2021年中考數(shù)學熱身反比例函數(shù)含解析

反比例函數(shù)

一、挑選題

1.函數(shù)y=5的圖象經過點（1,-2）,則k的值為（）

11

A.yB.-yC.-2D.2

4

2.如圖，正比例函數(shù)y=kx（k>0）與反比例函數(shù)y=1的圖象相交于A,C兩點，過點A

作x軸的垂線交x軸于點B,連接BC,則aABC的面積等于（）

A.2B.4C.6D.8

3.已知反比例函數(shù)y=5（k#O）的圖象經過點（1,3）,則此反比例函數(shù)的圖象在（）

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限

二、填空題

4.在平面直角坐標系xoy中，直線y=x向上平移1個單位長度得到直線1.直線1與反比例函數(shù)

y=5的圖象的一個交點為A（a,2）,則k的值等于.

5.一個反比例函數(shù)的圖象經過點P（-l,5）,則這個函數(shù)的表達式是.

9

6.如圖，在反比例函數(shù)y=［（x>0）的圖象上，有點P”Pz,P3,P?它們的橫

坐標依次為1，2,3,4.分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分

的面積從左到右依次為S”S2,S3,貝uS1+S2+S3二.

7.蓄電池電壓為定值，使用此電源時，電流1（安）與電阻R（歐）之間關系圖象如圖所

示，若點P在圖象上，則I與R（R>0）的函數(shù)關系式是

8.一個函數(shù)具有下列性質：①它的圖象經過點（-1,1）；②它的圖象在二、四象限

內；③在每個象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.則這個函數(shù)的解析式可以為—.

9.如圖，已知雙曲線d（x>0））經過矩形OABC邊AB的中點F,交BC于點E,且四

邊形OEBF的面積為2,則k=

10.如圖，若正方形0ABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數(shù)y=§（x>0）的圖

象上，則點E的坐標是（—，）

k

11.已知直線y=mx與雙曲線打q■的一個交點A的坐標為（-1,-2）,則m=；k=.

它們的另一個交點坐標是

12.如圖，直線0A與反比例函數(shù)y=5(kWO)的圖象在第一象限交于A點，AB，x軸于點

B,△OAB的面積為2,則卜=.

三、解答題

14.已知：關于x的一元二次方程mx,-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為X1，X2(其中x】Vx2).若y是關于m的函數(shù)，且

y=x2-2xH求這個函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，結合函數(shù)的圖象回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條

件時，yW2m.

k

15.已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)y=7'的圖象都經過點A(a,4)

(1)求a和k的值;

(2)判斷點B(2”7)是否在該反比例函數(shù)的圖象上.

16.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點P(-2,1)和Q(l,m)

(1)求反比例函數(shù)的關系式；

(II)求Q點的坐標和一次函數(shù)的解析式；

(III)在同一直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)圖象的示意圖，并觀察圖象回答：當x為何值

時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

5-k

17.已知正比例函數(shù)丫=1?的圖象與反比例函數(shù)y=Y(k為常數(shù)，kWO)的圖象有一個交

點的橫坐標是2.

(1)求兩個函數(shù)圖象的交點坐標；

5_ir

(2)若點A(x”y,),B(x2,y2)是反比例函數(shù)y=丫圖象上的兩點，且x,

<X2,試比較y”y2的大小.

18.如圖，一次函數(shù)丫=1?+1)的圖象與反比例函數(shù)y=T的圖象相交于A、B兩點.

(1)根據圖象，分別寫出A、B的坐標；

(2)求出兩函數(shù)解析式；

(3)根據圖象回答：當x為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值.

反比例函數(shù)

參考答案與試題解析

一、挑選題

1.函數(shù)y=5的圖象經過點（1,-2）,貝心的值為（）

11

A.yB?-]C?一2D-2

【考點分析】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

【專題】計算題；待定系數(shù)法.

【考點剖析】將點（1，-2）代入函數(shù)解析式尸?（kWO）即可求得k的值.

【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為尸￡（kWO）,

函數(shù)y=5的圖象經過點（1,-2）,

-2=p得k=-2.

故選：C.

【點評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，即圖象上點的橫縱坐標即

為一定值.

4

2.如圖，正比例函數(shù)y=kx（k>0）與反比例函數(shù)y=q"的圖象相交于A,C兩點，過點A

作x軸的垂線交x軸于點B,連接BC,則aABC的面積等于（)

y

A.2B.4C.6D.8

【考點分析】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【專題】計算題；壓軸題；數(shù)形結合.

