2023-2024學年寧夏石嘴山市高二上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年寧夏石嘴山市高二上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題第I卷一、單選題：每小題5分，共40分.1．已知雙曲線的實軸長為，焦點為，則該雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．2．圓與圓的位置關(guān)系是．A．內(nèi)含 B．外離 C．外切 D．相交3．已知橢圓()的一個焦點是圓的圓心，且短軸長為，則橢圓的左頂點為（

）A． B． C． D．4．已知則（

）A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．235．頂點在原點，對稱軸為軸，頂點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（

）A． B．C． D．6．已知向量，向量，滿足，則（

）A． B． C． D．7．已知直線，圓，若直線l與圓C相切，則k=（

）A．0 B． C．或0 D．或08．已知平面α內(nèi)兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．關(guān)于雙曲線與雙曲線，下列說法正確的是（

）.A．它們有相同的漸近線 B．它們有相同的頂點C．它們的離心率不相等 D．它們的焦距相等10．下列說法錯誤的是A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過，兩點的所有直線的方程為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為11．如圖所示，棱長為3的正方體中，E，F(xiàn)分別在，上，且則（

）A．B．C．D．與是異面直線12．已知橢圓的左、右焦點分別為，拋物線，（）與橢圓C在第一象限的交點為P，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，且，則．14．直線與橢圓有公共點，則的取值范圍是．15．傾斜角為且在x軸上的截距為a的直線被圓所截得的弦長為2，則．16．設(shè)為拋物線的焦點，點在拋物線上，點，且，則.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．直線l經(jīng)過兩直線l1:2x-y+4=0與l2:x-y+5=0的交點,且與直線x-2y-6=0垂直.(1)求直線l的方程.(2)若點P(a,1)到直線l的距離為,求實數(shù)a的值.18．已知：，，，求：(1)；(2)19．求滿足下列條件的圓錐曲線的標準方程：(1)與橢圓有相同的焦點，且一條漸近線方程為的雙曲線；(2)已知直線被拋物線截得弦長為9，求該拋物線方程.20．如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的B處島嶼，速度是，問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間為多長？21．如圖，已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD=AB=2，M，N分別為AB，PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD;(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值.(3)若Q是PB上的動點，當△ADQ的面積最小時，求Q到平面PMC的距離.22．已知橢圓的離心率為，點在C上，O為坐標原點.(1)求C的方程;(2)已知直線，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.①證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.②若，求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程.1．B【分析】由題意列方程，解出，即可得出答案.【詳解】由題意可得出：，解得：，所以，所以雙曲線的標準方程為.故選：B.2．B【詳解】圓的標準方程即：，圓的標準方程即：，兩圓的圓心距為：，兩圓的半徑為：，滿足，故兩圓相交.本題選擇D選項.點睛：(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)當兩圓相交時求其公共弦所在的直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個圓和這條直線就可以求出公共弦長．3．D先分析出圓的圓心從而確定出橢圓的焦點坐標，再根據(jù)短軸長度求解出橢圓方程中的值，從而左頂點可求.【詳解】因為圓即為，所以圓心為，所以橢圓的一個焦點坐標為，故，又因為，則，所以，所以，所以左頂點為.故選：D.本題考查求解橢圓的左頂點坐標，涉及圓心坐標求解以及利用求解的值，難度較易.4．C【分析】應用向量的坐標運算及數(shù)量積的坐標運算即可.【詳解】，所以.故選：C5．D【分析】求出的值，結(jié)合焦點的位置可得出所求拋物線的標準方程.【詳解】頂點在原點，對稱軸為軸的拋物線的標準方程為．由頂點到準線的距離為4知，故所求的拋物線的標準方程為．故選：D.6．D根據(jù)題意，設(shè)，有，求出、的值，計算可得答案．【詳解】解：向量，，，向量，1，，若，設(shè)則有，則，則有，，則，故選：．7．D【分析】由題意可得圓心到直線的距離等于半徑，列方程可求出的值.【詳解】圓的圓心，半徑，因為直線與圓C相切，所以，所以，解得或，故選：D8．A【分析】求出向量的坐標后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐標運算列出方程組，求解即可.【詳解】，由為平面α的法向量，得,即解得故選：A.9．CD【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，逐一分析選項即可.【詳解】雙曲線的漸近線為：，雙曲線的漸近線方程為：，故A錯誤；雙曲線的頂點坐標為，雙曲線的頂點坐標為，故B錯誤；雙曲線的離心率，雙曲線的離心率，，故C正確；雙曲線的焦距2c=10，雙曲線的焦距2c=10，故D正確.故選：CD．本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查學生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，屬基礎(chǔ)題.10．ACD【分析】對于A．根據(jù)直線垂直的等價條件進行判斷；對于B．根據(jù)直線斜率以及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷；對于C．當直線和坐標軸平行時，不滿足條件；對于D．過原點的直線也滿足條件．【詳解】解：對于A．當，兩直線方程分別為和，此時也滿足直線垂直，故A錯誤，對于B．直線的斜率，則，即，則，，故B正確，對于C．當，或，時直線方程為，或，此時直線方程不成立，故C錯誤，對于D．