第六章 曲線和曲面

第六章曲面立體第一節(jié)曲線與曲面第二節(jié)曲面立體的投影第三節(jié)平面切割曲面體第四節(jié)直線和曲面立體相交第五節(jié)平面體與曲面體相交第六節(jié)兩曲面體相交第一節(jié)曲線與曲面

一、基本概念

由曲面包圍或者由曲面和平面包圍而成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球和環(huán)是工程上常見的曲面立體。（一）曲線

曲線

曲線可以看成是一個(gè)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的軌跡。

平面曲線：曲線上各點(diǎn)都是在同一個(gè)平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）?？臻g曲線：曲線上各點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。（二）曲面

曲面

曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成。

直線曲面：由直線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面。

曲線曲面：由曲線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面回轉(zhuǎn)體是由一母線（直線或曲線）繞一固定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的，因此圓柱體、圓錐體、球體和環(huán)體都是回轉(zhuǎn)體。

圓柱曲面是一條直線圍繞一條軸線始終保持平行和等距旋轉(zhuǎn)而成。母線圓錐面是一條直線與軸線交于一點(diǎn)始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的。

母線球面是由一個(gè)圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。（三）素線與輪廓線

（四）緯圓

由回轉(zhuǎn)體的形成可知，母線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，該圓垂直軸線，此圓既為緯圓。

形成曲面的母線，它們?cè)谇嫔系娜魏挝恢梅Q為素線。我們把確定曲面范圍的外形線稱為輪廓線（或轉(zhuǎn)向輪廓線），輪廓線也是可見與不可見的分界線。當(dāng)回轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸在投影體系中擺放的位置合理時(shí)，輪廓線與素線重合，這種素線稱為輪廓素線。

在三面投影體系中，常用的四條輪廓素線分別為：形體最前邊素線、最后邊素線、最左邊素線和最右邊素線。第二節(jié)曲面立體的投影

（一）圓柱體的投影

（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個(gè)圓形的底面所圍成的。

（2）安放位置我們只研究圓柱軸線垂直于某一投影面，底面、頂面為投影面平行面的情況。（3）投影分析

（4）作圖步驟1）用點(diǎn)劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；2）有直徑畫水平投影圓；4）由“高平齊、寬相等”作側(cè)面投影矩形。

3）由“長(zhǎng)對(duì)正”和高度作正面投影矩形；

注意：非輪廓線的素線投影不必畫出。

（二）圓錐體的投影

（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平面所圍成的。

（2）安放位置當(dāng)圓錐體在投影面體系中的位置一經(jīng)確定后，它對(duì)各投影面的投影輪廓也隨之確定。如右圖所示，圓錐軸線垂直于H面，底平面為水平面。（3）投影分析

H面投影

V面投影W面投影（4）作圖步驟

⑴用點(diǎn)劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；

⑵畫出底面圓的三面投影。底面為水平面，水平投影為反映實(shí)形的圓，其它兩投影積聚為直線段，長(zhǎng)度等于底圓直徑；⑶依據(jù)圓錐的高度畫出錐頂點(diǎn)S的三面正投影。

⑷畫輪廓線的三面正投影，即連接等腰三角形的腰。當(dāng)素線的投影不是輪廓線時(shí)，均不畫出。（三）圓球體的投影

1、投影分析

圓球體的三面投影都是大小相等的圓，是球體在三個(gè)不同方向的輪廓線的投影，其直徑與球徑相等。2、作圖步驟⑴用點(diǎn)劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直徑為直徑畫三個(gè)等大的圓，如右圖所示。bac三、曲面立體上點(diǎn)和直線的投影

（一）圓柱面上的點(diǎn)和線

1．圓柱面上點(diǎn)的投影

如右圖所示，若已知圓柱面上兩點(diǎn)A和B和正面投影a'和b'，求出它們的水平投影a、b和側(cè)面投影a"、b"。分析：根據(jù)已知條件a'可見，b'不可見，可知A點(diǎn)在前半個(gè)圓柱面上；B點(diǎn)在后半個(gè)圓柱面上。利用圓柱的水平投影有積聚性，可直接找到a和b，然后根據(jù)已知二投影求出a″和b″。由于A點(diǎn)在左半圓柱面上，所以a″為可見；而B點(diǎn)在右半圓柱面上，所以b″為不可見。2．圓柱面上線的投影

