2023年上半年教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題及答案

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）。

A.

B.

C.

D.

正確答案:D

第2題若，則（

）。

A.

B.1

C.2

D.4

正確答案:B

第3題兩個(gè)n維向量與不能進(jìn)行的運(yùn)算是（

）。

A.

B.

C.

D.

正確答案:D

第4題行陣列的值是（

）。

A.-1

B.0

C.1

D.2

正確答案:B

第5題點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（

）。

A.(-2,3,-1)

B.(-2,-3,1)

C.(2,-3,-1)

D.(-2,3,1)

正確答案:A

第6題在梯形OABC中，且，M、N分別是BC與OA的中點(diǎn)，，，則等于（

）。

A.

B.

C.

D.

正確答案:B

第7題天干地支是中國傳統(tǒng)紀(jì)年的一種方式，俗稱六十一甲子（意為60年一個(gè)循環(huán)）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念是（

）。

A.中位數(shù)

B.最大公約數(shù)

C.最小公倍數(shù)

D.平均數(shù)

正確答案:C

第8題義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)命題的主要類型包括（

）。

A.基本事實(shí)、定理、公式

B.定理、公式、符號(hào)

C.基本事實(shí)、定理、圖形

D.定理、公式、證明

正確答案:A簡答題

第9題已知方程組（1）當(dāng)t=5時(shí)，求所對(duì)應(yīng)的方程組的解。（2）若方程組有唯一解，求t的取值范圍。

正確答案:（1）t=5時(shí)，②式+③式可得，因此。再由①式+②式可得，代入可得，代入①式可得。（2）系數(shù)矩陣為，增廣矩陣，由于方程組有唯一解，故，即。

第10題求過點(diǎn)且與直線：垂直的平面方程。

正確答案:由題意，直線方向向量為，由于直線與平面垂直，因此，利用點(diǎn)法式，平面方程為，整理可得。

第11題證明方程，在內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)根。

正確答案:設(shè)，因此，令，可得。同理，令，可得，因此在遞減，處遞增。，，。由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，與處各自區(qū)間內(nèi)均一零點(diǎn)。故而結(jié)論成立。

第12題請(qǐng)回答義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中“數(shù)感”的含義，并舉例加以解釋。

正確答案:數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果估計(jì)的感悟。能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序；能在簡單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算，作出合理判斷；能初步體會(huì)并表達(dá)事物蘊(yùn)含的簡單數(shù)量規(guī)律。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，初步感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔與精確，增強(qiáng)好奇心，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，教師在教學(xué)有理數(shù)加減時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)估算教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)估算意識(shí)，發(fā)展猜想估算能力。

第13題簡述在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中確定教學(xué)目標(biāo)的主要依據(jù)。

正確答案:課程目標(biāo)立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值。新課標(biāo)指出要確立核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標(biāo)，核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學(xué)段發(fā)展水平不同，是制定課程目標(biāo)的基本依據(jù)。課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）的獲得與發(fā)展，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。解答題

第14題袋子中有5張卡片，分別寫有數(shù)字1-5，從袋中隨機(jī)抽取一張卡片，記卡片上的數(shù)字為B。放回袋中，再隨機(jī)抽取一張卡片，記卡片上的數(shù)字為C。（1）求有相等實(shí)根的概率。（3分）（2）求有實(shí)根的概率。（4分）（3）在有相等實(shí)根的條件下，求出根的條件概率分布。（3分）

正確答案:（1）若方程有相等實(shí)根，則，即。滿足題意的只有B=4、C=2；B=2，C=1。因此概率為。（2）若方程有實(shí)根，則，滿足題意的情況有B=2，C=1；B=3，C=1、2；B=4，C=1、2、3、4；B=5，C=1、2、3、4、5，因此概率為。（3）暫缺。論述題

第15題闡述中學(xué)數(shù)學(xué)課程中統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系，以及二者在研究對(duì)象、總體分布、結(jié)果評(píng)判三方面的區(qū)別。

正確答案:概率是刻畫事件發(fā)生可能性大小的量，統(tǒng)計(jì)是通過處理數(shù)據(jù)，利用分析數(shù)據(jù)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測或者決策的過程。從統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)在的知識(shí)體系看，概率是統(tǒng)計(jì)學(xué)的有機(jī)組成部分，在數(shù)據(jù)的分析階段，可以利用概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從數(shù)據(jù)中得出結(jié)論，根據(jù)結(jié)論進(jìn)行預(yù)測或判斷。在初中階段，概率可以看成統(tǒng)計(jì)過程的一個(gè)階段。統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是客觀現(xiàn)象總體數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系；概率的研究對(duì)象是隨機(jī)事件，要尋找隨機(jī)性中的規(guī)律性，學(xué)習(xí)時(shí)主要依靠辯證思維和歸納的方法。在初中階段其總體分布為：統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)的收集、整理與描述在七年級(jí)下冊(cè)，數(shù)據(jù)分析在八年級(jí)下冊(cè)，概率只在九年級(jí)學(xué)習(xí)概率初步。案例分析案例：學(xué)生學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)”后，李老師布置了一個(gè)家庭作業(yè)：提出一個(gè)關(guān)于“一次函數(shù)”的實(shí)際問題并加以解決，下面是小穎完成的作業(yè)。爸爸準(zhǔn)備給我買一雙新鞋，要求我運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測算出穿多少“碼”的鞋，我通過測量，得到爸爸、媽媽和我的鞋長分別為26cm、22.5cm和21.5cm，其中爸爸、媽媽鞋上的標(biāo)號(hào)分別為42碼、35碼，由于同一事物的不同度量單位之間具有函數(shù)關(guān)系，我猜想鞋長的碼數(shù)與厘米數(shù)之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系，由此就可以算出我的鞋長對(duì)應(yīng)的碼數(shù)。對(duì)這個(gè)問題我的解答如下：設(shè)鞋長為cm，對(duì)應(yīng)的是碼，則與的關(guān)系為：（）將爸爸、媽媽鞋長的厘米數(shù)和對(duì)應(yīng)的碼數(shù)兩組數(shù)值分別代入上式，，，解這個(gè)方程組得，，所以與的關(guān)系為。將代入上式，得，所以讓爸爸給我買一雙33碼的新鞋。

