數(shù)值分析研3 0曲線擬合

第三章曲線擬合的最小二乘

/函數(shù)平方逼近初步NumericalValueAnalysis一.問題的提出插值法是使用插值多項(xiàng)式來逼近未知或復(fù)雜函數(shù)的，它要求插值函數(shù)與被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相同，而在其他點(diǎn)上沒有要求。在非插值節(jié)點(diǎn)上有時(shí)函數(shù)值會(huì)相差很大。若要求在被插函數(shù)的定義區(qū)間上都有較好的近似，就是最佳逼近問題。必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么是最佳逼近.

最佳逼近是在函數(shù)空間M中選

P(x)滿足

但由于絕對(duì)值函數(shù)不宜進(jìn)行分析運(yùn)算,常將上式化為來討論，于是最佳逼近問題變?yōu)樽罴哑椒奖平鼏栴}這即為連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近.對(duì)于離散的問題,最佳平方逼近問題為:就是常說的曲線擬合的最小二乘法.

最佳逼近二.預(yù)備知識(shí)內(nèi)積:常采用的內(nèi)積與范數(shù)實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:一.實(shí)例講解3.2數(shù)據(jù)擬合(最小二乘法)纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近---------(1)必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn).這就是所謂的曲線擬合問題！就是從數(shù)據(jù)集中找出總體規(guī)律，并構(gòu)造一條能反映這種規(guī)律的曲線。這里不要求曲線嚴(yán)格通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，但希望曲線能盡量地靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)，也就是誤差按某種標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最小。二、問題的提法定義平方誤差(偏差平方和):我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是---------(2)---------(3)三、法方程組由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)由多元函數(shù)取極值的必要條件得即---------(4)即引入記號(hào)則由內(nèi)積的概念可知---------(5)---------(6)顯然內(nèi)積滿足交換律方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形式-----(8)并且其系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣.根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解即是的最小值所以因此作為一種簡(jiǎn)單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為平方誤差例1.回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組根據(jù)內(nèi)積公式，可得法方程組為解得平方誤差為擬合曲線與散點(diǎn)的關(guān)系如右圖:四、加權(quán)最小二乘法各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的權(quán):即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱為權(quán)系數(shù).

定義加權(quán)平方誤差為-----(9)使得由多元函數(shù)取極值的必要條件得即引入記號(hào)定義加權(quán)內(nèi)積-----(10)矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-----(11)---(12)平方誤差為作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為-----(13)

3.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近1.最佳平方逼近問題-----(14)2.解法(法方程)-----(15)最小二乘法方法評(píng)注曲線擬和的最小二乘法是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的常用方法。最佳逼近可以在一個(gè)區(qū)間上比較均勻的逼近函數(shù)且具有方法簡(jiǎn)單易行，實(shí)效性大，應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)。但當(dāng)法方程組階數(shù)較高時(shí)，往往出現(xiàn)病態(tài)。因此必須謹(jǐn)慎對(duì)待和加以巧妙處理。有效方法之一是引入正交多項(xiàng)式以改善其病態(tài)性。指數(shù)模型和雙曲線模型-----線性化擬合超定