考點07 二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關系-解析版

考點07二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關系1拋物線與x軸的交點情況的分析二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）1.拋物線與x軸的交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的函數(shù)值為，求自變量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2①有兩個交點?Δ>0?拋物線與②有一個交點（頂點在x軸上）?Δ=0?拋物線與③沒有交點?Δ<0?拋物線與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根關系：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的公共點的個數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況b2-4ac>0有兩個有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac=0有一個有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac<0沒有公共點沒有實數(shù)根2拋物線與y軸的交點情況圖像與y軸的交點即是x＝0的情況求y的值，也就是c的值。3已知函數(shù)值求自變量的值只需要將對應的函數(shù)值的值帶入函數(shù)解析式即可求出自變量的值4根據(jù)圖像確定方程根的情況二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫坐標即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。5圖像法確定一元二次方程的近似根圖像與x軸的交點縱坐標為0，在這個點的左右的點的縱坐標的值必然是一正一負，根據(jù)條件，離這個交點的最近的左右兩個點的橫坐標即是對應的方程的近似值。6二次函數(shù)與不等式（組）1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函數(shù)圖像圖象求解2.兩個函數(shù)的值的大小比較，上方圖象的函數(shù)值大于下方圖象的函數(shù)值.考點1拋物線與x軸的交點考點2拋物線與y軸的交點情況考點3已知函數(shù)值求自變量的值考點4根據(jù)圖像確定方程根的情況考點5圖像法確定一元二次方程的近似根考點6二次函數(shù)與不等式（組）考點7根據(jù)不等式確定自變量或函數(shù)值的范圍考點8求x軸與拋物線交點的截線長考點1拋物線與x軸的交點1．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知拋物線與x軸只有一個交點，則m的值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用判別式的意義得到，然后解關于的方程即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸只有一個交點，∴有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得．故選A．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．決定拋物線與軸的交點個數(shù)．2．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖是二次函數(shù)（，a，b，c為常數(shù)）的部分圖象，該圖象的對稱軸是直線，與軸的一個交點的坐標是，則方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的對稱性可知拋物線與x軸的兩個交點坐標關于對稱軸對稱，進一步可求出另一交點，在根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標為方程的兩個根，即可解答．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點是，設另一個交點為：，即有：，解得：，拋物線與x軸的另一個交點是，方程的兩根是，．故答案為：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性及二次函數(shù)與一元二次方程的性質，結合圖象掌握函數(shù)的性質是解題的關鍵．3．（2023秋·廣東湛江·九年級校考期末）拋物線與軸交點的坐標為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】通過解方程即可得到拋物線與軸交點的坐標．【詳解】解：當時，，解得：，，拋物線與軸交點的坐標為，，故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，解題的關鍵是求拋物線與軸交點的坐標問題轉化成解關于的一元二次方程．4．（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）已知關于x的二次函數(shù)的與x軸的交點坐標是和，其中a，b，c，d均為常數(shù)，則關于x的二次函數(shù)與x軸的交點坐標是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】將化為一般式，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，，將化為一般式，可得，，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的與x軸的交點坐標是和，∴方程的兩個根分別為c、d，∴，，∴∵，設方程的兩根為，，∴，，∴，分別為a、b，∴該函數(shù)與x軸的交點坐標和，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)與x軸的交點橫坐標即為對應方程的根，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系．考點2拋物線與y軸的交點情況5．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）拋物線與軸的交點坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，得出，即可求解．【詳解】解：令，得出，∴拋物線與軸的交點坐標是，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點問題，令是解題的關鍵．6．（2022秋·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知函數(shù)（其中是常數(shù)）的圖象與軸交于正半軸，則可能是（）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解析式求出拋物線與軸的交點，再根據(jù)圖象與軸交點在軸正半軸即可判斷．【詳解】解：令，則，拋物線與軸的交點為，函數(shù)（其中是常數(shù)）的圖象與軸交于正半軸，，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是掌握二次函數(shù)的性質．7．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)的圖象不經過第二象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】由于二次函數(shù)的圖象不經過第二象限，根據(jù)二次項系數(shù)知道拋物線開口向下，由此可以得出關于b的不等式（組），解不等式（組）即可求解．【詳解】解：由題意得或，解得或，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和系數(shù)的關系，二次函數(shù)與不等式的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，抓住對稱軸、函數(shù)與y軸的交點的特點是解題的關鍵．8．（2022春·九年級課時練習）二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，則的面積為(

