2021年陜西省渭南市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（文科）（一） （解析版）

2021年陜西省渭南市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢測(cè)試試卷(文科)

一、選擇題(共12小題).

1.已知集合A={x|x-2>0},B=\x\(x-4)(x+1)<0},則AOB=()

A.{x\-l<x<2}B.{x|2<x<4}C.{x\-l<x<4}D.{x|x>2}

2.泰+3i=()

A.2+2/B.2-2iC.-2+2zD.-2-2z

3.記S“為等差數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和，已知S“=2〃2+3〃，則數(shù)列{斯}的公差為()

A.4B.2C.1D.—

2

4.已知函數(shù)/(x)=3?+帆3,是奇函數(shù)，則/(2)=()

A.—B.C.—D.

9999

5.在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國(guó)各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面

臨巨大損失.2011?2020年上半年的票房走勢(shì)如圖所示，則下列說法正確的是()

A.自2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

A.

22

7.已知點(diǎn)A（/?,〃）在橢圓—5—=1上，則/+〃2的最大值是（）

42

A.5B.4C.3D.2

8.同時(shí)拋擲兩枚骰子，正面朝上的點(diǎn)數(shù)都大于3的概率是（）

A?■—-B?—C,—D.—

12642

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與

一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為JT;，外

部大正方形的外接圓半徑為主返，直角三角形中較大的銳角為a,那么tan[-=（）

22

10.在三棱錐P-ABC中，PAJ_平面ABC,PA=AC=4,AB=BC=a/5,則三棱錐P-ABC外

接球的表面積是()

A."B.412Lc.41nD.處巫

436

11.已知函數(shù)/(x)=e"+sin無(wú)，若。=/(log311),c=f(--log23)?則。，

b,c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

22

12.已知雙曲線C：二_2—=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，A(0,4),當(dāng)

88

△M4F的周長(zhǎng)最小時(shí)，△AMF的面積為()

A.12B.8C.6D.4

二、填空題(共4小題).

13.已知向量二E滿足1口=2咱=4，且Z?E=-4V§，則向量之，E的夾角是.

‘x-y>0

14.若x,y滿足約束條件<x+y-440，則2=工-丁的最大值為.

y>l

15.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”若S令=雪，a三且彳吟，則數(shù)列｛斯｝的公比q

Sm32a35m+7

16.如圖，在正方體A8C￡>-ABCQi中，點(diǎn)E在棱上，且2￡>E=Ea,F是線段85

上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：

①EF_LAC；

②存在一點(diǎn)尸，使得AE〃CF；

③三棱錐。=AEF的體積與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.(一)必考題：共60分.

17.在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,8C邊上的高為叵z,/\ABC

2

的面積為〃sinAcosC+csirt4cos8=J*cosA.

(1)求。和角A；

(2)求AABC的周長(zhǎng).

18.為了解某農(nóng)場(chǎng)的種植情況，該農(nóng)場(chǎng)的技術(shù)人員對(duì)種植出來的水果進(jìn)行抽樣檢測(cè)，將測(cè)得

的水果重量分成[15.5,16.5),[16.5,17.5),[17.5,18.5),[18.5,19.5),[19.5,20.5),

[20.5,21.5]六組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.

(1)估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)的水果重量的平均數(shù)(同一組當(dāng)中的水果重量用該組的中間值代替)；

(2)從樣本中重量不小于19.5克的水果中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)水果的重量不小于

20.5克的概率.

19.如圖，PAJ_平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形，A￡)=2BC=2AB=6,AD//BC,

ABLBC.

(1)證明：PCA.CD.

(2)若PC=A￡>,點(diǎn)E在線段CD上，且CE=2ED,求三棱錐A-PBE的體積.

20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離比它到直線/：x+5=0的距離小2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程.

(2)過點(diǎn)尸作斜率為左(AW0)的直線/'與軌跡E交于點(diǎn)4,B,線段AB的垂直平分線

交x軸于點(diǎn)M證明：一為定值.

IFN

21.已知函數(shù)f(x)=ax2+sinx-］(〃eR).

TTTT

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線)，=/(x)在點(diǎn)(亍，f(方?))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三

角形的面積；

(2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有/(無(wú))》sinx-cosx,求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

(V=1—+

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《"為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

ly=2+t

以X軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2-2pcos0-6psin0+8

=0,已知直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)”,2),求情T扁的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)，(x)=|2x+3|-|x-1|.

(1)求不等式/(x)>0的解集；

(2)若f(x)的最小值是且a+2加■3c=2|m|,求/+/+『的最小值.

參考答案

一、選擇題(共12小題).

