2021年重慶市西南大學附中高考數(shù)學適應性試卷（學生版+解析版）（八）

2021年重慶市西南大學附中高考數(shù)學適應性試卷（A）

一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）"xe{x|log3（2—x）,,1}"是"I,,1}”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

2.（3分）已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點都在射線y=3x（x>0）上，且|z|=J16，則z的

虛部為（）

A.3B.3/C.±3D.±3;

3.（3分）“垃圾分類”已成為當下最熱議的話題，我們每個公民都應該認真履行，逐步養(yǎng)

成“減量、循環(huán)、自覺、自治”的行為規(guī)范，某小區(qū)設置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、

“廚余垃圾”、“其他垃圾”四種垃圾桶.一天，小區(qū)住戶李四提著屬于4個不同種類垃圾桶

的4袋垃圾進行投放，發(fā)現(xiàn)每個桶只能再投一袋垃圾就滿了，作為一個意識不到位份子，李

四隨機把4袋垃圾投放到了4個桶中，則有且僅有一袋垃圾投放正確的概率為（）

1211

A.-B.-C.-D.-

6332

4.（3分）已知直線3x+4y-10=0與圓。:爐+9-2犬+4、-20=0相交于A,B兩點，點P

在圓C上，且滿足4Mzi=4,則滿足條件的P點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（3分）已知在邊長為3的等邊A48C中，AP=^AC+^AB,則C戶在C豆上的投影為(

）

A.—B.--C.-D.—

4442

6.（3分）函數(shù)f（x）=+xsinx的大致圖象為（)

A,4-組嗎卒'B.w

7.（3分）在三棱錐P-/WC中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=3,PB=4,PC=5,

點E為線段PC的中點，過點E作該三棱錐外接球的截面，則所得截面圓的面積不可能為（

）

A.6兀B.8nC.10乃D.12萬

8.（3分）函數(shù)/?（x）=Asin（s;+2）（A>0,。>0）在［巴，馬上單調，且/■（馬=/（二），若

662412

f（x）在［0,/）上存在最大值和最小值，則實數(shù)/的取值范圍為（）

A.[—71,4-00)B.(—71,4-00)

二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

9.（3分）2020年12月31日，我國第一支新冠疫苗“國藥集團中國生物新冠滅活疫苗”獲

得國家藥監(jiān)局批準附條件上市，保護率為79.34%,中和抗體陽轉率為99.52%,該疫苗將面

向全民免費.所謂疫苗的保護率，是通過把人群分成兩部分，一部分稱為對照組，即注射安

慰劑；另一部分稱為疫苗組，即注射疫苗來進行的.當從對照組和疫苗組分別獲得發(fā)病率后，

就可以計算出疫苗的保護率=（對照組發(fā)病率-疫苗組發(fā)病率）/對照組發(fā)病率xlOO%.關

于注射疫苗，下列說法正確的是（）

A.只要注射了新冠疫苗，就一定不會感染新冠肺炎

B.新冠疫苗的高度陽轉率，使得新冠肺炎重癥感染的風險大大降低

C.若對照組10000人，發(fā)病100人；疫苗組20000人，發(fā)病80人，則保護率為60%

D.若某疫苗的保護率為80%,對照組發(fā)病率為50%,那么在1000個人注射了該疫苗后，

一定有100個人發(fā)病

10.（3分）如圖，在正方體A5CD-ABCR中，點P，。分別是棱8片，。。上異于端點

的兩個動點，且。。=8尸，則下列說法正確的是（）

A.三棱錐O-APQ的體積為定值

B.對于任意位置的點P,平面APQ與平面所成的交線均為平行關系

C.NPA。的最小值為工

3

D.對于任意位置的點P,均有平面4PQ_L平面AGC4

11-(3分)已知非零實數(shù)“，6滿足3"=2",則下列不等關系中正確的是()

A.a<bB.若a<0,貝ljbvav0

C.D.^0<a<log2,貝!Ja'vb"

1+|。|1+|加3

12.(3分)給定兩個函數(shù)/(x)與g(x),若實數(shù)加,鹿?jié)M足g(/n)=/(/?),則稱-加|最小

值為函數(shù)f(x)與g(x)的橫向距.已知無>0,f(x)=/n-+-,g(x)=ex-t,則()

kk

A.當-=1時,Ax)與g(x)的橫向距為0

B.若/(x)與g(x)的橫向距為0,則0<鼠1

C.f(x)與g(x)的橫向距隨著Z的增大而增大

D.若/(x)與g(x)的橫向距大于1,則Z>e

三、填空題(共4小題，每小題3分，滿分12分)

13.(3分)在x(l+x)5的展開式中，含d項的系數(shù)為

14.(3分)已知數(shù)列｛a?｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛hn｝為等差數(shù)列，若a207al2=3百，么+&+九=6兀,

貝han虻組=—.

