專題06 解答基礎(chǔ)題：幾何作圖（解析版）

專題06幾何作圖題一、解答題（22題）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)O．求證：．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴①．∵垂直平分，∴②．又___________③．∴．∴．小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線．【答案】作圖：見解析；；；；被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，即為所求；

證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∵垂直平分，∴．又．∴．∴．故答案為：；；；由此得到命題：過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分，故答案為：被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長(zhǎng)乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點(diǎn)A在邊上，再過點(diǎn)A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵_(dá)___③______．∴（）．同理可得：_____④______．．【答案】圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到∠ADC=∠F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，即可證明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，AD即為所求，在和中，∵，∴．∵，∴∠ADC=∠F．∵，∴∠1=∠2．又∵AC=AC．∴（）．同理可得：△ABD≌△BAE．．故答案為：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，試說明的面積與矩形的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．【答案】、、、【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，分別利用AAS證得，，利用全等三角形的面積相等即可求解．【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．如圖所示，在和中，∵，∴．又，∴①∵，∴②又③∴．同理可得④∴．故答案為：、、、【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．4．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AB>AD．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點(diǎn)P，猜想△CDP按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）直角三角形，理由見解析【分析】（1）直接利用角平分線的作法得出符合題意的答案；（2）先證明∠ADE=∠CDE，再利用平行線的性質(zhì)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，得出∠CPD=90即可得出答案．【詳解】解：（1）解：如圖所示：E，F(xiàn)即為所求；（2）△CDP是直角三角形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴∠CED=∠ADE=∠ADC．∵CP平分∠BCD，∴∠DCP=∠BCD，∴∠CDE+∠DCP=90°．∴∠CPD=90°．∴△CDP是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖以及平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，且．請(qǐng)用尺規(guī)完成基本作圖：作出的角平分線與BC交于點(diǎn)E．連接BD交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，猜想線段BF和線段DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析，猜想：DF=3BF，證明見解析．【分析】根據(jù)角平分線的作法作出的角平分線即可；由平行四邊形的性質(zhì)可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，AE即為的角平分線，猜想：DF=3BF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=CO，BO=DO∴∵AC=2AB∴AO=AB∵AE是的角平分線∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）如圖所示，在正方形中，點(diǎn)M是對(duì)角線上的一個(gè)點(diǎn)．連接，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作于點(diǎn)G，試說明，的數(shù)量關(guān)系．解答思路是：過點(diǎn)M作垂線交于點(diǎn)F，構(gòu)造與全等使得問題得到解決，請(qǐng)根據(jù)解答思路完成下面的作圖與填空：(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)M作垂線交于點(diǎn)F（用基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，結(jié)論）(2)解：猜想：∵四邊形是正方形∴，∵，∴______①______，∵∴______②______∴∴四邊形是正方形∴______③______∴∵∴∴______④______在與中，∴∴______⑥______【答案】(1)見解析(2)①；②；③；④；⑤；⑥【詳解】（1）解：如下圖所示，（2）∵四邊形是正方形∴，∵，∴，∵∴∴∴四邊形是正方形∴∴∵∴∴在與中，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的相關(guān)知識(shí)．7．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，四邊形是菱形，連接，，點(diǎn)在線段上，連接，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在內(nèi)部作，使得，交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．保留作圖痕跡(2)在(1)所作的圖中，求證：．完成下列填空．證明：四邊形是菱形；∴，，；；與均為等邊三角形；，；；在與中，；．【答案】(1)見解析(2)；；；【分析】（1）根據(jù)題意作，交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合條件得出與均為等邊三角形；進(jìn)而證明；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）證明：四邊形是菱形；∴，，；；與均為等邊三角形；，；；在與中，；．故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？家荒＃┰谄叫兴倪呅沃校瑸檫吷系囊稽c(diǎn)，連接，．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖形中，連接，若，證明：四邊形為菱形．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴①∵∴即②∵即且∴四邊形為③又∵④∴四邊形AFCE為菱形．【答案】(1)見解析(2)①；②；③；平行四邊形；④【分析】（1）根據(jù)作線段垂直平分線的作法即可；（2）先證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)（1）可得對(duì)角線互相垂直，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，交于點(diǎn)；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形∴∵∴即∵即且∴四邊形為平行四邊形又∵∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，作線段垂直平分線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)三角形的過程中，小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖，在中，，把分成兩個(gè)等腰三角形，并說明理由．聰明的小明經(jīng)過思考后很快就有了思路：作線段的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，得到兩條相等線段，從而構(gòu)造出等腰三角形，使問題得到了解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖并填空：解：用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，，連接．（不寫作法，不下結(jié)論，只保留作圖痕跡）∵垂直平分線段，∴①．即是等腰三角形，∴．∵，∴②．∵，∴，∴③．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．【答案】作圖見解析，，，．【分析】用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，，連接即可，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)以、三角形的外角性質(zhì)以及等角對(duì)等邊即可判定和是等腰三角形．【詳解】解：作圖如下，和是所求作的三角形，∵垂直平分線段，∴．即是等腰三角形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）小明在學(xué)習(xí)的過程中，遇到了一個(gè)問題：在四邊形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平分，平分．求證：．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，使問題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)（只保留作圖痕跡）．，．又，_____①_____．平分，_____②_____．又_____③_____．_____④_____．．同理可得_____⑤_____．．【答案】①；②；③；④；⑤【分析】以點(diǎn)E為圓心，大于點(diǎn)E到的距離為半徑畫弧，于相交于兩點(diǎn)，再分別以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于兩個(gè)交點(diǎn)距離為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)E和兩弧的交點(diǎn)，交于點(diǎn)F，則；根據(jù)得出，再根據(jù)平分，得出，即可證明，最后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，即可求證．【詳解】解：作圖如答圖；