1.己知集合4=國(guó)入-2>0},B={x|(x-4)(x+1)<0},則AAB=()

A.{x\-l<x<2}B.{x|2<x<4}C.{x|-l<x<4}D.{x\x>2]

解：’.?A={x|x>2},8={x|-lVx<4},

.".AAB={x\2<x<4}.

故選：B.

A.2+2zB.2-2iC.-2+2/D.-2-2/

解：危+3i=2-i+3i=2+2L

故選：A.

3.記S“為等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，已知￡=2/+3〃，則數(shù)列｛斯｝的公差為()

A.4B.2C.1D."

2

解：設(shè)d為數(shù)列｛%｝的公差，

中文,c,n(n-l),d2,/d、

0/^Sn=na^------d=yn+(a「q)n，

所以?=2,則"=4.

故選：4.

4.已知函數(shù)/(x)=3是奇函數(shù)，則/(2)=()

A82口82「80

999

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=37+少3”是奇函數(shù)，則/(-x)=-/(x),

即3'+/3*=-(3*+。3*),變形可得(a+1)(3V+3-V)=0,

解得“=-1,

則f(2)=3-2-32=察，

y

故選：D.

5.在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國(guó)各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面

臨巨大損失.2011?2020年上半年的票房走勢(shì)如圖所示，則下列說法正確的是（)

A.自2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

解：對(duì)于選項(xiàng)A：由圖易知自2011年以來，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減,

所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)由圖易知自2011年以來，增速為負(fù)的有3年，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C：2017年上半年的票房收入增速最大，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)。：2020年上半年的票房收入增速最小，所以選項(xiàng)。正確.

故選：D.

c.

x

令/(x)=0,則/川x|=0,即x=l或-1,

：.f(x)過點(diǎn)(1,0)和(-1,0),排除選項(xiàng)O,

故選：B.

22

7.已知點(diǎn)4(w,n)在橢圓三_二_=］上，則，/+/的最大值是()

42

A.5B.4C.3D.2

22

解：由題意可得至則毋=4-2〃2,故,〃2+〃2=4-〃2.

42

因?yàn)?所以0W『W2,所以2W4-/W4,即2?病+〃2?4.

故選：B.

8.同時(shí)拋擲兩枚骰子，正面朝上的點(diǎn)數(shù)都大于3的概率是()

A.——B.--C.—D.—

1264

解：兩枚骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,則(a,b)的所有情況有36種，

其中符合條件的情況有(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,4),(6,5),(6,6),共9種，

故所求概率P洛0.

364

故選：C.

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與

一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖).如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為:，外

部大正方形的外接圓半徑為反但，直角三角形中較大的銳角為a,那么tanW=()

2

3

解：。由題意可知小正方形的邊長(zhǎng)為1,大正方形的邊長(zhǎng)為5,

設(shè)直角三角形短的直角邊為x,則長(zhǎng)的直角邊為x+1,

由勾股定理得x?+(%+1)2=25,

解得x=3,

43

所以sina==，cosa=-r-)

bb

.a

sin77

故選：D.

10.在三棱錐尸-ABC中，PAJ_平面ABC,PA=AC=4,AB=BC=a/5,則三棱錐P-ABC外

接球的表面積是()

C.41nD冗

解：如圖，設(shè)O為三棱錐P-A8C外接球的球心，

O'為aABC外接圓的圓心，連接00',OB,O'B.

在△A8C中，AC=4,AB=BC=2v用，

(2V5)2+(2V5)2-423

則由余弦定理可得COS/AK>

2X275X2V5-5

從而sinNABC=4,故△ABC的外接圓半徑“0,B=0.A：J

52sinZABC2

因?yàn)镻A=4,所以。。'=2,

所以外接球半徑R=OB=―B2O702=Y/1,

故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4TTR2=41TT.

故選：C.

11.已知函數(shù)/(x)=Z+siar,若a=/(log311),b=c=f(ylog23)，則。，

b,c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

解：由題意可得/(x)=/+cosx,

當(dāng)七>0時(shí)，ex>1,-IWcosxWl,則/(x)>0,

故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

los3los

因?yàn)閘og311>log39=2,24_2_^90<C-^-log23=log43<CL

所以f(Iog311)>f(2^OS4^)>f(iog23),

所以a>b>c.

故選：D.

12.已知雙曲線C：式_工：=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，A(0,4),當(dāng)

88

△MA尸的周長(zhǎng)最小時(shí)，的面積為()

A.12B.8C.6D.4

解：設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為尸'，則。=2加,尸(-4,0),F(4,0),

由雙曲線的定義知，|MF|-|MF|=2a=4&,

所以|MQ=|M尸|+4血，

所以△M4F的周長(zhǎng)為|M4|+|MQ+|AF|=|M4|+(眼斤|+4&)+4&》MA|+|M尸|+8&=

IAPI+8&=12加，

即當(dāng)M在M'處時(shí)，△MA尸的周長(zhǎng)最小，此時(shí)直線AF'的方程為y=-x+4,

<y=-x+4

聯(lián)立《J了2,解得y=l,即加'=1,

--------1

88

故的面積為5=/尸尸卜(珈-4)=yX8X(4-1)=12.