15.(3分)如圖,為測量C點到河對岸塔頂A的距離，選取一測量點。，現(xiàn)測得ZBCD=75°,

ZBZX7=6O°,CD=40m,并在點C處測得塔頂A的仰角為30。，則C4的距離為m.

A

r22

16.(3分)已知點P為雙曲線C:=-v4=l(a>0/>0)右支上一點，F(xiàn)、,工為雙曲線的左、

a"b

右焦點，點。為線段尸耳上一點，/耳尸鳥的角平分線與線段入。交于點〃，且滿足

兩號兩+,原則制

;若。為線段P耳的中點且N/=；PE=60。，則雙曲線C

的離心率為.

四、解答題(共6小題，滿分72分)

17.(10分)在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且已知AABC的外接圓

半徑為R,已知—，在以下三個條件中任選一個條件填入橫線上，完成問題(1)和(2)：

①S°sC+C°s0=2cc>sB，②RsinA+b8sA=c,@a+c-/?(V3sinC4-cosC)=0.

acabbe

問題:

(1)求角B的大小;

(2)若R=2,求a+c的最大值.

18.(12分)已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，且4=2,(S〃+「S>%=4S“，nwN*.

(1)求外，a、,4的值，并求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛------5-----｝的前〃項和公式7；.

2a?■(a?-n+1)

19.(12分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面ABCD±

平面他EF,AD//BC,AF//BE,AD1AB,ABA.AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)已知點G為AF上一點，且AG=1,求證：8G〃平面QCE；

(2)已知直線即與平面。CE所成角的正弦值為好，求平面DCE與平面或廠所成銳二

5

面角的余弦值.

D

20.（12分）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段.到2020年底，

全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上

的一大壯舉.重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽.因地制宜

發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)

蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當?shù)卮?/p>

民的搖錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜

適度，汁多爽口，余味清香”而聞名，為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍

橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標準：果徑80~85〃〃〃為

一級果，果徑75~80，制?為二級果，果徑70~75,即或85，制〃以上為三級果.某農(nóng)產(chǎn)品研究

所從種植園采摘的大量奉節(jié)臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑（單位：〃""），

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試估計這1000個奉節(jié)臍橙的果徑的中位數(shù)；

（2）在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70~85〃M中抽出9個臍橙，為進一步

測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數(shù)X的分布列與數(shù)學

期望；

（3）以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，

其中一級果的個數(shù)為y,記一級果的個數(shù)為人的概率為p（y=z）,寫出p（y=幻的表達式,

并求出當a為何值時，尸（丫=外最大？

21.(12分)己知函數(shù)f(x)=+1)—tz(x4-----),a..

x+\2

(1)當x＞0時，求證：f(x)＜0；

(2)記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若GN*),求證：S,“-S“+%＞出2.

n4

22

22.(14分)已知橢圓方程當+，=1(〃＞人＞0),拋物線方程：/=2用(0＞0),O為坐標

a-b~

原點，尸是拋物線的焦點，過尸的直線/與拋物線交于A,B兩點、,如圖所示.

(1)證明：直線。4,08的斜率乘積為定值，并求出該定值；

(2)反向延長Q4,03分別與橢圓交于C,￡＞兩點，HOC2+OD2=5,求橢圓方程;

(3)在(2)的條件下，若盤辿的最小值為］,求拋物線方程.

s

^AOCD

X

2021年重慶市西南大學附中高考數(shù)學適應性試卷（A）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）"xe{x|log3（2-X）,,1}"是"I,,1}”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【解答】解：由log3（2-x）,,1得0<2-分,3,得T,x—2<0,得一l,,x<2,即A=[-l,2）,

由得一啜k-1]得礴2,即B=[0,2],

則xe.A是xe3的既不充分也不必要條件，

故選：D.