)A．6 B．4 C．3 D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意，令分別等于0，求得的坐標，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，在中，當時，解得：當時，，即，∴故的面積為：．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，求得的坐標是解題的關鍵．考點3已知函數(shù)值求自變量的值9．（2022秋·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)圖象經過點，且圖象對稱軸為直線，則方程的解為（

）A． B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性結合題意，可知該二次函數(shù)的圖象必經過點(3，-1)，即可直接得出的解為，．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象經過點(1，-1)，且圖象對稱軸為直線x=2，∴該二次函數(shù)的圖象必經過點(3，-1)．∴的解為，．故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的對稱性，一元二次方程和二次函數(shù)的關系．根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性求出該二次函數(shù)必經過的另一個點的坐標是解答本題的關鍵．10．（2020·湖北武漢·?？寄M預測）二次函數(shù)y＝x2+bx的對稱軸為x＝1．若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣3＜x＜3的范圍內有解，則t的取值范圍是（）A．﹣1≤t＜15 B．3≤t＜15 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜15【答案】A【分析】先根據(jù)拋物線的對稱軸求出b的值，從而可得二次函數(shù)的解析式和頂點坐標，進一步即可求出當x＝﹣3和x＝3時的函數(shù)值，再根據(jù)x2+bx﹣t＝0的解為y＝x2+bx與直線y＝t在﹣3＜x＜3的內的交點橫坐標和二次函數(shù)的性質解答即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為x＝1，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x，∴其頂點坐標為（1，﹣1）．當x＝﹣3時，y＝9+6＝15，x＝3時，y＝9﹣6＝3．∵拋物線的開口向上，∴當時，，當時，，∵x2+bx﹣t＝0的解為y＝x2+bx與直線y＝t在﹣3＜x＜3的內的交點橫坐標，∴當﹣1≤t＜15時，一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣3＜x＜3的范圍內有解．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質和二次函數(shù)與一元二次方程的關系，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數(shù)的性質、將方程解的問題轉化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵．11．（2023秋·浙江·九年級專題練習）二次函數(shù)y＝x2+2x﹣7的函數(shù)值是8，那么對應的x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5【答案】D【分析】根據(jù)題意，把函數(shù)的值代入函數(shù)表達式，然后解關于x的方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得x2+2x﹣7＝8，即x2+2x﹣15＝0，解得x＝3或﹣5，故選D．【點睛】本題考查關鍵將二次函數(shù)轉化為求一元二次方程，再進行求解．12．（2021秋·廣西柳州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+6與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y＝2x2于B、C兩點，則BC的長為（）A． B． C．2 D．2【答案】D【詳解】∵拋物線y=ax2+6與y軸交于點A，∴A（0，6），∵當y=6時，2x2=6，∴x=，∴B點坐標（-，6），C點坐標（，6），∴BC=-（-）=2，故選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩函數(shù)交點坐標的求法，平行于x軸的直線上兩點間的距離等，解題的關鍵是先確定出點A的坐標.考點4根據(jù)圖像確定方程根的情況13．（2022秋·廣西賀州·九年級校考期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖象可知，，，，，則，然后對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由圖象可知，，，，，∴，∴A、C、D正確，故不符合要求；B錯誤，故符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與一元二次方程．解題的關鍵在于從圖象中獲取正確的信息．14．（2023·四川成都·校考三模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于和原點，且頂點在第二象限．下列說法正確的是（

）A． B．當時，的值隨值的增大而減小C． D．函數(shù)值有最小值【答案】B【分析】采用數(shù)形結合的方法解題，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷、、的符號，把兩根關系與拋物線與軸的交點情況結合起來分析問題．【詳解】解：拋物線的開口方向下，．故A錯誤；二次函數(shù)的圖象與軸交于和原點，且頂點在第二象限，對稱軸，當時，的值隨值的增大而減小，故B正確；的圖象與軸有兩個交點，，故C不正確；，對稱軸，時，函數(shù)值有最大值，故D不正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的增減性，對稱性，根據(jù)圖象確定各項系數(shù)的符號以及式子的正負．15．（2023秋·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況是（