故選：A.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知向量之，芯滿足|沼=2年=4,且=-443'則向量之，芯的夾角是一三―?

解：由題意得I】=4,|口=2,

/-fa，b「甸3V3

cos〈a，b/=^-'

|a||b|4X22

則向量Z,E的夾角是耳.

b

故答案為：學(xué).

6

x-y>0

14.若x,y滿足約束條件,x+y-4<0，則z=x-y的最大值為2.

y》l

x-y〉O

解：畫出約束條件<x+y-4=<0表示的平面,區(qū)域，如圖陰影部分所示；

y》l

x-y-4=0

x-y=O

-5-4-3-2-1234

乙1

-2

-3

-4

-5

目標(biāo)函數(shù)2=》7可化為尸X-z,

平移目標(biāo)函數(shù)知，y=x-z過點(diǎn)C時(shí)，直線在y軸上的截距最小，Z取得最大值；

由，求得C(3,1),

[x+y-4=0

所以Z的最大值為Z,皿=3-1=2.

故答案為：2.

15.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”若爭(zhēng)-思，氏身后吟，則數(shù)列｛斯｝的公比q

Sm32@35m+7

1

—~2~

解：當(dāng)數(shù)列｛6｝的公比q=l時(shí)，注=2,與冉=籌矛盾，故4=1不符合題意.

所以m=5,即q，=J,則

故答案為：

2

16.如圖，在正方體ABC。-A|B|C1D|中，點(diǎn)E在棱上，且2OE=EG，尸是線段BB|

上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：

(T)EF±AC；

②存在一點(diǎn)尸，使得AE〃GF；

③三棱錐AEF的體積與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②③.

對(duì)于①，連接2D由于。EJ_AC,ACLBD,

所以4cL平面BDEF,

則ACLEF,故①正確.

對(duì)于②，在A4上取一點(diǎn)“，使得A|”=2AH,連接EC”EH,HB1,

易證四邊形為平行四邊形，則C|E〃Bi”，CiE=BH

若BF=2BiF,易證四邊形AH8F為平行四邊形，

^\AF//BiH,AF=B{H,從而A尸〃C】E,AF^C\E,

故四邊形AEG廠為平行四邊形，于是AE〃C尸，故②正確.

對(duì)于③，設(shè)AB=”，三棱錐。?-AEF的體積與三棱錐F-AQE的體積相等，

[1723

則VD「AEF=VFTDlE不■X萬(wàn)X寸XaXa=春

即三棱錐。LAEF的體積與正方體的棱長(zhǎng)有關(guān)，與點(diǎn)尸的位置無(wú)關(guān)，故③正確.

故答案為：①②③.

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.（一）必考題：共60分.

17.在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,8c邊上的高為AABC

2

的面積為加inAcosC+csinAcos8=J&cosA.

(1)求a和角4；

(2)求△ABC的周長(zhǎng).

解：(1)由題意可得與a2=J§，解得。=2,

因?yàn)閎sinAcosC+csinAcosB=\/^acosA，

所以sinBsinAcosC+sinCsinAcosB:V^sinAcosA，

因?yàn)閟iiLlWO,

所以sinBcosC+sinCcosB=>/3cosA，

所以sinA二愿cosA，

所以tanA=我，

IT

則由AE(0,n),可得Af.

(2)由余弦定理可得a'/AM-2bccosA=b2+c2-be,可得4=b2+c2-be,①，

因?yàn)锽C的面積為所以“ie條"所以反=4,②，

聯(lián)立①②，解得b=c=2,由。=2,可得△ABC為等邊三角形，

可得△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=6.

18.為了解某農(nóng)場(chǎng)的種植情況，該農(nóng)場(chǎng)的技術(shù)人員對(duì)種植出來的水果進(jìn)行抽樣檢測(cè)，將測(cè)得

的水果重量分成[15.5,16.5),[16.5,17.5),[17.5,18.5),[18.5,19.5),[19.5,20.5),

[20.5,21.5]六組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.

(1)估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)的水果重量的平均數(shù)(同一組當(dāng)中的水果重量用該組的中間值代替)；

(2)從樣本中重量不小于19.5克的水果中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)水果的重量不小于

20.5克的概率.

解：(1)設(shè)該農(nóng)場(chǎng)的水果重量的平均數(shù)為—X，則—x=-^1T(16X2+17X5+18X14+19X13+20

40

X4+21X2)=18.45.

