2023-2024學(xué)年湖南省岳陽市高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省岳陽市高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本大題共12小題，共60.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．2．將一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知，則（

）A． B． C． D．4．世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在給歐拉的信中提出：任一大于的偶數(shù)都可寫成兩個奇素數(shù)之和這個猜想至今沒有完全證明，目前最前沿的成果是年我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“”，即他證明了任何一個充分大的偶數(shù)，都可以表示為兩個數(shù)之和，其中一個是素數(shù)，另一個或為素數(shù)，或為兩個素數(shù)的乘積，被稱為“陳氏定理”我們知道素數(shù)又叫質(zhì)數(shù)，是指在大于的自然數(shù)中，除了和它本身以外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)請問同學(xué)們，如果我們從不大于的自然數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，這個兩個數(shù)都是素數(shù)有多少種不同的情況？（

）A． B． C． D．5．下列選項中的垃圾分類圖標(biāo)，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．6．中，若：：：：，為的重心，則面積：面積：面積（

）A．：： B．：： C．：： D．：：7．如圖，在平行四邊形中，，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，連接，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．8．在某種濃度的鹽水中加入“一杯水”后，得到新的鹽水，它的濃度為，又在新鹽水中加入與前述“一杯水”的重量相等的純鹽后，鹽的濃度變?yōu)?，那么原來鹽水的濃度為（

）A． B． C． D．9．一條拋物線的頂點為，且與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，則、、中為正數(shù)的（

）A．只有 B．只有 C．只有 D．只有和10．反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象只能是（

）A． B．C． D．11．如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第個圖形需要根小木棒，拼第個圖形需要根小木棒，拼第個圖形需要根小木棒若按照這樣的方法拼成的第個圖形需要根小木棒，則的值為（