第16題問題：（1）請(qǐng)分析李老師布置此作業(yè)的意圖。（8分）（2）請(qǐng)指出小穎作業(yè)的優(yōu)點(diǎn)以及可以進(jìn)一步完善之處。（12分）

正確答案:（1）李老師給學(xué)生布置”一次函數(shù)的實(shí)際問題并加以解決目的主要為了引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)既源于生活，又服務(wù)于生活，增強(qiáng)認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。李老師在教學(xué)中注重發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的促進(jìn)作用，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，在分析問題的同時(shí)，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；在用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步發(fā)展核實(shí)素養(yǎng)。（2）小穎是從身邊的生活小事入手，將鞋碼的兩種單位利用函數(shù)的形式進(jìn)行換算，突出體現(xiàn)在能從具體的生活與情境中，抽象出函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)表達(dá)形式，數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題并提出（或轉(zhuǎn)化為）數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的思維探索分析和解決具體情境中的現(xiàn)實(shí)生活問題，給出數(shù)學(xué)描述和解釋，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言與思想方法，綜給運(yùn)多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)，提出設(shè)計(jì)思路，制訂解決方案。但同時(shí)小穎同學(xué)對(duì)該問題的分析與解答還存在一定的問題。首先，由于鞋的制作工藝水平存在差異，同一鞋碼的鞋其長度可能會(huì)存在差別，因此測量鞋長可以改為測量腳長，以此來避免鞋子制作工藝的影響。其次，小穎同學(xué)在測量長度的方法上可能會(huì)存在較大的誤差，可以通過多次測量，取平均值，以此來降低誤差。最后，在判斷函數(shù)關(guān)系時(shí)有些理想化的想法，同一事物的不同度量單位之間存在的函數(shù)關(guān)系是否一定是一次函數(shù)關(guān)系呢？這個(gè)問題在作出判斷后缺乏實(shí)踐性的驗(yàn)證環(huán)節(jié)，建議待經(jīng)過理論化計(jì)算后再進(jìn)行實(shí)際的驗(yàn)證，也就是將求出的結(jié)果與自己平常穿的鞋碼進(jìn)行比較，還可以測量其他人的腳長，代入求出的一次函數(shù)表達(dá)式后計(jì)算的鞋碼與該人實(shí)際穿的鞋碼進(jìn)行比對(duì)驗(yàn)證，這樣一方面可以進(jìn)一步驗(yàn)證自己的猜想是否正確，另一方面也可以樹立考慮問題的嚴(yán)謹(jǐn)性的意識(shí)。教學(xué)設(shè)計(jì)下面是某教材“平行四邊形”一章中“菱形”一節(jié)的主要內(nèi)容。我們觀察平行四邊形的一組鄰邊，如圖18.2-6，當(dāng)這組鄰邊也相等時(shí)，這時(shí)的平行四邊形也是一個(gè)特殊的平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形也是常見的圖形，一些門窗的窗格、美麗的中國結(jié)、伸縮的衣帽架（圖18.2-7）都有菱形的形象。你還能舉出一些例子嗎？

對(duì)于菱形，我們?nèi)匀粡乃倪?、角和?duì)角線等方面進(jìn)行研究，可以發(fā)現(xiàn)并證明（請(qǐng)你自己完成），菱形還有以下性質(zhì)：性質(zhì)①：菱形的四條邊都相等；性質(zhì)②：菱形的兩條對(duì)角線相互垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組角。

第17題請(qǐng)根據(jù)上述材料內(nèi)容，完成下列任務(wù)：（1）用結(jié)構(gòu)圖表示平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系。（8分）（2）寫出“菱形”這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)。（10分）（3）設(shè)計(jì)3個(gè)引導(dǎo)性問題，幫助學(xué)生探索菱形的性質(zhì)（上述材料中畫虛線的部分），并寫出相應(yīng)的設(shè)計(jì)意圖。（12分）

正確答案:（1）（2）教學(xué)目標(biāo)：①掌握菱形的定義，理解菱形的性質(zhì)，并能運(yùn)用其解決具體問題。②通過對(duì)菱形的性質(zhì)及證明方法的探究過程，培養(yǎng)空間觀念與推理能力，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析與解決問題的能力。③學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問題的探討，享受運(yùn)用知識(shí)解決問題的成功體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。重難點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握菱形的定義，理解菱形的性質(zhì)；難點(diǎn)：理解菱形的判定方法，并能運(yùn)用性質(zhì)解決問題。（3）①作為特殊的平行四邊形，菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，是否具有其獨(dú)有的性質(zhì)呢？設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)性的語言，牽引學(xué)生去對(duì)菱形與其他平行四邊形作比較，分析其性質(zhì)。激發(fā)學(xué)生的求知欲，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的能力。②菱形之中，有幾條相等的邊？設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生探究菱形性質(zhì)時(shí)，給學(xué)生提供