備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練專題04“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用(解析版)

專題04“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．如圖，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，則BD的長(zhǎng)為．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案為：3．2．如圖，一塊含45°的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)A與矩形ABCD的頂點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)E落在邊BC上，另一頂點(diǎn)F恰好落在邊CD的中點(diǎn)處，若BC＝12，則AB的長(zhǎng)為．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，BE＝CF，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF＝CD，∴BE＝CF＝AB，∵BE+CE＝BC＝12，∴AB+AB＝12，∴AB＝8，故答案為：8．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）證明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）DE＝BE﹣AD．易證得△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．4．感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．（2）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點(diǎn)C到AB邊的距離．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥AB于，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠DBA＝∠DAB，∴AD＝BD，∴AF＝BF＝AB＝，∵∠CAD＝90°，∴∠DAF+∠CAE＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CAE＝∠ADF，在△CAE和△ADF中，，∴△CAE≌△ADF（AAS），∴CE＝AF＝，即點(diǎn)C到AB的距離為；5．如圖，△ACB在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作x軸的平行線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形DCFE是矩形，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），∴OE＝1，AE＝2，∵CD⊥BD，AE⊥OE，∴∠ODC＝∠AEO＝90°，∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1，∴DE＝CF＝2，∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE，∴∠CBD＝∠CAF，又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（AAS），∴BD＝AF，CD＝CF＝2，∴AF＝4，∴BD＝4，∴OB＝BD+DO＝4+1＝5，∴B（﹣5，0）．故答案為：（﹣5，0）．6．已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC上一點(diǎn)，CE⊥AD于E，若CE＝2，則S△BEC＝．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∵BH⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠BCH＝90°，∴∠HBC＝∠ACE，在△BHC與△CEA中，，∴△BHC≌△CEA（AAS），∴BH＝CE＝2，．故答案為：2．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B在第四象限．（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若AB交x軸于點(diǎn)D，BC交y軸于點(diǎn)M，N是BC上一點(diǎn)，且BN＝CM，連接DN，求證CD+DN＝AM；（3）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，連接EF交x軸于P點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，CP的長(zhǎng)度是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變化，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度．【解答】（1）解：如圖1，過B作BF⊥x軸于F，則∠BFC＝90°，∵點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，F(xiàn)C＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣2）；（2）證明：如圖2，過B作BE⊥BC交x軸于E，則∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的長(zhǎng)度不變化，CP＝，理由如下：如圖3，過E作EG⊥x軸于G，則∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6；（2）由（1）得，點(diǎn)C（0，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，∵直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），C（0，6），∴，解得：∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+6，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），如圖1，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)H作HK⊥y軸于點(diǎn)K，則∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK（AAS），∴MN＝OK，ON＝HK．∴H（﹣2m+6，﹣m），∵點(diǎn)H（﹣2m+6，﹣m）在直線y＝﹣2x+6上，∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，解得：m＝，把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，∴當(dāng)∠OMB＝45°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）；（3）存在，理由如下：∵拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，頂點(diǎn)為D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，8），分兩種情況討論：①當(dāng)CD為菱形的邊時(shí)，如圖2，過C作CE⊥DQ于E∵C（0，6），D（1，8），∴CD＝＝，∴DQ＝CD＝，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8﹣）或（1，8+）；②當(dāng)CD為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖3，設(shè)點(diǎn)Q（1，m），P（0，n），∵C（0，6），D（1，8），∴m+n＝6+8＝14，∴n＝14﹣m，∴P（0，14﹣m），∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．9．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小美將矩形ABCD紙片先對(duì)折，展開后折痕是EF，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M作MN⊥AM交CD于點(diǎn)N．將△MCN沿MN翻折，點(diǎn)C恰好落在線段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的長(zhǎng)為．【解答】解：連接CC′交MN于點(diǎn)G，由折疊得：MN是CC′的垂直平分線，∴∠MGC＝90°，CN＝C′N，設(shè)BM＝x，則CM＝BC﹣BM＝6﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵M(jìn)N⊥AM，∴∠AMN＝90°，∴∠AMB+∠CMN＝90°，∴∠BAM＝∠CMN，∴△ABM∽△MCN，∴＝，∴＝，∴CN＝，∴CN＝C′N＝，由折疊得：CF＝CD＝2，∠CFE＝90°，∴FN＝CF﹣CN＝2﹣＝，∵∠BCC′+∠C′CF＝90°，∠BCC′+∠CMN＝90°，∴∠C′CF＝∠CMN，∴∠C′CF＝∠BAM，∵∠B＝∠CFC′＝90°，∴△ABM∽△CFC′，∴＝，∴＝，∴FC′＝x，在Rt△FNC′中，C′F2+FN2＝C′N2，∴（x）2+（）2＝（）2，∴x＝4或x＝，∴BM的長(zhǎng)為：4或，故答案為：4或．10．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，由折疊可得：∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，由折疊可得：AD＝AF＝5，∴BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝1，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，∴tan∠DAE＝＝＝，∴tan∠DAE的值為．11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)G在CD上，且DG＝1，AE＝2，則EG＝；（2）如圖2，若F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)N，連接EN，求證：∠AEF＝∠FEN；（3）如圖3，若AE＝AD，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案為：；（2）證明：延長(zhǎng)EA、NF交于點(diǎn)M，∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）證明：如圖，過點(diǎn)G作GP⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN?MD．12．問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動(dòng)（每個(gè)小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬AD＝6．動(dòng)手實(shí)踐：（1）如圖1，騰飛小組將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)A'處，折痕為DE，連接A'E，然后將紙片展平，得到四邊形AEA'D．試判斷四邊形AEA'D的形狀，并加以證明．（2）如圖2，永攀小組在矩形紙片ABCD的邊BC上取一點(diǎn)F，連接DF，使∠CDF＝30°，將△CDF沿線段DF折疊，使點(diǎn)C正好落在AB邊上的點(diǎn)G處．連接DG，GF，將紙片展平，①求△DFG的面積；②連接CG，線段CG與線段DF交于點(diǎn)M，則CG＝．深度探究：（3）如圖3，探究小組將圖1的四邊形AEA'D剪下，在邊A'D上取一點(diǎn)N，使DN：A'N＝1：2，將△AND沿線段AN折疊得到△AND'，連接A'D'，探究并直接寫出A'D'的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）四邊形AEA'D是正方形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，由折疊的性質(zhì)得：∠DA'E＝∠A＝90°，AD＝A'D，∴∠A＝∠DA'E＝∠ADC＝90°，∴四邊形AEA'D是矩形，又∵AD＝AD'，∴四邊形AEA'D是正方形；（2）①由折疊的