(2)重量不小于19.5克的水果有6個(gè)，記為小b,c,d,E,F,其中重量不小于20.5

克的水果有2個(gè)，記為巴F.

從mb,c,d,E,尸中任取2個(gè)，有(mb),(a,c),(a,d),(a,E),(a,

F),(b,c),(b,d),(力，E),(b,F),(c,d),(c,E),(c,F),

(d,E),(4F),(E,F),共15種情況，

至少有1個(gè)水果的重量不小于20.5克的有(mE),(mF),(4￡),Ch,F),

(c,E),(c,F),(d,￡),(d,尸)，(E,F),共9種情況，

則至少有1個(gè)水果的重量不小于20.5克的概率P咯=1?.

155

19.如圖，PAJ_平面A8CD,四邊形A8CZ)為直角梯形，4。=28c=2AB=6,AD//BC,

ABA.BC.

(1)證明：PCLCD.

(2)若PC=A￡>,點(diǎn)E在線段CD上，且CE=2ED,求三棱錐A-PBE的體積.

【解答】(1)證明：由題意易知

作垂足為“，則C”=C，=3,故CD個(gè)爐

因?yàn)锳O^Ad+CZA所以AC_LC￡>,

因?yàn)镻A_L平面ABCD,CDu平面4BCO,所以AP_LCD

因?yàn)锳Cu平面APC,APu平面APC,且ACCAP=A,所以CQJ_平面APC,

因?yàn)镻Cu平面APC,所以COJ_PC.

(2)解：因?yàn)镻C=AD=6,AC=3\/2,且尸AJLAC,所以APTPC2-AC

由(1)可知/AOC=45°,則NBCD=135°.CE=2ED,所以CE=2?,DE=&.

則△相＞￡的面積為而X6X乎=3,ZkBCE的面積為丹3乂2a義與=3,

11R

從而△/1比：的面積為/(3+6)x3-3-3號(hào)，

故三棱錐P-ABE的體積U-X善義加與2

即三棱錐A-PBE的體積為生但.

2

20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離比它到直線/：x+5=0的距離小2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程.

(2)過點(diǎn)下作斜率為k(kWO)的直線/'與軌跡E交于點(diǎn)A,B,線段AB的垂直平分線

|AB

交x軸于點(diǎn)N,證明:為定值.

IFN

解：(1)由題意知，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離與到直線kx+3=0距離相等,

由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以F(3,0)為焦點(diǎn)，以直線小x+3=0為準(zhǔn)線

的拋物線.

所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為尸=I2x.

(2)證明：設(shè)直線八x=ty+3),

"x=ty+3

聯(lián)立得y2-12fy-36=0.

,y2=12x

設(shè)A(制，yO,B(必，”)，G為線段AB的中點(diǎn),

=2

則丫1+丫2=123xj+x2t(yj+y2)+6=12t+6-所以G(6/+3,6r),

所以線段A8的垂直平分線的方程為廠6f=-f(x-6產(chǎn)-3),則N(6/+9,0)

所以1m|=6產(chǎn)+9-3=6y+6,|AB|=x1+x2+6=12t2+12.

所以畏定值.

21.已知函數(shù)/(x)=o￥2+sinx-1(CZGR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(夕，f(夕))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三

角形的面積;

(2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f(x)2sinx-cosx,求。的取值范圍.

解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x2+sinjc-1,則/(x)=2x+cosx.

因?yàn)閒弓)耳，f'(子)=兀，

TFTT兀2

所以y^f(x)在點(diǎn)伶，孔勺))處的切線方程為

V-=K(X-，即

TT2JT

令x=0,y=-----令y=0,x=—.

44

則該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為上X—X-=—.

24432

(2)設(shè)g(x)=f(x)-sia￥+cosx=6fx2+cosx-1,則g'(x)=2ax-sinx,g(x)是偶

函數(shù).

設(shè)力(x)=g'(x)=2ax-sinx,則”(x)=2a-cosx.

①當(dāng)aA，時(shí)，h'(x)=2a-cosx^O,所以〃(x)是增函數(shù)，即g，(x)是增函數(shù).

又g(0)=0,所以g(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，

因?yàn)間(0)=0,g(x)是偶函數(shù)，故g(x)20恒成立，即a》/符合題意.

②當(dāng)a4總時(shí)，”(工)=2。-cosxWO,所以力(x)是減函數(shù)，即g'(x)是減函數(shù).

因?yàn)間'(0)=0,所以g(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

因?yàn)間(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<0,則a<q不符合題意.

③當(dāng)總時(shí)，存在唯一xo€(0,IT),使得“(xo)=0,

因?yàn)椤ā?x)=2a-8sx