浙江省杭州市西湖區(qū)翠苑中學(xué)教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市翠苑中學(xué)教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若，則的值為（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件中屬于隨機事件的是（）A．今天是星期一，明天是星期二 B．從一個裝滿紅球的袋子里摸出了一個白球 C．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上 D．拋出的籃球會下落3．（3分）兩個相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：34．（3分）將拋物線y＝2（x﹣1）2+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位，平移后所得拋物線的解析式為（）A．y＝2x2 B．y＝2x2+6 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝2（x﹣2）2+65．（3分）已知二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+k的圖象上有三點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y16．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣4，0）和原點，且頂點在第二象限．下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．當(dāng)x＞﹣2時，y的值隨x值的增大而減小 更多優(yōu)質(zhì)滋元可家威杏MXSJ663C．b2﹣4ac＜0 D．函數(shù)值有最小值4a﹣2b+c7．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，以點B為圓心，與AB交于點D，再分別以A、D為圓心AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，分別交AC、AB于點E、F，則AE的長度為（）A． B．3 C． D．8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點E．若AE＝2，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）點A（0，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+n的圖象上．若y1＞y2，則m的取值范圍為（）A．m＞2或m＜0 B．m＞2 C．m＜0 D．0＜m＜210．（3分）如圖①，在△ABC中，∠B＝108°，沿折線A→B→C→A勻速運動一周．若點P的運動速度為1cm/s，設(shè)點P的運動時間為t（s）（cm），v與t的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)BP恰好是∠ABC的一條三等分線時，t的值為（）A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6二、填空題（本題有6個小題，每題4分，共24分）11．（4分）已知⊙O的半徑為5，PO＝4，則點P在（填圓內(nèi)，圓上或圓外）．12．（4分）已知線段x是線段a、b的比例中項，且a＝4，b＝9．13．（4分）2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，并統(tǒng)計成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：幼樹移植數(shù)（棵）1001000500080001000020000幼樹移植成活數(shù)（棵）8789344857224898318044幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.902估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是．（結(jié)果精確到0.1）14．（4分）已知在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…830﹣10…則滿足方程ax2+bx+c＝0的解是．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝3，則OB的長為．16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．（1）線段DF的長為；（2）連接AC，若AC交DF于點M，則＝．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）已知拋物線y＝﹣3x2+6x+4．（1）求該拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減小？（直接寫出答案）18．（6分）一個袋子里裝有3個只有顏色不同的球，其中2個白球，1個紅球．從口袋里摸出1個球，攪勻，再摸出一個球．（1）按順序先后摸得的兩個球有幾種不同的可能？（畫樹狀圖或列表分析問題）（2）求兩次摸出都是白球的概率．19．（6分）如圖，在△ABC中，D為BC上一點（1）求證：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．20．（8分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸交于點A（﹣4，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP＝6，試求出點P的坐標(biāo)．21．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）（0≤t≤5），（1）用含t的代數(shù)式表示：線段PO＝cm；OQ＝cm．（2）當(dāng)△POQ與△AOB相似時，求出t的值．22．（10分）已知拋物線y＝ax2+3ax+c（a≠0）與y軸交于點A．