2.（3分）已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點都在射線y=3x（x>0）上，且|z|=Ji6,則z的

虛部為（）

A.3B.3/C.±3D.±3/

【解答】解：因為復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點都在射線y=3x（x>0）上，

設z=a+3ai>awR，a>0,

所以Iz|=yja2+（3a）2=VlO,解得a=\,

故復數(shù)z=l+3i,所以z的虛部為3.

故選：A.

3.（3分）“垃圾分類”已成為當下最熱議的話題，我們每個公民都應該認真履行，逐步養(yǎng)

成“減量、循環(huán)、自覺、自治”的行為規(guī)范，某小區(qū)設置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、

“廚余垃圾”、“其他垃圾”四種垃圾桶.一天，小區(qū)住戶李四提著屬于4個不同種類垃圾桶

的4袋垃圾進行投放，發(fā)現(xiàn)每個桶只能再投一袋垃圾就滿了，作為一個意識不到位份子，李

四隨機把4袋垃圾投放到了4個桶中，則有且僅有一袋垃圾投放正確的概率為（）

1211

A.-B.-C.-D.-

6332

【解答】解：李四隨機把4袋垃圾投放到了4個桶中，

基本事件總數(shù)〃=段=24,

其中有且僅有一袋垃圾投放正確包含的基本事件個數(shù)〃?=C：C；C：C=8,

則有且僅有一袋垃圾投放正確的概率為尸='=a=■!■

“243

故選：C.

4.(3分)已知直線3x+4y—10=0與圓。:丁+;/-2犬+4丫-20=0相交于A,B兩點、，點P

在圓C上，且滿足4^=4,則滿足條件的P點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：圓C化為(x—l>+(y+2)2=25,則圓心坐標為C(l,-2),半徑r=5,

圓心C到直線3x+4y-10=0的距離d=13一助=3,則弦長|AB\=2y/r-d2=8,

設P到他的距離為〃，貝=；|40g=4，解得〃=1.

而圓上AB兩側的動點到直線AB的最大距離分別為5和2,

故滿足條件的點P共4個.

故選：D.

5.(3分)已知在邊長為3的等邊AABC中，AA=g蔗+^A方，則C戶在C月上的投影為(

)

A.—B.--C.-D.—

4442

【解答】解：CP=AP-AC=-AC+-7^-AC=-7J8--AC,

2332

CPCB=(|AB-^AC)-(AB-AC)

=LAB2AAB.ACLAC2

36+2

=-x9--x3x3x—+—x9

3622

_15

--,

4

15

CP在cK上的投影為空0=/_=2.

|CB|34

故選：C.

6.(3分)函數(shù)/(x)=10'則+xsinx的大致圖象為()

【解答】解：函數(shù)的定義域為{xlxwO},排除A,

/(-%)=10teKr|-xsin(-x)=10fe|v|+xsinx=f{x),即/(x)是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱,排

除C,

/(X)=10fe|v|+xsinx=|x|+xsinx,

當x>0時，f(x)=x+xsinx=x(l+sinx)..O,排除。，

故選：B.

7.(3分)在三棱錐P-/WC中，PA,PB,PC兩兩垂直，1ft4=3,PB=4,PC=5,

點E為線段PC的中點，過點E作該三棱錐外接球的截面，則所得截面圓的面積不可能為(

)

A.6兀B.8萬C.104D.12萬

【解答】解：根據(jù)題意，在三棱錐尸-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，

且滿足：PA=3,PB=4,PC=5,

設三棱錐體的外接球半徑為R,

^4/?2=32+42+52,解得必=”.

4

在所有的過點E的截面里，當截面過球心O時，截面的圓的面積最大，

此時半徑為R,

在所有過點￡的截面里，當OE與截面垂直時，

截面的圓的面積最小，此時截面的圓心為E,由于0E=^>+42=*,

22

所以最小的截面的圓的半徑為-EF=符14,

所以最小的截面圓的面積s=

故截面圓的面積的范圍為［等學

故選：A.