【考點剖析】由于點A、C位于反比例函數(shù)圖象上且關于原點對稱，則SAOKA=SAOK,再根據反

比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義作答即可.

【解答】解：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍

成的直角三角形面積S是個定值，

即S=yk）.

所以△ABC的面積等于2X5|k|=|k=4.

故選B.

【點評】主要考查了反比例函數(shù)產與?中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸

垂線，所得矩形面積為|k|,是經?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做

此類題一定要正確理解k的幾何意義.圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標

軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S=*|k|.

3.已知反比例函數(shù)y=5（k#O）的圖象經過點（1,3）,則此反比例函數(shù)的圖象在（）

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限

【考點分析】反比例函數(shù)的性質.

【專題】壓軸題.

【考點剖析】利用反比例函數(shù)的性質，k=3>0,函數(shù)位于一、三象限.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=5(kWO)的圖象經過點(1,3),

k

代入y=q*(k#0)得，k=3,即k>0,

根據反比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限.

故選B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質，重點是y=5中k的取值.

二、填空題

4.在平面直角坐標系xoy中，直線y=x向上平移1個單位長度得到直線1.直線1與反比例函數(shù)

尸號的圖象的一個交點為A(a,2),則k的值等于2.

【考點分析】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；一次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】計算題.

【考點剖析】根據題意可知直線1為y=x+l,把交點A(a,2)代入直線1可求a,即可得

A點坐標，再代入反比例函數(shù)可求k.

【解答】解：根據題意可知直線1為y=x+l,

因為直線1與反比例函數(shù)y=《的圖象的一個交點為A(a,2),則a=l,即點A(l,2),

把(1,2)代入反比例函數(shù)尸§得2號，解得k=2.

故答案為：2.

【點評】主要考查了圖象的平移和用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.先設根據一次函數(shù)求

出點A的坐標，再把已知點的坐標代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式.

5

.一個反比例函數(shù)的圖象經過點則這個函數(shù)的表達式是丫=-一.

5P(-l,5),-------x-

【考點分析】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

【專題】待定系數(shù)法.

【考點剖析】先設y=《，再把已知點的坐標代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式.

【解答】解：設反比例函數(shù)為y=5.

把x=-l,y=5代入，得

k=-5.

5

5

故答案為：y=-q.

【點評】本題比較簡單，考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，是中學階段

的重點內容.

6.如圖，在反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象上，有點R,巳，P”P”它們的橫

坐標依次為1,2,3,4.分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分

3

的面積從左到右依次為S|,S2,$3,則S|+S2+S3=_]_.

【考點分析】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【專題】數(shù)形結合.

【考點剖析】根據反比例函數(shù)的幾何意義，可知圖中所構成的陰影部分的總面積正好是從

點R向x軸、y軸引垂線構成的長方形面積減去最下方的長方形的面積，據此作答.

【解答】解：由題意，可知點Pi、Pz、P：,、P』坐標分別為：(1,2),(2,1),

21

(3,y),(4,y).

解法一：

VS,=1X(2-1)=1,

21

$2=1x(1-=《，

QJ)0

211

S=ix(-7-—)

3□z0

113

??S1+Sz+S3=1+]+6-2-

解法二：?..圖中所構成的陰影部分的總面積正好是從點B向x軸、y軸引垂線構成的長

方形面積減去最下方的長方形的面積，

13

.\lX2-yXl=2-.

3

故答案為：y.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)產4中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引X軸、y

軸垂線，所得矩形面積為Iki,是經?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，

做此類題一定要正確理解k的幾何意義.

7.蓄電池電壓為定值，使用此電源時，電流1(安)與電阻R(歐)之間關系圖象如圖所

36

示，若點P在圖象上，則I與R(R>0)的函數(shù)關系式是I卡.

【考點分析】根據實際問題列反比例函數(shù)關系式.

【專題】跨學科.

【考點剖析】先由點P的坐標求得電壓的值，再根據等量關系“電流=電壓+電阻”可列出關

系式.

【解答】解：觀察圖象易知P與S之間的是反比例函數(shù)關系，所以可以設1=/，

由于點（3,12）在此函數(shù)解析式上，

?\k=3X12=36,

36

-U=T-

36

故本題答案為：1=左.

【點評】解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出

它們的關系式.

8.（2021?臨夏州）一個函數(shù)具有下列性質：①它的圖象經過點（-1,1）；②它的圖

象在二、四象限內；③在每個象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.則這個函數(shù)的解

析式可以為丫=-2.

--------x-

【考點分析】反比例函數(shù)的性質.

【專題】壓軸題；開放型.

【考點剖析】根據反比例函數(shù)的性質解答.