（1）當(dāng)a＝1，c＝2，求該拋物線與x軸交點坐標(biāo)；（2）若a＝1，點P（m，n）在二次函數(shù)拋物線y＝ax2+3ax+c的圖象上，且n﹣c＞0，試求m的值；（3）若點A的坐標(biāo)是（0，1），當(dāng)﹣2c＜x＜c時，拋物線與x軸只有一個公共點23．（10分）完成項目化學(xué)習(xí)：《蔬菜大棚的設(shè)計》．《蔬菜大棚的設(shè)計》驅(qū)動問題1、如何利用函數(shù)模型，刻畫蔬菜大棚的棚面？2、如何安裝排氣裝置，保證蔬菜大棚的通風(fēng)性？3、如何設(shè)計大棚間距，保障蔬菜大棚的采光性？項目背景蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．如圖，一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，這樣就形成了一個溫室空間．?dāng)?shù)學(xué)建模如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．拋物線AED的頂點E（0，4）問題解決如圖，為了保證該蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長．問題解決為了保證兩個蔬菜大棚間的采光不受影響，如圖4，在某一時刻，此時大棚截面的陰影為CK，求CK的長．24．（12分）問題探究：（1）如圖①，已知線段AB＝2，在AB的兩側(cè)分別作等邊△ABC和Rt△ABD，CM、DM分別為兩個三角形的中線，連接CD；（2）如圖②，已知△ABC，分別以AB為直角邊在△ABC外側(cè)作Rt△ABP，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，請求出的值；問題解決：（3）如圖③，已知邊長為a的正方形ABCD，點E是邊CB延長線上一動點的最小值？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由．2023-2024學(xué)年浙江省杭州市翠苑中學(xué)教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若，則的值為（）A． B． C． D．【分析】由，于是可設(shè)a＝4k則b＝7k，代，計算即可求解．【解答】解：∵，設(shè)a＝7k則b＝7k，則，故選：A．【點評】本題考查了比例的基本性質(zhì)，由題意得，于是可設(shè)a＝4k，b＝7k是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列事件中屬于隨機事件的是（）A．今天是星期一，明天是星期二 B．從一個裝滿紅球的袋子里摸出了一個白球 C．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上 D．拋出的籃球會下落【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，即可解答，【解答】解：A、今天是星期一，故本選項不符合題意；B、從一個裝滿紅球的袋子里摸出了一個白球是不可能事件；C、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上是隨機事件；D、拋出的籃球會下落是必然事件．故選：C．【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．3．（3分）兩個相似三角形的相似比是4：9，則它們的面積比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵相似三角形的相似比是4：9，∴面積比為：，故選：B．【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，理解并掌握相似三角形的性質(zhì)，相似比與面積比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（3分）將拋物線y＝2（x﹣1）2+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位，平移后所得拋物線的解析式為（）A．y＝2x2 B．y＝2x2+6 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝2（x﹣2）2+6【分析】根據(jù)左加右減，上加下減的平移規(guī)律求解即可．【解答】解：將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向左平移1個單位，再向下平移7個單位2+3﹣5，即y＝2x2．故選：A．【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象平移變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（3分）已知二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+k的圖象上有三點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】對二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+k，對稱軸x＝1，則A、B、C的橫坐標(biāo)離對稱軸越近，則縱坐標(biāo)越小，由此判斷y1、y2、y3的大?。窘獯稹拷猓涸诙魏瘮?shù)y＝3（x﹣1）8+k，對稱軸x＝1，在圖象上的三點A（1，y8），B（2，y2），C（﹣7，y3），|1﹣7|＜|2﹣1|＜|﹣3﹣1|，則y1、y4、y3的大小關(guān)系為y3＞y5＞y1．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，由點的橫坐標(biāo)到對稱軸的距離判斷點的縱坐標(biāo)的大?。?．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣4，0）和原點，且頂點在第二象限．下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．當(dāng)x＞﹣2時，y的值隨x值的增大而減小 C．b2﹣4ac＜0 D．函數(shù)值有最小值4a﹣2b+c【分析】采用形數(shù)結(jié)合的方法解題，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號，把兩根關(guān)系與拋物線與x軸的交點情況結(jié)合起來分析問題．