【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上的AB線段的正面投影a′b′，求其另兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

（二）圓錐面上的點(diǎn)和線

1．圓錐面上點(diǎn)的投影

圓錐體的投影沒有積聚性，在其表面上取點(diǎn)的方法有兩種：

方法一：素線法。【例4-6】如下圖所示，已知圓錐面上一點(diǎn)A的正面投影a′，求a、a″。

解：（1）分析

（2）作圖

方法二：緯圓法。

【例4-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一點(diǎn)A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

2．圓錐表面上線的投影

【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表面上的線段AB的正面投影，求其另兩面投影。

作圓錐面上線段的投影的方法：是求出線段上的端點(diǎn)、輪廓線上的點(diǎn)、分界點(diǎn)等特殊位置的點(diǎn)及適當(dāng)數(shù)量的一般點(diǎn)，并依次連接各點(diǎn)的同面投影。

解：（1）分析

（2）作圖

（三）圓球體上的點(diǎn)和線

1．圓球體上的點(diǎn)

由于圓球體的特殊性，過球面上一點(diǎn)可以作屬于球體的無數(shù)個(gè)緯圓，為作圖方便，常沿投影面的平行面作相應(yīng)投影面的緯圓，這樣過球面上任一點(diǎn)可以得到H、V、W三個(gè)方向的緯圓。因此只要求出過該點(diǎn)的緯圓投影，即可求出該點(diǎn)的投影。

【例4-9】如下圖所示，已知球面上的一點(diǎn)A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析

由a′得知A點(diǎn)在左上半球上，可以利用水平緯圓解題。（2）作圖

2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上的點(diǎn)A、B、C及線段EF的一個(gè)投影，求其另兩個(gè)投影。解：（1）分析

（2）作圖

小結(jié)：求曲面上點(diǎn)的投影的方法主要有素線法和緯圓法兩種，在采用這兩種方法時(shí)應(yīng)著重弄清以下概念：（1）某一點(diǎn)在曲面上，則它一定在該曲面的素線或緯圓上。（2）求一點(diǎn)投影時(shí)，要先求出它所在的素線或緯圓的投影。（3）為了熟練地掌握在各種曲面上作素線或緯圓的投影，必須了解各種曲面的形成規(guī)律和特性。第三節(jié)立體表面交線的投影

一、立體表面的截交線

平面與錐面的交線

圓柱面與錐面的交線

曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一般為封閉的平面曲線。

（2）截交線上的每一點(diǎn)，都是截平面與曲面立體表面的共有點(diǎn)。

求曲面立體截交線的方法：求出足夠的共有點(diǎn)，然后依次連接起來，即得截交線。

求共有點(diǎn)的方法有：素線法、緯圓法和輔助平面法。

曲面立體截交線的特征：平面與圓柱面相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線相對(duì)位置的不同，所得的截交線有三種情況1．圓柱上的截交線圓柱面上的截交線截平面P的位置截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截交線空間形狀圓橢圓兩條平行直線投影圖【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。

解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點(diǎn)。這些點(diǎn)包括輪廓線上的點(diǎn)、特殊素線上的點(diǎn)、極限點(diǎn)以及橢圓長(zhǎng)短軸的端點(diǎn)。2）求一般點(diǎn)。為了作圖準(zhǔn)確，在截交線上特殊點(diǎn)之間選取一些一般位置點(diǎn)。3）連點(diǎn)。將所求各點(diǎn)的側(cè)面投影順次光滑連接4）判別可見性。

2．圓錐上的截交線

當(dāng)平面與圓錐截交時(shí)，根據(jù)截平面與圓錐軸線相對(duì)位置的不同，可產(chǎn)生五種不同形狀的截交線：截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截平面平行于圓錐面上一條素線截平面平行于圓錐面上兩條素線截平面通過錐頂截交線空間形狀圓橢圓拋物線雙曲線兩條素線投影圖

