人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.2.2全等三角形的判定2(邊角邊)

八年級(jí)上冊(cè)12.2.2

三角形全等的判定

（第2課時(shí)）2021/5/91學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解“SAS”公理的形成過程。2.掌握“SAS”公理的幾何意義，會(huì)用定理進(jìn)行推理證明。3.注意：掌握“SSA”不能保證兩個(gè)三角形全等的反例圖形的幾何意義。自學(xué)指導(dǎo)自學(xué)課本：第37-39頁，包括課后練習(xí)2021/5/92

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號(hào)語言表達(dá)為：三角形全等判定方法1知識(shí)回顧:2021/5/93C2021/5/94D2021/5/95

三步走：①準(zhǔn)備條件②擺齊條件③得結(jié)論注重書寫格式2021/5/96除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考(2)三條邊(1)三個(gè)角(3)兩邊一角(4)兩角一邊當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有四種情況:SSS不能!?2021/5/97繼續(xù)探討三角形全等的條件：兩邊一角思考：已知一個(gè)三角形的兩條邊和一個(gè)角，那么這兩條邊與這一個(gè)角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖二在圖一中，∠A是AB和AC的夾角，符合圖一的條件，它可稱為“兩邊夾角”。符合圖二的條件，通常說成“兩邊和其中一邊的對(duì)角”2021/5/98尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問題1先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即兩邊和它們的夾角分別相等）．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ABC2021/5/99ABCA′

DE尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)象：兩個(gè)三角形放在一起能完全重合．說明：這兩個(gè)三角形全等．

畫法：（1）畫∠DA′E=∠A；（2）在射線A′D上截取

A′B′=AB，在射線

A′E上截取A′C′=AC；（3）連接B′C′．B′

C′

2021/5/910三角形全等判定方法2用符號(hào)語言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法2021/5/911例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD證明:在△ACB和△ADB中

AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB(公共邊）∴△ACB≌△ADB（SAS）課堂練習(xí)2021/5/912CABDO在下列推理中填寫需要補(bǔ)充的條件，使結(jié)論成立：(1)如圖，在△AOB和△DOC中已知AO=DO，BO=CO，求證：△AOB≌△DOCAO=DO(已知)______=_______()BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）∠AOB∠DOC對(duì)頂角相等SAS證明：在△AOB和△DOC中2021/5/913(2).如圖，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD,AC=AB。求證：△AEC≌△ADB____=____(已知)∠A=∠A(公共角)____=____(已知)∴△AEC≌△ADB（）AEBDCAEADACABSAS證明：在△AEC和△ADB中2021/5/914證明三角形全等的步驟：1.寫出在哪兩個(gè)三角形中證明全等。（注意把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上）.2.按邊、角、邊的順序列出三個(gè)條件，用大括號(hào)合在一起.3.寫出結(jié)論.每步要有推理的依據(jù).2021/5/915在應(yīng)用時(shí)，怎樣尋找已知條件：已知條件包含兩部分，一是已知中給出的，二是圖形中隱含的（如公共邊，公共角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、外角、平角等）所以找條件歸結(jié)成兩句話：已知中找，圖形中看.平面幾何中常要說明角相等和線段相等，其說明常用方法：角相等――對(duì)頂角相等；同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等；兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線定義；等式性質(zhì)；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.線段相等的方法――中點(diǎn)定義；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等式性質(zhì).2021/5/916如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求證：△ABD≌△ACD．課堂練習(xí)2021/5/917

已知：如圖，MA＝NB，MC＝ND，∠M＝∠N．求證：AB＝CD．∠M∠N

MCND

(SAS）

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

等量減等量差相等

∴△AMC≌△BND∴AC=BD∴AC-BC=BD-BC∴AB=CD證明：在△AMC和△BND中課堂練習(xí)2021/5/918利用今天所學(xué)“邊角邊”知識(shí)，帶黑色的那塊．因?yàn)樗暾乇Ａ袅藘蛇吋捌鋳A角，一個(gè)三角形兩條邊的長度和夾角的大小確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就確定下來了．應(yīng)用“SAS”判定方法，解決簡單實(shí)際問題問題2某同學(xué)不小心把一塊三角形的玻璃從兩個(gè)頂點(diǎn)處打碎成兩塊（如圖），現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃．請(qǐng)問如果只準(zhǔn)帶一塊碎片，應(yīng)該帶哪一塊去，能試著說明理由嗎？2021/5/919問題:如圖有一池塘。要測池塘兩端A、B的距離，可無法直接達(dá)到，因此這兩點(diǎn)的距離無法直接量出。你能想出辦法來嗎？AB例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用2021/5/920ABCED在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長至D使CD=CA延長BC并延長至E使CE=CB連結(jié)ED，那么量出DE的長，就是A、B的距離.你知道為什么嗎？例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用按圖寫出“已知”“求證”，并加以證明已知：AD與BE交于點(diǎn)C，CA=CD，CB=CE.求證：AB=DE2021/5/921例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用AC=