若直線過原點，則直線方程為，此時也滿足條件，故D錯誤，故選：ACD．本題主要考查命題的真假判斷，涉及直線方程，直線斜率以及直線垂直的位置關(guān)系的判斷，難度不大．11．AC【分析】建立空間直角坐標系，應用空間向量判斷位置關(guān)系.【詳解】如圖，以為原點所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，對A，，即，A正確；對B，，B錯誤；對C，，則C正確，D錯誤.故選：AC12．CD【分析】作垂直于拋物線的準線于點，則拋物線的定義得出，設(shè)，則，由橢圓的定義可得，在中利用余弦定理可求出的值，從而可求出離心率.【詳解】由題意可知拋物線的焦點為，準線方程為，準線過點，作垂直于拋物線的準線于點，則，因為‖軸，所以，所以,設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理得,所以，整理得，解得或，當時，橢圓的離心率為，當時，橢圓的離心率為，綜上，橢圓離心率為或，故選：CD關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓離心率的求法，考查拋物線與橢圓的綜合問題，考查余弦定理的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意利用拋物線和橢圓的定義求解，考查計算能力，屬于較難題.13．3【分析】利用向量的坐標運算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.14．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，方程有兩個解，，解不等式，即可求解?！驹斀狻柯?lián)立整理得.因為直線與橢圓有公共點，所以，解得或.故答案為:.本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15．【分析】設(shè)直線方程，求得圓心到直線的距離，再利用弦心距，半弦長，半徑構(gòu)成的直角三角形可得解．【詳解】傾斜角為且在x軸上的截距為a的直線方程為：，即，圓心到直線的距離為：，，得，故答案為此題考查了圓的弦長問題，難度不大．此題考查了圓的弦長問題，難度不大．16．【分析】由題意可設(shè)，且滿足，因為，由兩點間的距離公式代入可求出，即可求出.【詳解】由題意可得，，，設(shè)，且滿足，此時，則，解得：，此時，所以，故.故17．（1）；（2）或【詳解】試題分析：（1）解方程組可得直線的交點為(1,6)，然后根據(jù)垂直可得直線l的斜率，由點斜式可得l的方程；（2）有點到直線的距離公式可得，解得a=1或a=6，即為所求．試題解析：(1)由得所以直線l1與l2的交點為(1,6),又直線l垂直于直線x-2y-6=0,所以直線l的斜率為k=-2，故直線l的方程為y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)因為點P(a,1)到直線l的距離等于,所以=,解得a=1或a=6.所以實數(shù)a的值為1或6.18．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系設(shè)，從而得到方程組，求出，利用向量垂直得到方程，求出，得到；（2）利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】（1）因為，所以設(shè)，即，故，解得，，，∴，解得，；（2），.19．(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)漸近線方程設(shè)出待定雙曲線方程，然后結(jié)合焦點坐標相同即可求解.（2）畫出圖形，聯(lián)立拋物線方程與過焦點的直線方程，結(jié)合韋達定理以及拋物線定義即可列出關(guān)于的方程，從而即可求解.【詳解】（1）因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以不妨設(shè)雙曲線的方程為，即，而橢圓的焦點在軸上，從而，雙曲線標準方程為，且，所以焦點坐標為，從而，解得，所以滿足題意的雙曲線的標準方程為.（2）如圖所示：由題意直線被拋物線截得的弦為，分別過向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，其中為拋物線的焦點，聯(lián)立，消去得，所以由韋達定理有又因為直線方程可變形為，由拋物線定義可知，解得，所以滿足題意的拋物線的標準方程為.20．外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到；0.5小時【分析】以為原點，東西方向為軸建立直角坐標系，求出直線與圓的方程，計算圓心到直線的距離和半徑比較，可知這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到；計算弦長，可求得持續(xù)時間為多長．【詳解】如圖，以為原點，東西方向為軸建立直角坐標系,則，，圓方程，直線方程：，即，設(shè)到距離為，則，所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，設(shè)監(jiān)測時間為，則（小時），答：外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，時間是0.5小時21．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取的中點，連接，則可證得四邊形為平行四邊形，從而得MN∥，進而利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可；（3）由于，所以最小時，最小，而為等腰直角三角形，所以當為時，最小，然后利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以‖，，因為為的中點，所以，因為四邊形為矩形，所以‖，，所以‖，，所以四邊形為平行四邊形，所以MN∥，因為平面，平面，所以MN∥平面PAD;（2）解：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成的角為，則，所以PD與平面所成角的正弦值；（3）解：因為平面，所以平面，因為平面，所以，所以，所以最小時，最小，因為為等腰直角三角形，所以當為中點時，，此時最小，則，所以，設(shè)到平面的距離為，則.22．(1)，(2)①證明見解析，②△OAB面積的最大值為，此時直線的方程為，或.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，解方程組可求出，從而可求出橢圓方程；（2）①設(shè),將直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點坐標公式表示點的坐標，從而可表示出OM的斜率，化簡可得結(jié)論；②由①可得，則直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)弦長公式表示出，再由點到直線的距離公式求出到直線的距離，從而可表示出△OAB面積，化簡變形后利用基本不等式可求出其最大值，進而可求出直線方程.【詳解】（1