湖南省張家界市慈利縣2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（解析版）

二○二三秋季期中教學質量檢測九年級數(shù)學考生注意：全卷共有三道大題，滿分120分，時量120分鐘．一、選擇題（每小題3分，共10道小題，合計30分）1.下列函數(shù)是反比例函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】形如的函數(shù)是反比例函數(shù)，根據(jù)定義逐項判斷即得答案.【詳解】解：A、，是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)；B、是反比例函數(shù)；C、不是反比例函數(shù)；D、不是反比例函數(shù)；故選：B.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟知概念是關鍵.2.若x＝1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一個根，則m的值是（）A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一個關于m的方程，解方程即可．【詳解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0，解得：m=2．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，關鍵是能根據(jù)題意得出一個關于m的方程．3.下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（）A.4cm，5cm，6cm，7cm B.3cm，4cm，5cm，8cmC.5cm，15cm，3cm，9cm D.8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)成比例線段的定義，逐項分析判斷即可，成比例線段，如果兩條線段的比值與另兩條線段的比值相等，即，則為成比例線段．【詳解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例線段，故該選項不符合題意；B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例線段，故該選項不符合題意；C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例線段，故該選項符合題意；D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例線段，故該選項不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了成比例線段的定義，理解成比例線段的定義是解題的關鍵．4.已知點，，三點都在反比例函數(shù)的圖像上，則下列關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由非負數(shù)的性質可得，再由反比例函數(shù)的性質可得，，由此即可得．【詳解】∵，∴，，∴．故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質，熟練運用反比例函數(shù)的性質是解決問題的關鍵．5.生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（）A.1．24米 B.1．38米 C.1．42米 D.1．62米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)a:b≈0.618，且b=2即可求解．【詳解】解：由題意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案為：A【點睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎題．6.用配方法解方程時，原方程應變形為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將一元二次方程進行配方的步驟為第一步∶，第二步：，第三步：，第四步：；據(jù)此進行運算后判斷，即可求解．【詳解】解：，，；故選：A．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步驟是解題的關鍵．7.關于的方程有實數(shù)根，則滿足（）A. B.且 C.且 D.【答案】A【解析】【分析】由于的方程有實數(shù)根，那么分兩種情況：（1）當時，方程一定有實數(shù)根；（2）當時，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出的取值范圍．【詳解】解：分類討論：當即時，方程變?yōu)?，此時方程一定有實數(shù)根；當即時，關于的方程有實數(shù)根，．的取值范圍為．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根；切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．8.如圖，已知，那么下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】解：∵，∴，選項A正確，符合題意；選項B錯誤，不符合題意；∵，∴，∴，∴選項C、D均錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．9.已知方程有兩個正數(shù)根，那么函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系里的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，得到，判斷出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象所過的象限，進行判斷即可．【詳解】解：∵方程有兩個正數(shù)根，∴兩根之和為，兩根之積為，∴，，∴函數(shù)的圖象過二，四象限，函數(shù)的圖象過一、二、四象限，∴滿足題意的，只有選項D．故選D．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的綜合判斷．解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系得到，．10.如圖，在四邊形中，，，，平分．設，，則關于函數(shù)關系用圖象大致可以表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明，過點做于點，證明，利用相似三角形的性質可得函數(shù)關系式，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，則，即為等腰三角形，過點做于點．則垂直平分，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵在中，，∴，故選D．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，反比例函數(shù)的圖象，證明是解本題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則_____．【答案】6【解析】【分析】由反比例函數(shù)解析式知，所以把點代入，即可求得的值．【詳解】解：由，得，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，．故答案為：6．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數(shù)．12.已知，若，則________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)等比性質，可得答案．【詳解】解：，由等比性質，得，所以．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了等比性質，即如果，則．解題關鍵是掌握并運用等比性質．13.已知，是方程的兩實數(shù)根，則的值為____．【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求解．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系（韋達定理），熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．