直線和平面垂直

《直線與平面垂直的鑒定》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容分析：1.直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱直線與平面互相垂直．分析:定義中的“任意一條直線”就是“全部直線”．2.直線與平面垂直的鑒定定理：一條直線與一種平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．分析:定理將“直線與平面垂直”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“直線與直線垂直”的問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.3.直線與平面垂直的地位:直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊狀況，它是空間中線線垂直位置關(guān)系的拓展，又是面面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時(shí)它又是直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一．對(duì)直線與平面垂直的定義的研究遵照“直觀感知、抽象概括”的認(rèn)知過(guò)程展開(kāi)，而對(duì)直線與平面垂直的鑒定的研究則遵照“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初步運(yùn)用”的認(rèn)知過(guò)程展開(kāi)，通過(guò)該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和一定的推理論證能力，同時(shí)體會(huì)“平面化”思想和“降維”思想．二、目的分析:目的：理解直線與平面垂直的意義，掌握直線與平面垂直的鑒定定理．分析:1.借助對(duì)圖片、實(shí)例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義．2.通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納、概括出直線與平面垂直的鑒定定理．3.能運(yùn)用直線與平面垂直的鑒定定理，證明與直線和平面垂直有關(guān)的簡(jiǎn)樸命題：在平面內(nèi)選擇兩條相交直線，證明它們與平面外的直線垂直．4.能運(yùn)用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直，即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面．三、教學(xué)難點(diǎn)分析教學(xué)難點(diǎn)：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的鑒定定理及初步運(yùn)用．在直線與平面垂直的鑒定定理中，為什么最少要兩條直線，并且是兩條相交直線，學(xué)生的理解有一定的困難，由于定義中“任一條直線”指的是“全部直線”，這種用“有限”替代“無(wú)限”的過(guò)程造成學(xué)生形成理解上的思維障礙．同時(shí)，由于學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進(jìn)一步加強(qiáng)，在直線與平面垂直鑒定定理的運(yùn)用中，不知如何選擇平面內(nèi)的兩條相交直線證線面垂直（抑或選擇平面證線面垂直從而得到線線垂直）造成證明過(guò)程中無(wú)從著手或發(fā)生錯(cuò)誤．四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）觀察歸納直線與平面垂直的定義1.直觀感知問(wèn)題1：請(qǐng)同窗們觀察圖片，說(shuō)出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出某些類(lèi)似的例子嗎？設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備．師生活動(dòng)：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書(shū)的書(shū)脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題．2.觀察思考思考：如何定義一條直線與一種平面垂直呢？我們已經(jīng)學(xué)過(guò)直線和平面平行的鑒定和性質(zhì)，懂得直線和平面平行的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關(guān)系,直線和平面垂直的問(wèn)題同樣能夠轉(zhuǎn)化為考察一條直線和一種平面內(nèi)直線的關(guān)系，然后加以解決．問(wèn)題2：（1）如圖1，在陽(yáng)光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關(guān)系是什么？（2）旗桿AB與地面上任意一條但是旗桿底部B的直線B1C1的位置關(guān)系又是什么？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來(lái)思考問(wèn)題，通過(guò)觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬性．師生活動(dòng)：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時(shí)間的變化而移動(dòng)的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直．3.抽象概括問(wèn)題3、通過(guò)上述觀察分析，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何定義一條直線與一種平面垂直？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義．師生活動(dòng)：學(xué)生思考作答，教師補(bǔ)充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“全部直線”是同意詞，定義是說(shuō)這條直線和平面內(nèi)全部直線垂直．同時(shí)給出線面垂直的記法與畫(huà)法．定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．畫(huà)法：畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，普通把直線畫(huà)成與表達(dá)平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2．4.辯析舉例辨析：下列命題與否對(duì)的，為什么？（1）如果一條直線垂直于一種平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．（2）如果一條直線垂直一種平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任始終線．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性．由（1）使學(xué)生明擬定義中的“任意一條直線”是“全部直線”的意思，定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)全部直線都垂直．由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的鑒定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直能夠互相轉(zhuǎn)化．師生活動(dòng)：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例．