）A．有1個交點 B．有2個交點 C．無交點 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式即可解答．【詳解】解：令，，∵，∴，∴，∴二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系及一元二次方程的判別式，解題的關鍵是把函數(shù)圖象的交點問題轉換成方程的解的問題．16．（2023·全國·九年級專題練習）關于x的二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，則a的值為（

）A．5 B．2 C．1 D．1或5【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸只有一個交點，則關于x的一元二次方程只有一個實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關于x的二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，∴關于x的一元二次方程只有一個實數(shù)根，∴，解得，故選A．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系是解題的關鍵．考點5圖像法確定一元二次方程的近似根17．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為常數(shù)的圖象如圖所示，則方程有一正實數(shù)根和一負實數(shù)根的條件是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)圖象，觀察直線與拋物線的交點情況，從而可判斷方程的解的情況．【詳解】解：觀察圖象可得，當時，直線與拋物線有兩個交點，一個交點在軸的左邊，一個交點在軸的右邊，∴方程有一正實數(shù)根和一負實數(shù)根故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，解題的關鍵是由二次函數(shù)的圖象與的交點位置確定交點橫坐標的范圍．18．（2023秋·浙江·九年級專題練習）已知二次函數(shù)（，，，為常數(shù)）的與的部分對應值如表：判斷方程的一個解的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】仔細看表，可發(fā)現(xiàn)的值和最接近，再看對應的的值即可得．【詳解】解：由表可以看出，當取與之間的某個數(shù)時，，即這個數(shù)是的一個根，的一個解的取值范圍為，故選：D．【點睛】本題考查圖像法求一元二次方程的近似根，對題目的正確估算是建立在二次函數(shù)圖像和一元二次方程關系正確理解的基礎上．19．（2023秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習）根據(jù)表格中的對應值，判斷方程（，a，b，c為常數(shù)）的一個解的范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)（，a，b，c為常數(shù)）,觀察表格數(shù)據(jù)，首先確定隨著x取值變化，的變化情況；然后確定當時，x的取值即可．【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)看出，∴x應取對應的范圍為．故選：B．【點睛】本題考查了用函數(shù)法求一元二次方程的近似根，解題的關鍵是找到由正變?yōu)樨摃r，x的取值即可．20．（2022秋·湖南衡陽·九年級?？计谥校└鶕?jù)下列表格的對應值，判斷方程（為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）3.233.243.253.260.020.030.09A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸的交點就是方程的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程一個解的范圍．【詳解】解：函數(shù)的圖象與x軸的交點就是方程的根，函數(shù)的圖象與x軸的交點的縱坐標為0；由表中數(shù)據(jù)可知：在與之間，∴對應的x的值在3.23與3.24之間，即．故選：B．【點睛】此題主要考查方程的近似解，解題的關鍵是熟知方程近似解的判定方法．考點6二次函數(shù)與不等式（組）21．（2023秋·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．， B．C． D．時，不等式一定成立【答案】D【分析】根據(jù)拋物線開口方向和拋物線的對稱軸位置對A進行判斷；根據(jù)拋物線與軸的交點個數(shù)對B進行判斷；根據(jù)拋物線對稱軸對C進行判斷；根據(jù)拋物線與軸的交點的坐標對D進行判斷．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線的對稱軸在軸右側，，，所以不符合題意；拋物線與軸有個交點，，所以B不符合題意；由圖可知：拋物線的對稱軸是直線，，，所以C不符合題意；由對稱可知：拋物線與軸的交點為：，，又由圖象可知：當時，拋物線位于軸的上方，當時，不等式一定成立，所以D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當與同號時即，對稱軸在軸左側；當與異號時即，對稱軸在軸右側．簡稱：左同右異；常數(shù)項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點個數(shù)由決定：時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸沒有交點．22．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知，拋物線的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答，當時，x的取值范圍是（

