完整高數(shù)課件(一)

第一節(jié)函數(shù)2021/5/91一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集2021/5/92數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2021/5/932.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,2021/5/94稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.2021/5/953.鄰域:2021/5/964.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.2021/5/975.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:2021/5/98因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念2021/5/99自變量因變量對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.2021/5/910定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．2021/5/911(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo2021/5/912(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2021/5/913有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)2021/5/914(4)取最值函數(shù)yxoyxo2021/5/915在自變量的不同變化范圍中,

對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).2021/5/916例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間的函數(shù)關系式.解單三角脈沖信號的電壓2021/5/9172021/5/918例2解故2021/5/919三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2021/5/9202．函數(shù)的單調(diào)性:xyo2021/5/921xyo2021/5/9223．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x2021/5/923奇函數(shù)yxox-x2021/5/9244．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2021/5/925

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線對稱.四、反函數(shù)2021/5/926五、小結基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)2021/5/927思考題2021/5/928思考題解答設則故2021/5/929練習題2021/5/9302021/5/931練習題答案2021/5/9322021/5/933一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)2021/5/9342.指數(shù)函數(shù)2021/5/9353.對數(shù)函數(shù)2021/5/9364.三角函數(shù)正弦函數(shù)2021/5/937余弦函數(shù)2021/5/938正切函數(shù)2021/5/939余切函數(shù)2021/5/940正割函數(shù)2021/5/941余割函數(shù)2021/5/9425.反三角函數(shù)2021/5/9432021/5/9442021/5/945

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2021/5/946二、復合函數(shù)初等函數(shù)1.復合函數(shù)定義:2021/5/947注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2021/5/948例1解2021/5/949綜上所述2021/5/950三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)2021/5/951奇函數(shù),有界函數(shù),2021/5/952雙曲函數(shù)常用公式2021/5/9532.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),2021/5/9542021/5/955奇函數(shù),2021/5/956四、小結函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))2021/5/957思考題2021/5/958思考題解答不能．2021/5/959一、填空題:練習題2021/5/9602021/5/961練習題答案2021/5/9622021/5/9632021/5/964“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放——劉徽一、概念的引入2021/5/965正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2021/5/9662、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”2021/5/967二、數(shù)列的定義例如2021/5/968注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標函數(shù)2021/5/969播放三、數(shù)列的極限2021/5/970問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:2021/5/9712021/5/972如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：2021/5/973幾何解釋:其中2021/5/974數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：2021/5/975例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結:用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.2021/5/976例3證2021/5/977例4證2021/5/978四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無界2021/5/979定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.2021/5/9802.唯一性定理2每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.2021/5/981例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).2021/5/9823.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a2021/5/983五.小結數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.2021/5/984思考題證明要使只要使從而由得取當時，必有成立2021/5/985思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值2021/5/986從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2021/5/987練習題2021/5/988“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入2021/5/989三、數(shù)列的極限2021/5/990三、數(shù)列的極限2021/5/991三、數(shù)列的極限2021/5/992三、數(shù)列的極限2021/5/993三、數(shù)列的極限2021/5/994三、數(shù)列的極限2021/5/995三、數(shù)列的極限2021/5/996三、數(shù)列的極限2021/5/997三、數(shù)列的極限2021/5/998三、數(shù)列的極限2021/5/999三、數(shù)列的極限2021/5/9100三、數(shù)列的極限2021/5/9101三、數(shù)列的極限2021/5/91022021/5/9103播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2021/5/9104通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.2021/5/91052021/5/91062.另兩種情形:2021/5/91073.幾何解釋:2021/5/9108例1證2021/5/9109二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限2021/5/91102021/5/91112.幾何解釋:注意：2021/5/9112例2證例3證2021/5/9113例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.2021/5/9114例5證2021/5/91153.單側極限:例如,2021/5/9116左極限右極限2021/5/9117左右極限存在但不相等,例6證2021/5/9118三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性2021/5/9119推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)2021/5/9120定理(保號性)推論2021/5/91214.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)定義定理2021/5/9122證2021/5/9123例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相