【解答】解：∵拋物線的開口方向下，∴a＜0．故A錯誤；∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣8，0）和原點，對稱軸x＝＝﹣2，∴當(dāng)x＞﹣6時，y的值隨x值的增大而減小，故B不正確；∵y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個交點，∴b7﹣4ac＞0，故③正確；∵a＜4，對稱軸x＝﹣2，∴x＝﹣2時，函數(shù)值有最大值6a﹣2b+c，故④正確；故選：B．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，根的判別式的熟練運用．7．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，以點B為圓心，與AB交于點D，再分別以A、D為圓心AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，分別交AC、AB于點E、F，則AE的長度為（）A． B．3 C． D．【分析】由題意得，BC＝BD＝3，直線MN為線段AD的垂直平分線，由勾股定理得AB＝＝5，進(jìn)而可得AF＝1，證明△AEF∽△ABC，可得＝，即＝，求出AE，即可得出答案．【解答】解：由題意得，BC＝BD＝3，∵BC＝3，AC＝3，∴AB＝＝5，∴AD＝AB﹣BD＝5，∴AF＝AD＝3，∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解得：AE＝．故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖、勾股定理、線段垂直平分線、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點E．若AE＝2，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝R﹣2，根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，AB過圓心O，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R4＝42+（R﹣4）2，解得：R＝5，即⊙O的半徑長是3，故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．9．（3分）點A（0，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+n的圖象上．若y1＞y2，則m的取值范圍為（）A．m＞2或m＜0 B．m＞2 C．m＜0 D．0＜m＜2【分析】根據(jù)y1＞y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．【解答】解：∵點A（0，y1），B（m，y4）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+n的圖象上，∴y5＝（0﹣1）2+n＝1+n，y2＝（m﹣8）2+n，∵y1＞y3，∴1+n＞（m﹣1）2+n，∴（m﹣1）2＜4，∴0＜m＜2，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．10．（3分）如圖①，在△ABC中，∠B＝108°，沿折線A→B→C→A勻速運動一周．若點P的運動速度為1cm/s，設(shè)點P的運動時間為t（s）（cm），v與t的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)BP恰好是∠ABC的一條三等分線時，t的值為（）A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6【分析】根據(jù)圖②可知，AB＝BC＝2，再根據(jù)BP，BP′是∠ABC的三等分線，可以證明△PBC∽△BAC，求出PC的長，即可求出答案．【解答】解：如圖①，BP，根據(jù)圖②可知，AB＝BC＝2，∵∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，∴∠APB＝∠ABP＝72°，∴AB＝AP＝2，同理CP′＝BC＝6，∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△PBC∽△BAC，∴＝，∴＝，∴PC＝﹣1或﹣，∴AB+BC+PC＝+3，∴當(dāng)BP恰好是∠ABC的一條三等分線時，t的值為．故選：B．【點評】本題是動點問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題有6個小題，每題4分，共24分）11．（4分）已知⊙O的半徑為5，PO＝4，則點P在圓內(nèi)（填圓內(nèi)，圓上或圓外）．【分析】已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時，點P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r＝d時，點P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時，點P在⊙O外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，PO＝4，∴6＜5，∴點P在圓內(nèi)．故答案為：圓內(nèi)．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時，點P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r＝d時，點P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時，點P在⊙O外．12．（4分）已知線段x是線段a、b的比例中項，且a＝4，b＝96．【分析】根據(jù)已知線段a＝4，b＝9，線段x是a，b的比例中項，列出等式，利用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積即可得出答案．【解答】解：∵線段x是線段a、b的比例中項，b＝9，∴＝，∴x2＝ab＝3×9＝36，∴x＝±6（負(fù)值舍去）．