）A． B． C． D．12．如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點，，則和面積之比為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知實系數(shù)一元二次方程的兩根分別為，且，則實數(shù)m的值為.14．對于實數(shù)，，定義符號，其意義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，例如：，若關(guān)于的函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為．15．火車勻速通過長米的鐵橋用了秒，如果它的速度加快倍，通過米長的鐵橋就只用了秒，求這列火車的長度為．16．如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點.連接CE，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.連接AF，EF，DF，則周長的最小值是.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計算：(1)；(2)解方程：．18．某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活，開展了“第二課堂”的活動，推出了以下四種選修課程：繪畫；唱歌；演講；十字銹學(xué)校規(guī)定：每個學(xué)生都必須報名且只能選擇其中的一個課程學(xué)校隨機抽查了部分學(xué)生，對他們選擇的課程情況進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，解決下列問題：(1)這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是_____；(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整；(3)求扇形統(tǒng)計圖中，課程部分的圓心角的度數(shù)；(4)如果該校共有名學(xué)生，請你估計該校報的學(xué)生約有多少人？19．通過實驗研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)隨時間分鐘變化的函數(shù)圖象如圖所示越大表示學(xué)生注意力越集中當(dāng)時，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)和時，圖象是線段．(1)當(dāng)時，求注意力指標(biāo)數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系式；(2)一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解分鐘，問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于．20．閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”如圖所示，它揭示了為非負(fù)數(shù)展開式的各項系數(shù)的規(guī)律．根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：(1)直接寫出_____．(2)的展開式中項的系數(shù)是_____．(3)利用上述規(guī)律求的值，寫出過程．21．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，與相交于點，的延長線與過點的直線相交于點，且．(1)求證：是的切線；(2)已知，且與，分別相交于點，，若，，，求的值．22．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點，點在點的左側(cè)，與軸相交于點，連接．(1)求點，點的坐標(biāo)；(2)如圖，點在線段上點不與點重合，點在軸負(fù)半軸上，，連接，，，設(shè)的面積為，的面積為，，當(dāng)取最大值時，求的值；(3)如圖，拋物線的頂點為，連接，，點在第一象限的拋物線上，與相交于點，是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．1．B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二次根式的運算法則，以及三角函數(shù)的特殊角的取值，即可求解．【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤．故選：B2．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合三角板的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：因為，所以所以，故選：C．3．C【分析】根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】因為，所以，故選：C4．A【分析】根據(jù)題意，分析可得有個符合題意的素數(shù)，由列舉法可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在不大于的自然數(shù)中，素數(shù)有、、、，共個，則取出個數(shù)都是素數(shù)的取法有,,,,,共6種，故選：A．5．C【分析】根據(jù)中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義，結(jié)合選項即可得解．【詳解】由中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義可知，選項C符合題意，其他選項均不符合．故選：C6．D【分析】由重心的性質(zhì)判斷．【詳解】如圖所示，延長三條線分別交三角形三邊于三點，由重心的概念知其為各邊的中點，則的面積的面積，的面積的面積，所以，同理可證明．所以面積：面積：面積：：．故選：D7．B【分析】過點作，求出，再結(jié)合扇形面積公式，即可求解．【詳解】解：過點作，如圖所示：，則，,則梯形AECD的面積，扇形ADE的面積所以陰影部分面積為．故選：B．8．B【分析】根據(jù)溶液濃度溶質(zhì)，可得到兩個方程，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)原鹽水溶液為克，其中含純鹽克，后加入“一杯水”為克，依題意得：，解得，故原鹽水的濃度為，故選：B．9．A【分析】根據(jù)有兩根和頂點坐標(biāo)的符號確定，的符號，再根據(jù)韋達(dá)定理確定的符號．【詳解】解：因為與軸有兩個交點所以時，，即，設(shè)兩根為，因為頂點為，所以，所以，．又因為與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，所以，因為，所以．故選：A10．B【分析】利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，對分類討論，判斷符合的選項.【詳解】當(dāng)時，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞減，而一次函數(shù)的斜率大于，故此時，A、B、C、D都不可能．當(dāng)時，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞增，而一次函數(shù)的斜率滿足，故只有B成立．當(dāng)時，，反比例函數(shù)在上應(yīng)有，且單調(diào)遞增，而一次函數(shù)的斜率滿足，故此時，A、B、C、D都不可能，故選：B．11．B【分析】拼第個圖形需要根小木棒，拼第個圖形需要根小木棒，拼第個圖形需要根小木棒，從而拼第個圖形需要根小木棒，由此能求出．【詳解】解：拼第個圖形需要根小木棒，拼第個圖形需要根小木棒，拼第個圖形需要根小木棒，則拼第個圖形需要根小木棒，解得．故選：B．12．B【分析】連接OC,過點B作于M.利用幾何關(guān)系證明出，得到，即可求解.【詳解】如圖,連接OC,過點B作于M.∵BC是⊙O的切線,OC為半徑,∴,即.∵DE是⊙O的直徑,.又∵，∴.∵∴∴∴.故選：B.13．【分析】利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)即可得解.【詳解】由題意可得，解得或，，則，解得.故答案為.14．【分析】根據(jù)符號的意義，結(jié)合函數(shù)圖像求解即可．【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖像，根據(jù)符號的意義可知，截取交點及其下方的圖像，得到函數(shù)的圖像：聯(lián)立方程，解得．所以函數(shù)最大值為.故．15．米【分析】根據(jù)速度、時間、路程之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】解：火車以原來的速度通過米長的鐵橋，要用秒，火車原來的速度為米秒，火車的長度為米．故米．16．##【分析】由已知條件可得，則得，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則當(dāng)三點共線時，取得最小值，再結(jié)合已知條件可求出周長的最小值【詳解】點為高上的動點.將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，且是邊長為6的等邊三角形，，，點在射線上運動，如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)交于點，則，在Rt中，，則，則當(dāng)三點共線時，取得最小值，即，，，在中，，周長的最小值為.故答案為.17．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)零次冪的性質(zhì)、算術(shù)平方根的意義、特殊角的余弦值、負(fù)整數(shù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）；（2）當(dāng)時，，解得，故，當(dāng)時，，解得，故，綜上所述，原方程的解為或．18．(1)人(2)圖見解析(3)(4)人【分析】由條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的概念與頻率公式求解．【詳解】（1）人，這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是人；（2）樣本中選擇課程的人數(shù)為：人，補全條形統(tǒng)計圖如下：（3），即課程部分的圓心角的度數(shù)為；（4）人，即該校名學(xué)生中報的大約有人．19．(1)，；(2)可以.【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出注意力指標(biāo)數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系式.（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，求出學(xué)生在聽這道題時，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于的值，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，而其圖象經(jīng)過點，，，因此，解得，，；所以注意力指標(biāo)數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系式為，（2）觀察圖象知，當(dāng)時，，當(dāng)時，設(shè)，顯然函數(shù)圖象過點，即有，解得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，令，得，解得，當(dāng)時，令，得，解得，顯然有，所以老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛趯W(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于時，講授完這道競賽題.20．(1)(2)8(3)答案見解析【分析】（1）由楊輝三角規(guī)律求解，（2）由二項式定理求解，（3）轉(zhuǎn)化為展開后求解．【詳解】（1）由楊輝三角圖可得（2）由楊輝三角的性質(zhì)可得的展開式二項式系數(shù)可知展開式中項的系數(shù)為；（3）21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）欲證明是的切線，只需證明．（2）由∽，得，根據(jù)條件即可求出，再由∽，得，根據(jù)條件即可求出，，，，再通過計算發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而可以證明，求出即可得出答案．【詳解】（1）連接，如圖所示：是直徑，，即，，，，，是的切線．（2），，

，，∽，，即，又，，，，∽，，，，在中，，，在中，，，，即，，，，，，∽，，即，．關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定定理和性質(zhì).22．(1)，(2)1(3)存在，【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求出點，的坐標(biāo)；（2）由點，，的坐標(biāo)可得出，，的長度，由點的坐標(biāo)及，可得出，，的長，利用三角形的面積計算公式，即可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可找出當(dāng)取最大值時的值；（3）存在，設(shè)點的坐標(biāo)為，連接，過點作軸于點，過點作軸，過點作軸