【解答】解：設符合條件的函數(shù)解析式為y=5，

?.?它的圖象經過點（-1,1）把此點坐標代入關系式得k=-1,

這個函數(shù)的解析式為y=-§.

【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質.

9.如圖，已知雙曲線廠與"(x>0))經過矩形OABC邊AB的中點F,交BC于點E,且四

邊形0EBF的面積為2,則k=2.

【考點分析】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【考點剖析】加入設F(x,y)表示點B坐標，再根據四邊形0EBF的面積為2,列

出方程，從而求出k的值.

【解答】解：設F(x,y)E(a,b)那么B(x,2y)

,/點E在反比例函數(shù)解析式上,

?.?S、Ac()E_=^1'ab-_'^1'k,

???點F在反比例函數(shù)解析式上,

?.?S、^A0F:_="1^"xy_="1^"k,

"?'S四邊彩(?BF=SSEKMC0-S^COE-S&A0F,且S四邊彩OEBf^Z，

11

；.2xy-yk-,xy=2,

11

.\2k-/-yk=2,

：.k=2.

【點評】本題的難點是根據點F的坐標得到其他點的坐標.在反比例函數(shù)上的點的橫

縱坐標的積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù).

10.如圖，若正方形0ABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數(shù)y=^(x>0)的圖

象匕則點E的坐標是J零I—將L.

a

【考點分析】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【專題】壓軸題.

【考點剖析】在正方形中四邊都相等，由反比例的性質可知$口。皿=1,即0A=l.若假定點E的

縱坐標為m,則橫坐標為1+m,因為在反比例函數(shù)圖象上任意一點的橫坐標和縱坐標之積都等

于比例系數(shù)k=l,所以可列方程進行解答.

【解答】解：依據比例系數(shù)k的幾何意義可得正方形OABC的面積為1.

所以其邊長為1,

設點E的縱坐標為m,則橫坐標為1+m,

所以m(1+m)=1,

初徂e=，「遍T

2一2

由于不合題意,所以應舍去,

痂娓i

故m=g.

,,赤+1

l+m=2-

故點E的坐標是(夸且-T、

，2

故答案為：(當工，'亙)

2

【點評】以比例系數(shù)k的幾何意義為知識基礎，結合正方形的面積設計了一道中考題，由

此也可以看出比例系數(shù)k的幾何意義在解答問題中的重要性.

k

11.已知直線y=mx與雙曲線y=q"的一個交點A的坐標為（-1,-2）,則m=2:k=

2；它們的另一個交點坐標是（1,2）.

【考點分析】反比例函數(shù)圖象的對稱性.

【專題】壓軸題；待定系數(shù)法.

【考點剖析】首先把已知點的坐標代入，即可求得m,k的值；再根據過原點的直線與雙

曲線的交點關于原點對稱的性質，進行求解.

k

【解答】解：根據題意，得：-2--1Xm,-2匚1，

解得：m=2,k=2.

又由于另一個交點與點（-1,-2）關于原點對稱，則另一個交點的坐標為（1,2）.

故答案為：（1,2）.

【點評】本題利用了待定系數(shù)法確定出了m,k的值，還利用了過原點的直線與雙曲線的交

點關于原點對稱的性質.

12.如圖，直線0A與反比例函數(shù)y=《（kWO）的圖象在第一象限交于A點，AB，x軸于點

【考點分析】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【專題】數(shù)形結合.

【考點剖析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直

角三角形面積S是個定值，即s=*|k|.

【解答】解：由題意得：Ik|=2：

又由于反比例函數(shù)在第一象限，k>0；

貝IJk=4.

故答案為：4.

【點評】主要考查了反比例函數(shù)?中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸

垂線，所得三角形面積為"jlkl，是經?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想,

做此類題一定要正確理解k的幾何意義.

13.圖象經過（1,2）的正比例函數(shù)的表達式為y=2x.

【考點分析】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式.

【專題】壓軸題；待定系數(shù)法.

【考點剖析】本題中可設圖象經過（1,2）的正比例函數(shù)的表達式為丫=1?,然后結合題

意，利用方程解決問題.

【解答】解：設該正比例函數(shù)的表達式為丫=1?

,它的圖象經過（1,2）

；.2=k

...該正比例函數(shù)的表達式為y=2x.

【點評】此類題目需靈活運用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，然后結合題意，利用方程解決問題.

三、解答題

14.已知：關于x的一元二次方程mx?-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為X”X2(其中Xi〈X2).若y是關于m的函數(shù)，且

y=x2-2xi,求這個函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，結合函數(shù)的圖象回答：當自變量ni的取值范圍滿足什么條

件時，yW2m.