14.如圖，在中，點E在上，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得，進而證明，可得．【詳解】解：中，，，，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．15.如圖，在中，，是邊上的高，若，則的值是_________．【答案】16【解析】【分析】先由角的互余關系，導出，結合，證明，利用相似三角形的性質，列出比例式，變形即可得答案．【詳解】解：∵，于點D，∴，，∴，又∵，∴，∴，而，∴，故答案為：16．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握相似三角形的判定和性質．16.已知點（1，3）在函數(shù)的圖象上，正方形的邊在軸上，點是對角線的中點，函數(shù)的圖象又經(jīng)過、兩點，則點的橫坐標為__________．【答案】【解析】【分析】把已知點的坐標代入函數(shù)解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正方形的性質設出A和E的坐標，因為函數(shù)圖象過這兩點，把設出的兩點坐標代入到函數(shù)解析式中得到①和②，聯(lián)立即可求出a和b的值，得到E的坐標．【詳解】解：把(1,3)代入到y(tǒng)=得：k=3，故函數(shù)解析式為y=，設A(a,)(a>0),根據(jù)圖象和題意可知,點E(a+,)，因為y=的圖象經(jīng)過E，所以將E代入到函數(shù)解析式中得：(a+)=3，即=，求得：a=或a=?(不合題意,舍去)，∴a=，∴a+=，則點E的橫坐標為.故答案為.【點睛】此題考查學生會根據(jù)一點的坐標求反比例的解析式，靈活運用正方形及反比例函數(shù)的性質解決實際問題，是一道中檔題.三、解答題（本大題共9小題，共72分）17.解方程（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）整理后，利用配方法求解．【小問1詳解】解：，∴，∴或，解得：，；【小問2詳解】，∴，∴，∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練應用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．18.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上、已知紙板的兩條邊DF＝0.5m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．【答案】樹高AB是9米【解析】【分析】先證得△DEF∽△DCB，可得，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．【詳解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，由勾股定理得DE＝＝0.4m，∴，∴BC＝7.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：樹高AB是9m．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．19.已知某蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示．（1）求這個反比例函數(shù)的解析式；（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過3A，那么用電器可變電阻應控制在什么范圍？【答案】（1）函數(shù)的解析式為I=；（2）用電器可變電阻應控制在12Ω以上的范圍內．【解析】【分析】（1）先由電流I是電阻R的反比例函數(shù)，可設I=，將點（20，1.8），利用待定系數(shù)法即可求出這個反比例函數(shù)的解析式；（2）將I≤3代入（1）中所求的函數(shù)解析式即可確定電阻的取值范圍．【小問1詳解】解：（1）電流I是電阻R的反比例函數(shù)，設I=，∵圖象經(jīng)過（20，1.8），∴1.8=，解得k=1.8×20=36，∴I=；【小問2詳解】解：∵I≤3，I=，∴≤3，∴R≥12，即用電器可變電阻應控制在12Ω以上的范圍內．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是正確地從中整理出函數(shù)模型，并利用函數(shù)的知識解決實際問題．20.如圖，在中，，D是邊上一點，．求證．【答案】詳見解析【解析】【分析】由題中線段長度得出，結合相似三角形的判定定理即可證明．詳解】證明：∵，，∴．∴．∵，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．21.某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【答案】（1）二、三這兩個月的月平均增長率為（2）當商品降價5元時，商品獲利4250元【解析】【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設2月份到3月份銷售額的月平均增長率為x，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關系列出方程求出x的值，即求出了平均增長率；（2）利用銷量×每件商品的利潤=4250求出即可．【小問1詳解】解：設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為；【小問2詳解】解：設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：當商品降價5元時，商品獲利4250元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，本題的關鍵在于理解題意，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．22.關于x的一元二次方程．（1）證明：不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩根為且滿足，求m的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其正負即可作出判斷；（2）利用根與系數(shù)的關系表示出兩根之積與兩根之和，已知等式變形代入代入計算即可求出m的值．【小問1詳解】∵∴不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；【小問2詳解】∵方程的兩根為∴,∵∴解得：【點睛】此題考查了根與系數(shù)的關系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．23.如圖，已知中，，點D邊上一點，且．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）可證，，從而可得，即可得證；（2）可得，，從而可證，即可得證．【小問1詳解】證明：，∴，，，，，．小問2詳解】證明：，，由（1）知：，，，，．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定及性質，掌握判定方法及性質是解題的關鍵．24.如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于，兩點，與反比例函數(shù)的圖象分別交于兩點．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）當時，求自變量x的取值范圍；（3）若點在軸上，且，求點的坐標．【答案】（1）一次函數(shù)的關系式為，反比例函數(shù)的關系式為（2）或（3）點或【解析】【分析】（1）將的坐標代入反比例函數(shù)可得反比例函數(shù)的關系式，將的坐標代入一次函數(shù)可確定一次函數(shù)的關系式；（2）求出兩個函數(shù)的交點坐標，再根據(jù)圖象和交點坐標直接得出答案；（3）利用面積公式，列方程求解即可．【小問1詳解】解：將的坐標代入反比例函數(shù)得，，∴反比例函數(shù)的關系式為，將，的坐標代入一次函數(shù)得，，解得，∴一次函數(shù)的關系式為，【小問2詳解】由于方程組的解為，，∴一次函數(shù)與反比例的交點坐標為和(-4，)，又∵，∴，∴當時，自變量x的取值范圍是或，故答案為：或；【小問3詳解】∵，