8.（3分）函數(shù)/（x）=Asin（s+馬（A＞0,。＞0）在［工，馬上單調,K/（-）=/（—）,若

662412

/（X）在［0,f）上存在最大值和最小值，則實數(shù)f的取值范圍為（）

A.匕乃，+oo）

B.(—71，+8)

3

D.6，芻5名，”)

U小事633

【解答】解:因為函數(shù)f（x）=Asin（ar+馬在［工，。上單調,

662

所以蕓會全44小解得。

因為應）=席），若咤或春

7171

所以二12=工

26

則0)-—+—=—+k/r,keZ，

662

所以3=2+6左，k^Z,

故當攵=0時，3=2,

當％w［O,。時，2x+—e［—,2r+-）,

666

因為/（此在［0,"上存在最大值和最小值，

所以代或2f+工,網(wǎng)，

26662

解得匹＜4,軍或。女.

633

故選：D.

二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

9.（3分）2020年12月31日，我國第一支新冠疫苗“國藥集團中國生物新冠滅活疫苗”獲

得國家藥監(jiān)局批準附條件上市，保護率為79.34%,中和抗體陽轉率為99.52%,該疫苗將面

向全民免費.所謂疫苗的保護率，是通過把人群分成兩部分，一部分稱為對照組，即注射安

慰劑;另一部分稱為疫苗組,即注射疫苗來進行的.當從對照組和疫苗組分別獲得發(fā)病率后，

就可以計算出疫苗的保護率=（對照組發(fā)病率-疫苗組發(fā)病率）/對照組發(fā)病率xlOO%.關

于注射疫苗，下列說法正確的是（）

A.只要注射了新冠疫苗，就一定不會感染新冠肺炎

B.新冠疫苗的高度陽轉率，使得新冠肺炎重癥感染的風險大大降低

C.若對照組10000人，發(fā)病100人；疫苗組20000人，發(fā)病80人，則保護率為60%

D.若某疫苗的保護率為80%,對照組發(fā)病率為50%,那么在1000個人注射了該疫苗后，

一定有100個人發(fā)病

【解答】解：顯然選項A錯誤，

對于選項3：新冠疫苗的陽轉率高說明有高滴度的抗體，當感染新冠肺炎后，肺炎癥狀將

會大大降低，進而減少重癥率，所以選項3正確，

對于選項C：由保護率的計算公式可得：對照組和疫苗組的發(fā)病率分別為1%,0.4%,代

入可得保護率為60%,所以選項C正確，

對于選項。：雖然根據(jù)公式算出樣本中疫苗組的發(fā)病率為10%,但實際是否會發(fā)病是隨機

事件，所以選項。錯誤，

故選：BC.

10.（3分）如圖，在正方體A8CO-A8CA中，點P,Q分別是棱0A上異于端點

的兩個動點，且則下列說法正確的是（）

A.三棱錐。-APQ的體積為定值

B.對于任意位置的點尸，平面APQ與平面所成的交線均為平行關系

C./PAQ的最小值為？

D.對于任意位置的點尸，均有平面APQL平面AGC4

【解答】解：對于A,勿一“2=匕，一八相，AA。。面積不定,

而P到平面ADQ的距離為定值AB,

，力一”2不是定值，故A錯誤；

對于8,由于PQ//平面AMGQ,則經(jīng)過直線PQ的平面AP。與A4c的所有交線均與

PQ平行，

根據(jù)平行的傳遞性，可得所有的交線也平行，故B正確;

對于C,設正方體棱長為1,PB=DQ=<7e(0,1),

則4P=AQ=G+l,PQ=五,

liiiln~+l+a~+1—2a~11.

則cosZ.PAQ=------；-------=———=1——；——e(0,—)

2(/+1)/+1a1+\2

ZPAQe故C錯誤；

32

對于￡),由題意得直線PQ與平面AGC4垂直，

二對于任意位置的點P,均有平面APQJ.平面AGE,故。正確.

故選：BD.

11.(3分)已知非零實數(shù)a,6滿足3"=2",則下列不等關系中正確的是()

A.a<bB.若a<0,則b<a<0

C.<助D.若0<a〈log",則

1+1?11+1切

【解答】解：對于A,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，0<a<〃或。<a<0,故選項A錯誤，選項

3正確；

對于C,函數(shù)丫==-=1+」在(-1,+8)上單調遞增，而|“|<］勿，故選項C正確；

\+X1+X

對于￡),0<a<log32,則有OvqvAvl,所以故選項￡)正確.

故選：BCD.