故答案為：8．【點評】此題主要考查學(xué)生對比例線段這一知識點的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．13．（4分）2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，并統(tǒng)計成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：幼樹移植數(shù)（棵）1001000500080001000020000幼樹移植成活數(shù)（棵）8789344857224898318044幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.902估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是0.9．（結(jié)果精確到0.1）【分析】大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【解答】解：∵幼樹移植數(shù)20000棵時，幼樹移植成活的頻率為0.902，∴估計幼樹移植成活的概率為0.902，精確到6.1．故答案為：0.4．【點評】本題考查了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．14．（4分）已知在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…830﹣10…則滿足方程ax2+bx+c＝0的解是x＝1或3．【分析】先確定拋物線對稱軸，再觀察表格確定函數(shù)值為0時的自變量的值即可解決問題．【解答】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0）（7，∴滿足方程ax2+bx+c＝0的解是x＝5或3．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決問題，是數(shù)形結(jié)合的好題目，屬于中考?？碱}型．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝3，則OB的長為．【分析】先運用勾股定理求出，再根據(jù)三角形的中位線得到，進(jìn)而得到△ODE∽△OAB解題即可．【解答】解：∵E為AC的中點，∴，∴，連接ED，則ED是△ABC的中位線，∴，∴∠OED＝∠EBA，∠ODE＝∠DAB，∴△ODE∽△OAB∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．（1）線段DF的長為；（2）連接AC，若AC交DF于點M，則＝．【分析】（1）利用三角形面積相等，列出等式，求解即可；（2）延長DF交CB的延長線于K，利用相似三角形的性質(zhì)求出KE，再利用平行線分線段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，畫出下圖：∵AB＝4，AD＝6＝3，∴AE＝5，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝12，∴DF＝；故答案為：；（2）若AC交DF于點M，延長DF交BC延長線于點K在Rt△AFD中，AF＝＝＝，EF＝AE﹣AF＝3﹣＝，∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴∴KE＝，∴CK＝KE+EC＝+5＝，∵AD∥CK，∴＝．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．三、解答題（本題有8個小題，共66分）17．（6分）已知拋物線y＝﹣3x2+6x+4．（1）求該拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減??？（直接寫出答案）【分析】（1）將二次函數(shù)的解析式改寫成頂點式即可解決問題．（2）根據(jù)拋物線的開口方向及對稱軸即可解決問題．【解答】解：（1）因為y＝﹣3x2+4x+4＝﹣3（x﹣6）2+7，所以拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝4，7）．（2）因為拋物線的開口向下，且對稱軸是直線x＝1，所以當(dāng)x＞6時，y隨x的增大而減?。军c評】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能將二次函數(shù)解析式改寫成頂點式是解題的關(guān)鍵．18．（6分）一個袋子里裝有3個只有顏色不同的球，其中2個白球，1個紅球．從口袋里摸出1個球，攪勻，再摸出一個球．（1）按順序先后摸得的兩個球有幾種不同的可能？（畫樹狀圖或列表分析問題）（2）求兩次摸出都是白球的概率．【分析】（1）列表即可得出答案．（2）由表格可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出都是白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：白1白2紅白2（白1，白1）（白7，白2）（白1，紅）白8（白2，白1）（白2，白2）（白2，紅）紅（紅，白7）（紅，白2）（紅，紅）由表可知，按順序先后摸得的兩個球有3種不同的可能，6個白球1個紅球．（2）由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，∴兩次摸出都是白球的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在△ABC中，D為BC上一點（1）求證：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論推，把有關(guān)線段的值代入計算即可．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；（2）解：設(shè)DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴，∴，解得，x＝9；即CD＝7．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)，正確推出比例線段是解題關(guān)鍵．20．