?—r-T-r+--廠-i—i--i

【考點分析】拋物線與X軸的交點.

【專題】證明題；探究型.

【考點剖析】(1)本題的突破口在于利用△.化簡得到(m+2),AO得到△>().

(2)由求根公式得到x的解，由y=X2-2x,求出關于m的解析式.

【解答】(1)證明：Vmx2-(3m+2)x+2m+2=0是關于x的一元二次方程，

；.△=[-(3m+2)]2-4m(2m+2)=m2+4m+4=(m+2)

?當m>0時，(m+2)2>o,即△>().

方程有兩個不相等的實數(shù)根.

/口(3/2)±(irrl-2)

(2)解:由求根公式,得,=-------西------

_2/2,、

x=或x=l.

ID

Vm>0,

2nri22(nrH)〉］

mm

Vxi<x2,

_2m+2

??Xi=l,

乙ID

2m+22

/.y=x2-2XF-2X1=—.

IDID

2

即尸飛（m＞。）為所求.

一一2

⑶解：在同一平面直角坐標系中分別畫出yq（m＞。）與y=2m（m＞。）的圖象.

由圖象可得，當m'l時，yW2m.

【點評】本題是一道代數(shù)綜合題，綜合了一元二次方程、一次函數(shù)、用函數(shù)的觀點看不

等式等知識.

15.已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)y=1■的圖象都經過點A（a,4）

（1）求a和k的值；

（2）判斷點B（2&,-M）是否在該反比例函數(shù)的圖象上.

【考點分析】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】計算題；待定系數(shù)法.

【考點剖析】(1)把點A(a,4),分別代入一次函數(shù)y=x+3與反比例函數(shù)y=q■的解析

式，可求出k的值，從而求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)把點B(2亞，-近)代入該反比例函數(shù)的解析式，看是否符合即可.

【解答】解：(1)?.?一次函數(shù)y=x+3的圖象過點A(a,4),

??a+3=4,

?.?反比例函數(shù)y=1"的圖象過點A(1,4),

Ak=4.

(2)當x=2我時，丫=后方圾，

而九一"

.?.點B(2”M‘，XM)不在y=『4的圖象上.

【點評】本題比較簡單，考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，及反比例函數(shù)

上點的坐標特征.

16.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點P(-2,1)和Q(l,m)

(1)求反比例函數(shù)的關系式；

(II)求Q點的坐標和一次函數(shù)的解析式；

(III)在同一直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)圖象的示意圖，并觀察圖象回答：當x為何值

時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

【考點分析】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】壓軸題；數(shù)形結合；待定系數(shù)法.

【考點剖析】(1)使用待定系數(shù)法，先設反比例函數(shù)關系式為y=77，觀察圖象可得其過點P

(-2,1)；可得反比例系數(shù)k的值；進而可得反比例函數(shù)的解析式；

(2)由(1)的結果，可得Q的坐標，結合另一交點P(-2,1)；可得直線的方

程；(3)結合圖象，找一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方的部分即可.

【解答】解：(1)設反比例函數(shù)關系式為y=《

?反比例函數(shù)圖象經過點P(-2,1)

Ak=-2

...反比例函數(shù)關系式y(tǒng)=-?.

一-2,

(2)?.?點Q(l,m)在丫=-一上

.".m=-2

AQ(1,-2)

設一次函數(shù)的解析式為y=ax+b

土,^fl=-2a+b

所以有〈,,

[-2=a+b

解得a=-1,b=-1

所以直線的解析式為

y=-x-1.

(3)示意圖，當xV-2或OVxVl時,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

【點評】本題考查用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，并通過圖象判斷函數(shù)的性質.

17.已知正比例函數(shù)丫=1?的圖象與反比例函數(shù)丫=丁(k為常數(shù)，kWO)的圖象有一個交

點的橫坐標是2.

(1)求兩個函數(shù)圖象的交點坐標；

5-k

(2)若點A(x”y.),B(x2,y2)是反比例函數(shù)丫=々一圖象上的兩點，且x,

<x2,試比較y”力的大小.

【考點分析】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】綜合題.

'y=kx

【考點剖析】(1)交點的坐標就是方程組45-k的解，把x=2代入解次方程組即得交

y=----

X

點坐標；

(2)根據反比例函數(shù)的增減性和圖象位置，通過分類討論，就能比較y“力的大小.

5-kR-k

【解答】解：(1)將x=2代入正比例函數(shù)丫=1?的圖象與反比例函數(shù)y=q一中，得：2k=Q",

解得：k=l.