12.(3分)給定兩個函數(shù)/(幻與g(x),若實數(shù)根，〃滿足g(/n)=/(〃)，則稱最小

值為函數(shù)/(x)與g(x)的橫向距.已知左>0,/(%)=/?-+-,g(x)=ex~k,貝lj()

kk

A.當人=1時，/(x)與g(x)的橫向距為0

B.若/(尢)與g(x)的橫向距為0,則0v晨1

C./(%)與g(x)的橫向距隨著k的增大而增大

D.若/(%)與g(x)的橫向距大于1,則攵>e

【解答】解：由g(/n)=/(〃)，令em~k=ln—+—=t>0，則加=/川+左，n=ke］，所以

kk

i—?

n-tn=kek-Int-k,

」t-11

設函數(shù)以/)=hk-Int-k,r>0,則〃?)=履卜一，顯然廳⑺單調遞增且〃(一)=0,

tk

所以〃⑺在(0,3遞減，在(L+8)遞增，h｛t｝mi?=h^=-ln-=lnk,

kktk

①當0<鼠1時,Ink,,0,(n-m)min=Ink,,0,n-tn|m；n=0,即函數(shù)/(x)與g(x)的橫向距

為0，

.〔AB正確，C錯誤.

②當4>1時，Ink>0,(n-=Ink>0,即函數(shù)f(x)與g(x)的橫向距為/〃左，

當/成>1時，.?.￡)正確.

故選：ABD.

三、填空題(共4小題，每小題3分，滿分12分)

13.(3分)在x(l+x)s的展開式中，含一項的系數(shù)為10.

【解答】解：(1+4的展開式的含丁項的系數(shù)為C；=10,

所以x(l+x)s的展開式的含/項的系數(shù)為10,

故答案為：10.

14.(3分)已知數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛hn｝為等差數(shù)列，若%a10n=36，瓦+&+3=6n,

則tan叱組=_G一

【解答】解：由等比數(shù)列的中項性質可得，4%%=母=3石，

解得的=百，

由等差數(shù)列的中項性質可得，瓦+b7+九=3d=6%，

解得偽=27t,

所以tan%+42=tan=tan"=tan工=G.

a；33

故答案為：

15.（3分）如圖，為測量C點到河對岸塔頂A的距離，選取一測量點D，現(xiàn)測得48=75。，

ZftDC=60°,CD=40m,并在點C處測得塔頂A的仰角為30。，則C4的距離為_40應

m.

【解答】解：如圖，?.?NB8=75。，ZBDC=60°,.*.ZCBD=45°.

\'CD=40/7?，

中，由正弦定理可得一竺一=—肛，；.BC=20后，

sin45°sin60°

在點C處測得塔頂A的仰角為30°,

AC=—^-=40后,

cos30°

故答案為：40\/2m.

22

16.（3分）已知點P為雙曲線C:=-4=l（a>0,h>0）右支上一點，F(xiàn)t,居為雙曲線的左、

a~h~

右焦點，點。為線段尸耳上一點，2耳尸區(qū)的角平分線與線段交于點M,且滿足

PM=^PD+^PF^,則號*=_1_;若。為線段。耳的中點且/4尸乙=60。，則雙曲線

C的離心率為—.

【解答】解：過M作MN//PK，交P居于點N,作MG//P￡,交PB于點G,

由麗=芻而+3/，可得也1=也=3

由角平分線性質定理可得3=/業(yè)=3,

\PF2\\MF2\4

因為。為/￥；的中點，所以制=（=m，

由雙曲線的定義,可得|P7"-|P鳥|=2a,

所以|「耳=6a,|PF21=4a,|FtF21=2c,

在八中‘由余弦定理可得36。。=史崇會

即有。=療。，即有e=￡=J7.

a

四、解答題(共6小題，滿分72分)

17.(10分)在AA3C中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且已知AA5C的外接圓

半徑為H,已知—，在以下三個條件中任選一個條件填入橫線上，完成問題(1)和(2)：

①F°，?+8sB-=2cosB,②RsinA+bcosA=c,@?+c-Z?(\/3sinC+cosC)=0.

acabbe

問題：

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若R=2,求〃的最大值.

【解答】解：(1)選擇條件①：

cosCcos32cos3

???----+-----=------，

acahbe

Z?cosC+ccosB=2acosB,

由正弦定理知，

sinAsinBsinC

sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,即sin(B+C)=sinA=2sinAcosB,

?「sinAwO,z.cosB=—，

2

7T

,/Be(0,7T),:.B=—.