（8分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸交于點A（﹣4，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP＝6，試求出點P的坐標(biāo)．【分析】（1）把原點與A坐標(biāo)代入解析式求出a與c的值，即可確定出解析式；（2）由A與O坐標(biāo)求出AO的長，根據(jù)三角形AOP面積為6，利用面積公式求出P縱坐標(biāo)的絕對值為3，即P縱坐標(biāo)為3或﹣3，把y＝3或y＝﹣3代入拋物線解析式求出x的值，即可確定出P坐標(biāo)．【解答】解：（1）把（0，0）與（﹣4，解得：a＝﹣8，c＝0，則拋物線解析式為y＝﹣x2﹣4x；（2）∵AO＝4，S△AOP＝6，∴|yP縱坐標(biāo)|＝5，即yP縱坐標(biāo)＝3或yP縱坐標(biāo)＝﹣3，把y＝2代入拋物線解析式得：x＝﹣1或﹣3，此時P坐標(biāo)為（﹣4，（﹣3；把y＝﹣3代入拋物線解析式得：x＝﹣6+或﹣2﹣，﹣3），﹣3）．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．21．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）（0≤t≤5），（1）用含t的代數(shù)式表示：線段PO＝2tcm；OQ＝5﹣tcm．（2）當(dāng)△POQ與△AOB相似時，求出t的值．【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，假設(shè)即可；（2）分兩種情形列出方程即可解決問題；【解答】解：（1）PO＝2t，OQ＝5﹣t；故答案為：6t，5﹣t．（2）①若＝，即，∴t＝2.7．②若＝，即，∴t＝1．∴當(dāng)t＝1或t＝7.5s時，△POQ與△AOB相似．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．22．（10分）已知拋物線y＝ax2+3ax+c（a≠0）與y軸交于點A．（1）當(dāng)a＝1，c＝2，求該拋物線與x軸交點坐標(biāo)；（2）若a＝1，點P（m，n）在二次函數(shù)拋物線y＝ax2+3ax+c的圖象上，且n﹣c＞0，試求m的值；（3）若點A的坐標(biāo)是（0，1），當(dāng)﹣2c＜x＜c時，拋物線與x軸只有一個公共點【分析】（1）①由a＝1，c＝2可得拋物線解析式，令y＝0求解．②根據(jù)拋物線解析式可得拋物線對稱軸及開口方向，求出y＝c時x的值，進(jìn)而求解．（2）由拋物線恒在x軸下方可得＜a＜0，由符合條件的整數(shù)a只有三個可得c的取值范圍，進(jìn)而求解．（3）由點A坐標(biāo)求出c的值為1，求出直線x＝﹣2，直線x＝1與拋物線的交點坐標(biāo)，分類討論a＞0，a＜0兩種情況，列不等式組求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1，c＝2時，y＝x3+3x+2，令y＝6，則x2+3x+6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∴拋物線與x軸交點坐標(biāo)為（﹣2，0），0）；（2）∵a＝7，∴拋物線開口向上，∵y＝ax2+3ax+c，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣，將x＝0代入y＝ax4+3ax+c得y＝c，∴拋物線經(jīng)過（0，c），由拋物線對稱性可得拋物線經(jīng)過（﹣8，c），∵x＜﹣時，y隨x增大而減小時，y隨x增大而增大，∴m＜﹣3或m＞7．（3）∵點A的坐標(biāo)是（0，1），∴c＝5，∴y＝ax2+3ax+7，∴﹣2＜x＜1時，拋物線與x軸只有一個公共點，當(dāng)x＝﹣8時，y＝4a﹣6a+2＝﹣2a+1，∴直線x＝﹣3與拋物線交點坐標(biāo)為（﹣2，﹣2a+5），當(dāng)x＝1時，y＝a+3a+2＝4a+1，∴直線x＝4與拋物線交點坐標(biāo)為（1，4a+5），①當(dāng)Δ＝9a2﹣3a＝0時，拋物線頂點在x軸上，解得a＝0（舍）或a＝．②當(dāng)a＞0時，若點（﹣4，點（1，則，解得a≥，③當(dāng)a＜0時，若（﹣6，點（1，∴，解得a＜﹣．綜上所述，a＝或a＜﹣．【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過分類討論求解．23．（10分）完成項目化學(xué)習(xí)：《蔬菜大棚的設(shè)計》．《蔬菜大棚的設(shè)計》驅(qū)動問題1、如何利用函數(shù)模型，刻畫蔬菜大棚的棚面？2、如何安裝排氣裝置，保證蔬菜大棚的通風(fēng)性？3、如何設(shè)計大棚間距，保障蔬菜大棚的采光性？項目背景蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．如圖，一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，這樣就形成了一個溫室空間．?dāng)?shù)學(xué)建模如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．拋物線AED的頂點E（0，4）問題解決如圖，為了保證該蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求兩個正方形裝置的間距GM的長．問題解決為了保證兩個蔬菜大棚間的采光不受影響，如圖4，在某一時刻，此時大棚截面的陰影為CK，求CK的長．【分析】數(shù)學(xué)建模：根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；問題解決：根據(jù)拋物線的解析式求出點G和點M的坐標(biāo)，即可求出GM的長；問題解決：先求出直線EK的解析式，即可求出CK的長．【解答】解：數(shù)學(xué)建模：∵拋物線AED的頂點E（0，4），∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝ax8+4，圖象過點A（﹣2，3），∴4a+4＝8，解得a＝，∴拋物線的解析式為y＝x2+3，問題解決：由題意，可知L，代入函數(shù)解析式，得3.75＝x2+4，解得x3＝1，x2＝﹣3，∴點L，R的坐標(biāo)分別為（﹣1，（1，∴點G，M的坐標(biāo)分別為（﹣5.25，（0.25，∴GM＝0.2m，