，．又，．平分，．又．．．同理可得．．故答案為：；；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作垂線，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等．11．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）如圖，直線，線段分別與直線、交于點(diǎn)C、點(diǎn)B，滿足．(1)使用尺規(guī)完成基本作圖：作線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交線段于點(diǎn)O，連接、、、．（保留作圖痕跡，不寫做法，不下結(jié)論）(2)求證：四邊形為菱形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵，∴________①________，∵垂直平分，∴，，∴________②________，∴________③________，∵，∴，∴，∴四邊形是_________④_________，∵，∴四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)；；；平行四邊形【分析】（1）利用基本作圖作，以，分別為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所在直線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交線段于點(diǎn)O，連接、、、；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可．【詳解】（1）解：以，分別為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所在直線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交線段于點(diǎn)O，連接、、、．如圖所示，即為所求：（2）證明：∵，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形．故答案為：；；；平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．12．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，連接．(1)尺規(guī)作圖：在下方作射線，使得，且射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求證：四邊形是菱形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，∴，在和中，∴______，∴______，∵，∴______．∴四邊形是平行四邊形．又∵_(dá)_____，∴平行四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)，，，【分析】（1）根據(jù)題意即可完成作圖；（2）結(jié)合（1）根據(jù)菱形的判定即可完成證明．【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求；（2）證明：∵點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴∵，∴∴四邊形是平行四邊形．又∵，∴平行四邊形是菱形．故答案為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖．全等三角形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定與性質(zhì)．菱形的判定．解題關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．13．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)E．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形，請(qǐng)完成下面的填空．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴①（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵平分，平分，∴②，③，∴④，∴∥⑤，又∵四邊形是平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形（⑥）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)見解析(2)①②③④⑤⑥兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】（1）利用基本作圖，作的平分線即可；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，，所以，于是可判斷，然后利用可判斷四邊形為平行四邊形．【詳解】（1）解：如圖：為所作，（2）解：證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵平分，平分，∴，，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故答案為：①②③④⑤⑥兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵，也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．14．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）在學(xué)習(xí)角平分線的過程中，小琦遇到了這樣一個(gè)問題：在梯形中，，若平分，且點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，則.他的思路是：過點(diǎn)E作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，進(jìn)行轉(zhuǎn)邊，從而解決問題.請(qǐng)根據(jù)小琦的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F（保留作圖痕跡）平分，∴____①____又∴____②____(，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，在與中，___③_____