3

選擇條件②：

由正弦定理知，，一=—L=_J=2R,

sinAsinBsinC

/?sinA+Z?cosA=c,

/.RsinA+2R-sinBcosA=27?sinC，即sinA+2sinBcosA=2sinC，

又sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

/.sinA+2sinBcosA=2sinAcosB+2cosAsinB,BPsinA=2sinAcosB，

?/sin,/.cosB=—,

2

7T

*/8￡(O,TF),..B=—.

3

選擇條件③：

由正弦定理知，_q_=_2_=_J,

sinAsinBsinC

,/a+c-仇GsinC+cosC)=0,

/.sin/A+sinC-sinB(6sinC+cosC)=0,

又sinA=sin(Z?+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.sinBcosC+cosBsinC+sinC-sinB(x/3sinC+cosC)=0,即

cosBsinC+sinC-V5sinBsinC=0,

?/sinC^O,

/.cosB+1-\/3sinB=0,即2sin(B-^-)=1,

又3W(0,T),—),

666

=EPB=-.

663

(2)由正弦定理知,b=2RsinB=2&,

由余弦定理知，i>2=a2+c2-laccosB,即12=a?+<?-ac=(a+c)2-3ac,

(a+4-12=3%,3-(a+￡)~,

4

.?.(”+C)2,,48,即a+c,,4百，當且僅當a=c=26時，等號成立，

故a+c的最大值為4G.

18.(12分)已知正項數(shù)列｛q｝的前"項和為S"，且4=2,(S,+]-S.)q=4S,,,nwN*.

⑴求出,a3,4的值，并求數(shù)列｛凡｝的通項公式;

（2）求數(shù)列｛-------------｝的前〃項和公式7；.

2〃〃?（〃〃一〃+1）

【解答】解：（1）正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，且4=2,（5〃討-5）4=45“，①

所以4Sj=Oja29解得出=4,

4s2=a2'a3f解得6=6,

4s3=%,，解得“4=8.

當〃..2時，(S,-S,I>4,T=4S,I②，

故①-②得：4⑸-S,i)=a"(%-*),

由于>0,

所以（常數(shù)）,

故數(shù)列的奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等差數(shù)列;

⑺當〃為奇數(shù)時，=4+、^x4=2〃,

當〃為偶數(shù)時，%?x4=2”,

故數(shù)列｛““｝的通項公式為a?=2〃.

(2)一!一=—^=1(1—L),

2??,(??-〃+1)4〃(〃+1)4nn+\

所以北=——+———+-----5-)=—(1)=—--.

4223nn+\4n+\4/2+4

19.(12分)如圖,在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與A5EF均為直角梯形,平面ABCD±

平面AD//BC,AF//BE,AD1AB,AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

（1）已知點G為AF上一點，且AG=1,求證：8G〃平面DCE;

（2）已知直線跖與平面DCE所成角的正弦值為好，求平面OCE與平面尸所成銳二

5

面角的余弦值.

F

【解答】（I）證明：連接隹，交BG于點O,取Z）E的中點H,連接”O(jiān),HC,GE,

■：AGIIBE,AG=BE,

：.四邊形ABEG為平行四邊形，

，。為AE的中點，

:.OH//AD,OH=-AD,

2

又BC"AD,BC=-AD,

2

:.OH//BC,OH=BC,

：.四邊形3CWO為平行四邊形，

:.HCHOB,

?rHCu平面DCE,OB<t平面￡>CE,

:.OB"平面DCE,即BG//平面QCE.

(2)解：?.?平面ABC￡)_L平面仞EF,平面MCZJC平面ABEF="，ADA.AB,A￡>u

平面ABCD,

平面A3EF,

以A為原點，AF,AB,4)所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

設AF=a(a>0且awl),則F(a,0,0),8(0,2,0),0(0,0,2),E(1,2,0),C(0,

2,1),

DC=(0,2,-1),DE=(1,2,-2),BF=(a,-2,0),BD=(0,-2,2),

設平面XE的法向量為元=(x,y,z),則F.絲=°,即=z=°

n-DE=0[x+2y-2z=0

令y=1,則x=z=2,.,.為二(2,1,2),

直線BF與平面DCE所成角的正弦值為正,

5

-=|cos<BF,ri>|=||=|-產(chǎn)-？_?,

5|明|利"77x3

化簡得ll/_40a_16=0,解得”=4或-巴(舍),

11

8尸=(4,-2,0),

設平面如尸的法向量為沆=3,y,z'),則產(chǎn)竺二°,即嚴之：。

m-BD=0l-2y+2z=0

令x'=1,則y'=z'=2,.,.比二(1,2,2),

故平面DCE與平面BDF所成銳二面角的余弦值為§.

