教案橢圓的簡單幾何性質(zhì)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，焦點在x軸上焦點在y軸上教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)１、范圍對于橢圓：（a>b>0)為例由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式≤1,即x2≤a2,y2≤b2，

∴∣x∣≤a,∣y∣≤b.≤1,教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)x這說明橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里。oy教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)

在橢圓上，任取一點(x,y),其關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點對稱的點仍在橢圓上。所以橢圓關(guān)于x軸、

y軸和坐標(biāo)原點都是對稱的。xo(x,y)(x,﹣y)(﹣x,y)(﹣x,﹣y)y

２、對稱性

其中坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)從圖形上看:橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點對稱.從方程上看：(1)把x換成-x方程不變,圖象關(guān)于y軸對稱;(2)把y換成-y方程不變,圖象關(guān)于x軸對稱;(3)把x換成-x，同時把y換成-y方程不

變，圖象關(guān)于原點成中心對稱。教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)２、對稱性３、頂點

在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，令x=0,得y=±b.即Ｂ1(0,﹣b)、Ｂ2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點．令y=0,得x=±a,即Ａ1(﹣a,0)、A2(a,0)橢圓與x軸的兩個交點．

即橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點．線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長教學(xué)過程xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)y

橢圓的簡單幾何性質(zhì)離心率:橢圓的焦距與長軸長的比:0<e<11)e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁

2)e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓[3]e與a,b的關(guān)系:4.離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對橢圓形狀的影響:教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)圖象方程性質(zhì)范圍頂點離心率F1F2xyF1F2xy對稱性︱x︱≤a︱y︱≤b關(guān)于x軸、y軸、都對稱﹙±a,0﹚﹙0,±b﹚︱y︱≤a︱x︱≤b坐標(biāo)原點關(guān)于x軸、y軸、都對稱坐標(biāo)原點﹙0,±a﹚﹙±b,0﹚﹙a﹥b﹥0﹚﹙a﹥b﹥0﹚e=e=準(zhǔn)線教學(xué)過程例1：求橢圓9x2+y2=100的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo).教學(xué)過程

橢圓的簡單幾何性質(zhì)例2：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)經(jīng)過點P(﹣3,0)、Q(0,﹣2);(2)長軸的長等于20，離心率等于0.6

歸納小結(jié)強化記憶教學(xué)過程學(xué)生思考總結(jié)回答橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？橢圓有哪些幾何性質(zhì)？橢圓部分的典型習(xí)題你能獨立解決了嗎？橢圓的簡單幾何性質(zhì)(2)圖象方程性質(zhì)范圍頂點離心率F1F2xyF1F2xy對稱性︱x︱≤a︱y︱≤b關(guān)于x軸、y軸、都對稱﹙±a,0﹚﹙0,±b﹚︱y︱≤a︱x︱≤b坐標(biāo)原點關(guān)于x軸、y軸、都對稱坐標(biāo)原點﹙0,±a﹚﹙±b,0﹚﹙a﹥b﹥0﹚﹙a﹥b﹥0﹚e=e=準(zhǔn)線教學(xué)過程例5如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上,由橢圓一個焦點F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.yF2F1xoBCA例5如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上,由橢圓一個焦點F1出發(fā)的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為yF2F1xoBCA所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。FlxoyMHd變式、點M（x,y)與定點F（c,0)的距離和它到定直線l:x=a2/c的距離的比是常數(shù)c/a（a>c>0),求點M的軌跡。yFF’lI’xoP={M|}由此得將上式兩邊平方，并化簡，得設(shè)a2-c2=b2,就可化成這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點M的軌跡是長軸、短軸分別為2a,2b的橢圓M解：設(shè)d是M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合FF’lI’xoy

由變式可知，當(dāng)點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡就是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。此為橢圓的第二定義.

對于橢圓，相應(yīng)于焦點F（c,0)準(zhǔn)線方程是,根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點F‘(-c.0)準(zhǔn)線方程是,所以橢圓有兩條準(zhǔn)線。由橢圓的第二定義可得到橢圓的幾何性質(zhì)如下：設(shè)P(x0,y0)是橢圓上的一點,F1(c,0),

F2(c,0)分別是橢圓的左焦點、右焦點,我們把線段PF1,PF2的長分別叫做橢圓的左焦半徑、右焦半徑.

該公式的記憶方法為‘‘左加右減”，即在a與ex0之間，如果是左焦半徑則用加號“+’’連接，如果是右焦半徑用“－”號連接．焦半徑公式①焦點在x軸上時：│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；②焦點在y軸上時：

│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。課堂練習(xí)1、橢圓上一點到準(zhǔn)線與到焦點（-2，0）的距離的比是（）B2、橢圓的兩焦點把兩準(zhǔn)線間的距離三等分，則這個橢圓的離心率是()C3.若一個橢圓的離心率e=1/2,準(zhǔn)線方程是x=4,對應(yīng)的焦點F（2，0），則橢圓的方程是____________3x2-8x+4y2=0例7.解：變式:1.已知點M到定點F的距離與M到定直線l的距離的比為0.8,則動點M的軌跡是()A.圓B.橢圓C.直線D.無法確定B2.設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的長軸長是短軸長的4倍，且橢圓過點，求P點到左焦點和右準(zhǔn)線的距離之比。小結(jié)

1.橢圓的第二定義

2.焦半徑：①焦點在x軸上時：│PF1│=a+ex0，│PF2│=a-ex0；②焦點在y軸上時：

│PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系種類:相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點)

直線與橢圓的位置關(guān)系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程組：<0方程組無解相離無交點=0方程組有一解相切一個交點>0相交方程組有兩解兩個交點代數(shù)方法=n2-4mp例1：直線y=kx+1與橢圓恒有公共點,求m的取值范圍。lmm例5已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為F，(1)求過點F且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點A(1,1)與橢圓的位置關(guān)系,并求以A為中點橢圓的弦所在的直線方程.引申:當(dāng)點P與兩焦點連線成鈍角時,求P點的橫坐標(biāo)的取值范圍.例6：求橢圓上一點P,使得點P與橢圓兩焦點連線互相垂直.【練習(xí)】(a＞b＞0)上一點，是兩個焦點，半焦距為c，則的最大值與最小值之差一定是（）.A.1B.C.D.xOyPFQDBA(a＞b＞0)，F(xiàn)為焦點，A為頂點，準(zhǔn)線l交x軸于B，P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則橢圓（）A.1個B.3個C.4個D.5個DD２、弦長公式：設(shè)直線l與橢圓C相交于A(x1