圓錐面上的截交線【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投影，求截交線的投影及實(shí)形。

解：（1）分析

（2）作圖

1）求長(zhǎng)軸端點(diǎn)

2）求短軸端點(diǎn)

3）求最前、最后素線與P面的交點(diǎn)E、F

4）求一般點(diǎn)L、N

5）連接各點(diǎn)并判別可見性

6）求截面的實(shí)形

【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

3．球上的截交線

球體上的截面不論其角度如何，所得截交線的形狀都是圓。截平面距球心的距離決定截交圓的大小，經(jīng)過球心的截交圓是最大的截交圓。（1）球上截交線的特征：

（2）球上截交線的投影分析4．帶缺口的曲面立體的投影

【例4-18】如下圖所示，給出圓柱切割體的正面投影和水平投影，補(bǔ)畫出側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點(diǎn)。

2）求一般點(diǎn)。

【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。

解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點(diǎn)

2）求一般點(diǎn)

3）連點(diǎn)并判別可見性

【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，畫出其水平投影及側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖二、立體表面的相貫線

在建筑形體中常常會(huì)遇到由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本形體相交（或稱相貫）而成的組合形體，兩相交的立體稱為相貫體。它們的表面交線稱為相貫線（或稱相交線）。1.相貫線是兩形體表面的共有線。2.相貫線上的點(diǎn)即為兩形體表面的共有點(diǎn)，同時(shí)也是兩形體表面的分界點(diǎn)。立體相交可分為三種情況：（1）平面立體與平面立體相交，（2）平面立體與曲面立體相交，

（3）曲面立體與曲面立體相交。相貫線的特性:1．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點(diǎn)

【例4-24】如下圖所示，求一般位置直線AB與圓柱的貫穿點(diǎn)。解：1）分析

2）作圖

①求水平投影m、n。

②根據(jù)點(diǎn)、線的從屬關(guān)系，求出m′、n′。③判別可見性。

（2）利用輔助平面法求貫穿點(diǎn)【例4-25】如圖所示，求正垂線CD與圓錐面的貫穿點(diǎn)。解：1）分析

2）作圖

①求正面投影k′、l′。②求水平投影k、l。

③判別可見性。

(一)平面立體與曲面立體的表面交線

平面立體與曲面立體相交時(shí)，其相貫線的特征：

1.相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。作相貫線投影圖的方法：先求出轉(zhuǎn)折點(diǎn)，再根據(jù)求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。

2.各段平面曲線或直線，就是平面立體上各棱面截割曲面立體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的折點(diǎn)，就是平面立體的棱線與曲面立體表面的交點(diǎn)。【例4-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。

解：（1）分析（2）作圖1）求連接點(diǎn)。

2）求特殊點(diǎn)。3）判別可見性并連線。

【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎(chǔ)的主要輪廓線，求作相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點(diǎn)。

3）連點(diǎn)。4）判斷可見性。2）同樣用素線法求出兩對(duì)稱的一般點(diǎn)E、F的正面投影e′、f′及側(cè)面投影e″、f″；(二)兩曲面立體表面的交線

兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線。兩曲面體表面相貫線的性質(zhì)：組成相貫線的所有相貫點(diǎn)，均為兩曲面體表面的共有點(diǎn)。求相貫線的原理：先求出一系列的共有點(diǎn)，然后依次連接各點(diǎn)，即得相貫線。求相貫線的方法：

1.積聚投影法——相交兩曲面體，如果有一個(gè)表面投影具有積聚性時(shí)，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點(diǎn)，然后依次連成相貫線。2.輔助平面法——根據(jù)三面共點(diǎn)原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點(diǎn)，即為相貫點(diǎn)。

求共有點(diǎn)時(shí)，應(yīng)先求特殊點(diǎn)，再求一般點(diǎn)。相貫線上的特殊點(diǎn)包括：可見性分界點(diǎn)，曲面投影輪廓線上的點(diǎn)，極限位置點(diǎn)（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。選擇輔助平面的原則是：