旦>
所以網(wǎng)力在(0,+8)上為減函數(shù),所以〃(x)<〃(0)=-1.
綜上,
【小問(wèn)3詳解】
取岡
,則|岡I,總有岡成立,
令I(lǐng)岡],則區(qū)
故E即岡對(duì)任意意'成立.
所以對(duì)任意的
整理得到:a
111
故]—]-----1-~/=>In2-In1+In3-In2H---Fln(/i+l)-lnrt
Vl2+16+2冊(cè)
a
故不等式成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題,應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,注
意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明,應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)
不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.
7.(2022?北京卷T20).百知函數(shù)目________________
(1)求曲線(xiàn)|囚|在點(diǎn)|三]|處切線(xiàn)方程;
(2)設(shè)|臼],討論函數(shù)g(x)在國(guó)二|上的單調(diào)性:
(3)證明:對(duì)任意的|岡
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