大二概率論第三章2節(jié)

§3.2

邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性問(wèn)題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？3.2.1

邊際分布函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則

YFY

(y)=F(+

,y).

XFX

(x)=F(x,+

),3.2.2

邊際分布列巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為pij，則

X的分布列為：

Y的分布列為：

XY例3.2.2

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）有如下的聯(lián)合分布

YX011230.090.210.240.070.120.27求X與Y的邊際分布解：在上述聯(lián)合分布列中，對(duì)每一行求和得0.54與0.46，并把它們寫(xiě)在對(duì)應(yīng)行的右側(cè)，這就是X的邊際分布列。再對(duì)每一列求和，得0.16,0.33,和0.51，并把它們寫(xiě)在對(duì)應(yīng)列的下側(cè)，這就是Y的邊際分布列。YXP(X=i)010.540.46P(Y=j)10.090.210.240.070.120.271230.160.330.513.2.3

邊際密度函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則

X的密度函數(shù)為：

Y的密度函數(shù)為：

由聯(lián)合分布可以求出邊際分布.但由邊際分布一般無(wú)法求出聯(lián)合分布.所以聯(lián)合分布包含更多的信息.注意點(diǎn)(1)二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：

若(X,Y)

N(

)，注意點(diǎn)(2)

則X

N(

)，

Y

N(

).二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.例3.2.1

設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均勻分布，求X的邊際密度p(x).解:

由題意得xy-11當(dāng)|x|>1時(shí)，p(x,y)=0，所以p(x)=0當(dāng)|x|≤1時(shí),不是均勻分布例3.2.2

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求概率P{X+Y≤1}.解:

P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2

若滿足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)

則稱X與Y是獨(dú)立的，3.2.4

隨機(jī)變量間的獨(dú)立性(1)X與Y是獨(dú)立的其本質(zhì)是：注意點(diǎn)任對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,d，有(2)X與Y是獨(dú)立的，則g(X)與h(Y)也是獨(dú)立的.例3.2.3

(X,Y)的聯(lián)合分布列為:X01Y01

0.30.40.20.1問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？解:

邊際分布列分別為:X01P0.70.3Y01P0.50.5因?yàn)樗圆华?dú)立例3.2.4設(shè)（X,Y）是二維離散隨機(jī)變量，X

和Y

的邊際分布列分別如下所示：X-101P

?

?

?

Y01P

?

?

如果P{XY=0}=1，試求：（1）（X，Y）的聯(lián)合分布列；（2）X與Y是否獨(dú)立？例3.2.5已知(X,Y)的聯(lián)合密度為

問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？所以X與Y獨(dú)立。注意：p(x,y)可分離變量.解:

邊際分布密度分別為:注意點(diǎn)(1)

(1)

(X,Y)服從矩形上的均勻分布，則X與Y獨(dú)立.

(2)

(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，則X與Y不獨(dú)立.

見(jiàn)前面例子

(3)聯(lián)合密度p(x,y)的表達(dá)式中，若x

的取值與y

的取值有關(guān)系，則X與Y不獨(dú)立.注意點(diǎn)(2)

(4)若聯(lián)合密度p(x,y)可分離變量，即

p(x,y)=g(x)