DC（已知），∠1=∠2（對(duì)頂角相等），BC=EC（已知）

，證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）．∴

AB=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．2021/5/922FABDCE例2：點(diǎn)E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF

求證：△AFD≌△CEB分析：證三角形全等的三個(gè)條件兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∠A=∠C邊角邊AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）2021/5/923證明：∵AD//BC∴∠A=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

△AFD≌△CEB（SAS）∴AE+EF=CF+EF即AF=CE

擺齊根據(jù)寫出結(jié)論FABDCE指范圍準(zhǔn)備條件(已知）(已證）(已證）2021/5/924練習(xí)1、如圖，兩車從路段AB的一端A出發(fā)，分別向東，向西行進(jìn)相同的距離，到達(dá)C、D兩地，此時(shí)C、D到B的距離相等嗎？為什么？ADCB2021/5/9251.已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD△ABD和△CBD全等嗎？學(xué)以致用分析:△ABD≌△CBD邊:角:邊:AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已知)？ABCD(SAS)BD=BD(公共邊）證明：在△ABD和△CBD中

BA=BC（已知）∠ABD=∠CBD（已知）

BD=BD(公共邊）∴△ABD≌△CBD（SAS）追問：例1的已知條件不改變,問AD=CD嗎?BD平分∠ADC嗎？

2021/5/926已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD。問AD=CD，

DB平分∠ADC嗎？例題推廣ABCD2021/5/927ABCD變式：已知:AD=CD，BD平分∠ADC。

問∠A=∠C嗎？2021/5/9282.已知：如圖，AO=BO，DO=CO求證：AD∥CB歸納：判定兩條線段相等或二個(gè)角相等可以通過從它們所在的兩個(gè)三角形全等而得到。2021/5/929綜合提高已知：AB=AD，CB=CD.求證：AC⊥BD.分析：欲證AC⊥BD，只需證∠AOB=∠AOD，這就要證明

ABO≌ADO，它已經(jīng)具備了兩個(gè)條件：AB=AD，OA=AO,所以只需證∠BAO=∠DAO，為了證明這一點(diǎn)，還需證明

ABC≌ADC.證明：在

ABC和ADC中，AB=AD(已知），CB=CD（已知），AC=AC(公共邊）∴

ABC≌ADC（SSS），∴∠BAO=∠DAO(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在

ABO和ADO中，AB=AD(已知），

∠BAO=∠DAO(已證），AO=AO(公共邊）∴

ABO≌ADO（SAS），∴∠AOB=∠AOD(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴∠AOB=∠AOD=90°.∴AC⊥BD(垂直定義）.又∵∠AOB+∠AOD=180°(鄰補(bǔ)角定義）如右圖，2021/5/930如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=

AD，∠B=∠B，但△ABC和△ABD不全等．

探索“SSA”能否識(shí)別兩三角形全等問題3

兩邊一角分別相等包括“兩邊夾角”和“兩邊及其中一邊的對(duì)角”分別相等兩種情況，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎？ABCD2021/5/931

畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm

，AC=DF=3cm

．觀察所得的兩個(gè)三角形是否全等？

兩邊和其中一邊的對(duì)角這三個(gè)條件無法唯一確定三角形的形狀，所以不能保證兩個(gè)三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．探索“SSA”能否識(shí)別兩三角形全等2021/5/932課堂練習(xí)1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求證：△ABC≌△ADE.122、已知：如圖，AE是△ABC的中線，D是BC延長線上一點(diǎn)，且CD＝AB，∠BCA＝∠BAC.求證：AD＝2AE.ABCDE【點(diǎn)評(píng)】這里∠1和∠2不是所證三角形中的角，∠BAC和∠DAE才是三角形的內(nèi)角.所以須證∠BAC＝∠DAE，才能滿足①、②、③三個(gè)條件.

【分析】通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是一種常用的思考方法.若已知條件中有中線，常延長中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形.F2021/5/933證明題：3．已知:如圖，AD∥BC，AD＝CB.

求證:AB＝CD.【提示】連結(jié)AC，由△ABC≌△CDA，故AB＝CD.

4．已知:如圖，∠1＝∠2，BD＝CA.

求證:∠A＝∠D.

【提示】先證ΔABC≌ΔADC2021/5/934求證:(1)AE＝CF；(2)AE∥CF；(3)∠AFE＝∠CEF.5．已知:如圖，B、F、E、D在一條直線上，AB＝CD，BF＝ED，∠B＝∠D.

【提示】先證ΔABE≌ΔDCF6．已知：如圖，ABC為直線，EB⊥AC，BD＝BC，AB＝BE.

求證：AF⊥EC.【提示】求證△ABD≌△EBC，

得∠A＝∠E，因?yàn)椤螦DB＝∠EDF，∠A＋∠ADB＝90°，所以∠E＋∠EDF＝90°，

AF⊥EC.2021/5/935已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，F(xiàn)D⊥AD，垂足分別是A，D。求證：△EAB≌△FDCAEBCDF∟∟90°附加題2021/5/936已知：如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：△ABD≌△ACE證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB

即∠DAB=∠EAC

在△ABD和△ACE中，

AB=AC