教師運(yùn)用三角板和教鞭進(jìn)行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺(tái)上演示，這時(shí)另一條直角邊BC就和講臺(tái)上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺(tái)桌面垂直.在此基礎(chǔ)上在講臺(tái)上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動(dòng)，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺(tái)桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3．由命題（2）給出下列慣用命題：這個(gè)命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，它是判斷線線垂直的慣用辦法．（二）探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的鑒定定理1.觀察猜想思考：我們?cè)撊绾螜z查學(xué)校廣場(chǎng)上的旗桿與否與地面垂直？即使能夠根據(jù)定義鑒定直線與平面垂直，但這種辦法事實(shí)上難以實(shí)施．有無(wú)比較方便可行的辦法來(lái)判斷直線和平面垂直呢？問(wèn)題4、觀察跨欄、簡(jiǎn)易木架等實(shí)物，你能猜想出判斷一條直線與一種平面垂直的辦法嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題思考與實(shí)例分析，尋找含有可操作性的鑒定辦法，體驗(yàn)有限與無(wú)限之間的辯證關(guān)系．師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一種平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．2.操作確認(rèn)問(wèn)題5：如圖4，請(qǐng)同窗們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來(lái)做一種實(shí)驗(yàn)：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才干使折痕AD與桌面所在的平面垂直？（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和幾何直觀能力．師生活動(dòng)：在折紙實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種狀況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的因素．學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，通過(guò)討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要確保折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再運(yùn)用多媒體演示翻折過(guò)程，增強(qiáng)幾何直觀性．3.合情推理問(wèn)題6：根據(jù)上面的實(shí)驗(yàn)，結(jié)合兩條相交直線擬定一種平面的事實(shí)，你能給出直線與平面垂直的鑒定辦法嗎？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，獲得鑒定定理．師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回想出“兩條相交直線擬定一種平面”，以及直觀過(guò)程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)全部直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進(jìn)而歸納出直線與平面垂直的鑒定定理．同時(shí)指出要判斷一條直線與一種平面與否垂直,取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線與否和已知直線有公共點(diǎn)是無(wú)關(guān)緊要的.定理充足體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．定理：一條直線與一種平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：

4.質(zhì)疑深化辨析：如果一條直線與一種梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”的條件．師生活動(dòng)：學(xué)生思考作答，教師再次強(qiáng)調(diào)“相交”條件．（三）直線與平面垂直的鑒定定理的初步應(yīng)用嘗試練習(xí)1：求證：與三角形的兩條邊同時(shí)垂直的直線必與第三條邊垂直．設(shè)計(jì)意圖：初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的鑒定定理與定義解決問(wèn)題，明確運(yùn)用線面垂直鑒定定理的條件．師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)圖（如圖6），將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB．請(qǐng)兩位同窗板演，其它同窗在練習(xí)本上完畢，師生共同評(píng)析，明確運(yùn)用線面垂直鑒定定理時(shí)的具體環(huán)節(jié)，避免缺少條件，特別是“相交”的條件．嘗試練習(xí)2：如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的鑒定定理證明線面垂直，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力．師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可運(yùn)用線面垂直的定義證，也可用鑒定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上．另外，再引導(dǎo)學(xué)生將已知條件具體化的過(guò)程中，逐步明確根據(jù)異面直線所成角的概念解決問(wèn)題．學(xué)生練習(xí)本上完畢，對(duì)照課本P73例1,完善自己的解題環(huán)節(jié)．同時(shí)指出：本例成果能夠作為直線和平面垂直的又一種鑒定定理.這樣鑒定一條直線與已知平面垂直，能夠用這條直線垂直于平面兩條相交直線來(lái)證明，也能夠用這條直線的平行直線垂直于平面來(lái)證明.嘗試練習(xí)3：如圖8，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時(shí)，？設(shè)計(jì)意圖：能合理尋找平面證線面垂直從而得出線線垂直，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用．師生活動(dòng)：學(xué)生思考討論，請(qǐng)一位同窗用投影儀展示并分析其思路，教師參加討論．（四）總結(jié)反思（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的辦法？（2）上述判斷直線與平面垂直的辦法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？（3）有關(guān)直線與平面垂直你尚有什么問(wèn)題？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，激勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題多質(zhì)疑、多概括．師