【答案】作圖見解析，①②③【分析】根據(jù)要求作出圖形，證明．推出，再證明，可得結(jié)論．【詳解】圖形如圖所示：

平分，∴，，，，，又，∴(，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，在與中，，，，，．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，所以是中考常考題型．15．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，已知E是平行四邊形對(duì)角線上的點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B在平行四邊形內(nèi)部作射線交于點(diǎn)F，且使，連接、，證明四邊形是平行四邊形．解答思路：利用平行四邊形的性質(zhì)得到線段和角相等，再通過與全等得邊角關(guān)系，然后利用一組對(duì)邊平行且相等使問題得到解決，請(qǐng)根據(jù)解答思路完成下面的作圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B在平行四邊形內(nèi)部作射線交于點(diǎn)F，且使，連接、（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）(2)證明：∵在四邊形是平行四邊形，∴①，；∴②在與中，∴，∴③，，∴______④___________∴四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見詳解(2)①；②；③；④【分析】（1）作，其中交于F即可；（2）由于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，則，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖作,其中交于F

（2）證明：∵在四邊形是平行四邊形，∴，；∴在與中，∴，∴，，∴∴四邊形是平行四邊形故答案為：①；②；③；④【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識(shí)，三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．16．（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？级＃┤鐖D，是矩形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)E，．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作國痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形，請(qǐng)完成下面的填空．證明：∵四邊形是矩形∴∴又∵平分，平分∴，∴∴又∵四邊形是矩形∴∴四邊形為平行四邊形【答案】(1)見解析(2)①，②，③，④【分析】（1）以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，即為所求；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平平分線的定義得出，則，再根據(jù)，即可求證．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；

（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵平分，平分，∴，，∴，∴又∵四邊形是矩形∴，∴四邊形為平行四邊形．故答案為：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——角平分線，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握矩形對(duì)邊互相平行，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．17．（2023·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校校考二模）如圖，已知點(diǎn)在的邊上，且．

(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，判斷與的位置關(guān)系，并把證明過程補(bǔ)充完整．判斷：①，理由如下：∵（已知）∴②（

③

）又∵平分（已知）∴（

④

）又∵∴（等量代換）∴⑤（

⑥

）【答案】(1)見解析(2)；；等邊對(duì)等角；角平分線的定義；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】（1）先以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與、交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)間距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接D與該點(diǎn)，交與點(diǎn)E，即可得出的平分線；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義得出，證明，根據(jù)平行線的判定得出．【詳解】（1）解：即為所求作的的平分線，如圖所示：

（2）解：，理由如下：∵（已知），∴（等邊對(duì)等角），又∵平分（已知），∴（角平分線的定義），又∵，∴（等量代換），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：；；等邊對(duì)等角；角平分線的定義；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作一個(gè)角的平分線，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．18．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)D．為的邊上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶吷洗_定一點(diǎn)E，（要求：尺規(guī)作圖、保留作圖痕跡、不寫作法）；

下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)G、F；②以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)M；③以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)P；④作射線交于點(diǎn)E，則；⑤連接，則·根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作，垂足分別為K、H，∵，∴；∵，∴°；∴，∴四邊形是矩形，∴；∵，；∴·【答案】(1)見解析(2)；；；；【分析】（1）根據(jù)題中步驟作圖；（2）根據(jù)同底等高證明即可.【詳解】（1）解：如圖，

（2）證明：分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作，垂足分別為K、H，∵，∴；∵，∴；∴，∴四邊形是矩形，∴；∵，；∴·故答案為：；；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.19．（2023·重慶九龍坡·?？级＃┤鐖D，是矩形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)E，．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作國痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形，請(qǐng)完成下面的填空．證明：∵四邊形是矩形∴∴______①_____又∵平分，平分∴，_____②______∴_____③______∴又∵四邊形是矩形∴______④_____∴四邊形為平行四邊形【答案】(1)見解析(2)①，②，③，④【分析】（1）以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，即為所求；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平平分線的定義得出，則，再根據(jù)，即可求證．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；

（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵平分，平分，∴，，∴，∴又∵四邊形是矩形∴，∴四邊形為平行四邊形．故答案為：①，②，③，④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——角平分線，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握矩形對(duì)邊互相平行，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．20．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？既＃┤鐖D，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．

(1)尺規(guī)作圖：在的延長(zhǎng)線上截取，連接，再過點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形為矩形．證明：∵∴①∵四邊形是菱形∴，，∴∵∴②又∵∴四邊形為平行四邊形∴③∴∴④∴∴四邊形為矩形．【答案】(1)見解析(2)①，②，③，④【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)矩形的判定可得四邊形為矩形．【詳解】（1）如圖：

作法：延長(zhǎng)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑，在的延長(zhǎng)線上畫弧，即為點(diǎn)；連接，分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑，在的上方畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)，與交于一點(diǎn)，即