）

A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由圖象可得：當時，或，可得當時，即圖象在直線的下方，從而可得x的取值范圍是．【詳解】解：由圖象可得：當時，或，∴當時，x的取值范圍是；故選A【點睛】本題考查的是利用二次函數(shù)的圖象解不等式，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．23．（2023·全國·九年級專題練習）二次函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)值時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】寫出函數(shù)圖象在x軸上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知，當或時，．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結合的思想求解是關鍵．24．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線和直線，當時，x的取值范圍是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】先求出兩圖象的交點為，可得當或時，拋物線的圖象位于直線的下方，即可求解．【詳解】解：聯(lián)立得：，解得：，即兩圖象的交點為，∴當或時，拋物線的圖象位于直線的下方，∴當時，x的取值范圍是或．故選：B【點睛】此題考查求兩個函數(shù)圖象的交點坐標，根據(jù)函數(shù)圖象確定自變量x的取值范圍，正確解出交點坐標及正確理解函數(shù)圖象是解題的關鍵．考點7根據(jù)不等式確定自變量或函數(shù)值的范圍25．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）在二次函數(shù)圖像上的兩點、，若，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將、代入二次函數(shù)求解即可．【詳解】將、代入二次函數(shù)，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式．26．（2022春·九年級課時練習）在平面直角坐標系中，已知點A（4，2），B（4，4）拋物線L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），當L與線段AB有公共點時，t的取值范圍是（

）A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6【答案】B【分析】根據(jù)題意知線段AB平行于y軸，先根據(jù)二次函數(shù)經過點A與點B構建方程，進而得出二次函數(shù)與線段交點解集即可．【詳解】解：根據(jù)題意知：∵點，，故對于二次函數(shù)與線段有公共點時，即當x=4時，，即，當時，解得，當時，解得，∴的解集為或；故選：B．【點睛】此題考查二次函數(shù)與線段交點問題，主要理解函數(shù)圖像與線段有交點的真實含義，難度一般，主要是計算．27．（2023·江西吉安·?？寄M預測）已知拋物線，過，且對稱軸是直線，則當時，自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)拋物線開口方向及拋物線與x軸交點橫坐標求解．【詳解】∵a>0，∴拋物線開口向上，∵拋物線經過點(-1，0)，拋物線對稱軸為直線x=1，∴拋物線經過點(3，0)，∴當y>0時，x<-1或x>3.故選：D．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點問題，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系，掌握二次函數(shù)的性質.28．（2022春·九年級課時練習）拋物線y＝-x2+ax+3的對稱軸為直線x＝2．若關于x的方程-x2+ax+3﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x＜3的范圍內有實數(shù)根，則t的取值范圍是（）A．6≤t＜7 B．t＜7 C．-2≤t＜6 D．-2＜t≤7【答案】D【分析】根據(jù)對稱求得的值，根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為，將一元二次方程的實數(shù)根看作函數(shù)與函數(shù)的交點問題，再由的范圍確定y的取值范圍，然后確定t的值即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝2．∴解得關于x的方程-x2+4x+3﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范圍內有實數(shù)根，一元二次方程的實數(shù)根看作函數(shù)與函數(shù)的交點問題方程在的范圍內有實數(shù)根，當時，∵拋物開口朝下，函數(shù)在時有最大值7，對稱軸是，，即在的范圍，當時的函數(shù)值最小當時，t的取值范圍是故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質；能夠將方程的實數(shù)根問題轉化為二次函數(shù)與直線的交點問題是解題關鍵．考點8求x軸與拋物線交點的截線長29．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點，則線段的長度為（

）A． B． C． D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到，利用根與系數(shù)的關系，再運用兩點距離公式變形求出長度即可得到答案．【詳解】解：拋物線與一次函數(shù)交于兩點，聯(lián)立，消元得，，故選：A【點睛】本題考查平面直角坐標系中求線段長問題，涉及函數(shù)圖像交點問題、一元二次方程根與系數(shù)的關系、兩點之間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系及兩點之間距離公式是解決問題的