9

20.(12分)在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段.到2020年底，

全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上

的一大壯舉.重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽.因地制宜

發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)

蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當?shù)卮?/p>

民的搖錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜

適度，汁多爽口，余味清香”而聞名，為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍

橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標準：果徑80~85〃加為

一級果，果徑75~80加〃為二級果，果徑70~75.?或85〃⑺以上為三級果.某農(nóng)產(chǎn)品研究

所從種植園采摘的大量奉節(jié)臍橙中隨機抽取1000個，測量這些臍橙的果徑(單位：〃"〃)，

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試估計這1000個奉節(jié)臍橙的果徑的中位數(shù)；

(2)在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70~85,加?中抽出9個臍橙，為進一步

測量其他指標，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數(shù)X的分布列與數(shù)學

期望；

(3)以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100個，

其中一級果的個數(shù)為丫，記一級果的個數(shù)為々的概率為p(y=/),寫出p(y=Q的表達式,

并求出當k為何值時，p（y=Q最大?

【解答】解：(1)果徑［65,80)的頻率為(0.013+0.030+0.045)x5=0.44<0.5,

果徑［65,85)的頻率為(0.013+0.030+0.045+0.060)x5=0.74>0.5,

故果徑的中位數(shù)在［80,85),不妨設為*

貝!I(8-80)x0.060=0.5-0.44=0.06,解得a=81,

所以果徑的中位數(shù)為81；

(2)果徑［70,75),［85,80),［80,85)的頻率之比為(0.03x5):(0.045x5):(0.06x5)=2:3:4,

所以分層抽樣過程中，一級果、二級果、三級果個數(shù)分別為4,3,2個，

故隨機變量X=0,1,2,3,

尸―。）*哈

P(X=1)=若端

尸-2）=等唱

C34

3寸彳

所以X的分布列為：

X0123

P1040304

84848484

拈可甘口珀L/V、八1°140c3041124

數(shù)學期望E(X)=0x—+lx一+2x—+3x—=---=—；

84848484843

（3）這批果實中一級果的概率為P=3，每個果實相互獨立，則丫~8（100,』），

則p（y=&）=Co?（高卜（高）33

題目即求人為何值時，尸&=心最大,

/^Ar+l/3%+i799T

令p(y=&+i)儂.而.而3(100-4)

解得k<29.3,

'P(Y=k)%豆4產(chǎn)7U+1)

故當上,29時,p（y=?+i）＞p（y=Q，即p（y=30）＞p（y=29）＞p（y=29）＞p（r=27）＞...,

當K..30時，P(Y=k+Y)<P(Y=k),即P(y=3O)>P(y=31)>尸(y=32)>…，

所以p(y=k)的最大值為尸(y=30),即一級果的個數(shù)最有可能為30個.

Y1

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ln(<x+1)—a(x4-------),ci..—?

x+\2

(1)當x>0時，求證：f(x)<0；

（2）記數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S〃，若a〃=—（XEN*）,求證：S,-S?+^->In2.

n〃4

【解答】證明：（1）因為/（x）=//t（x+l）-a（x+二一），a..；,則/(0)=0,

x+l

11,1I

當X>0時，f'(x)=-+--7^-J=-?--T7+―；-?>

X+l(x+l)~(x+l)~X+l

令r=」一e(o,l)，

x+l

則由ra）=o,可得一出2+/一々=0,

因為。…1，所以△=1-4抗,0,

2

則/'(%)?0在X￡(0,”)上恒成立，

所以/(x)在(0,+00)上單調遞減，

則/(x)v/(0)=0?

(2)由(1)知，當々=工時，/〃(x+1)v,Ml——--)?=—,

22x+ln

貝+1)<1(1+-j——)=^-(1---)，

n2n1i2nH+1

---r?1