新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)數(shù)列培優(yōu)專題10 放縮法證明數(shù)列不等式之常數(shù)型與函數(shù)型（含解析）

專題10放縮法證明數(shù)列不等式之常數(shù)型與函數(shù)型◆題型一:放縮法證明數(shù)列不等式之常數(shù)型方法解密:放縮法證明數(shù)列不等式屬于數(shù)列大題中較有難度的一種題型.大部分是以證明某個(gè)數(shù)列和大于或小于一個(gè)常數(shù)類型,小部分是證明某個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和或者積大于或小于一個(gè)函數(shù)(下一專題詳解).本專題我們來(lái)介紹最常見(jiàn)的常數(shù)類型.放縮的目的有兩個(gè):一是通過(guò)放縮使數(shù)列的和變換成比如裂項(xiàng)相消等可以簡(jiǎn)單求和的形式,這樣可以方便比較大小.二是兩者之間無(wú)法直接比較大小,這樣我們需要通過(guò)尋找一個(gè)媒介,來(lái)間接比較大小.放縮的原則:放縮必然會(huì)導(dǎo)致數(shù)變大或者變小的情況,我們的原則是越精確越好.在證明過(guò)程中,為了使放縮更精確,往往會(huì)第一項(xiàng)不變,從第二項(xiàng)或者第三項(xiàng)開(kāi)始放縮(例題會(huì)有講解).放縮的方法:(1)當(dāng)我們要證明多項(xiàng)式SKIPIF1<0時(shí),我們無(wú)法直接證明兩者的大小,這時(shí)我們可以將多項(xiàng)式SKIPIF1<0放大為SKIPIF1<0,當(dāng)我們能夠證明SKIPIF1<0,也間接證明了SKIPIF1<0.切不可將SKIPIF1<0縮小為SKIPIF1<0,即使能夠證明SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系無(wú)法得證.(2)當(dāng)我們要證明多項(xiàng)式SKIPIF1<0時(shí),這時(shí)我們可以將多項(xiàng)式SKIPIF1<0縮小為SKIPIF1<0,當(dāng)我們能夠證明SKIPIF1<0,也間接證明了SKIPIF1<0.需要放縮的多項(xiàng)式多以分式形式出現(xiàn),要使得分式的值變大,就是將分母變小,常見(jiàn)是將分母減去一個(gè)正數(shù),比如1.常見(jiàn)的放縮形式:（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0.類型一:裂項(xiàng)放縮【經(jīng)典例題1】求證SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以原式得證.為什么第一項(xiàng)沒(méi)有經(jīng)過(guò)放縮,因?yàn)榉帜覆荒転?,所以只能從第二項(xiàng)進(jìn)行放縮.總結(jié):證明數(shù)列之和小于常數(shù)2,式子左側(cè)我們進(jìn)行放大處理,各個(gè)分式分母減去n,可以變換成裂項(xiàng)相消的形式,同時(shí)又能作為媒介與2比較大小.同時(shí)要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始放縮的問(wèn)題.【變式1】求證SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以原式得證.總結(jié):證明數(shù)列之和小于常數(shù)2,式子左側(cè)我們進(jìn)行放大處理,各個(gè)分式分母減去n,可以變換成裂項(xiàng)相消的形式,同時(shí)又能作為媒介與2比較大小.同時(shí)要注意從第幾項(xiàng)開(kāi)始放縮的問(wèn)題.【變式2】求證SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,注意這是保留前兩項(xiàng),從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮.總結(jié):通過(guò)例1和變式題我們發(fā)現(xiàn),我們對(duì)分式的進(jìn)行放大,分母我們依次減去的數(shù)是n,1.不難發(fā)現(xiàn),這些數(shù)遞減,所得的結(jié)果也是遞減的.說(shuō)明減去的數(shù)越小,所得的結(jié)果越精確.同時(shí)通過(guò)兩道變?cè)囶}我們也發(fā)現(xiàn),保留前幾項(xiàng)不動(dòng),這樣放縮的精度也會(huì)高一些.有些模擬題中,經(jīng)常出現(xiàn)保留前2項(xiàng)到3項(xiàng)不動(dòng)的情況.那么作為學(xué)生如何判斷從第幾項(xiàng)開(kāi)始放縮呢?這需要學(xué)生去嘗試和試錯(cuò),如果第一項(xiàng)不行,那就嘗試第二項(xiàng),第三項(xiàng).【經(jīng)典例題2】已知SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,求證:SKIPIF1<0.【解析】已知SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0,故不等式得證.【經(jīng)典例題3】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0;（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）由題意SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也適合．所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；（2）由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0．類型二:等比放縮所謂等比放縮就是數(shù)列本身并非為標(biāo)準(zhǔn)的等比數(shù)列,我們將數(shù)列的通項(xiàng)經(jīng)過(guò)一定的放縮使之成為一個(gè)等比數(shù)列,然后再求和,我們通過(guò)例題進(jìn)行觀察了解.【經(jīng)典例題4】證明:SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0,由于不等式右邊分母為3,因此從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮,得SKIPIF1<0故不等式得證.【經(jīng)典例題5】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求證SKIPIF1<0是等差數(shù)列并求SKIPIF1<0；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；（3）求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為1的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【練習(xí)1】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，滿足SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0．故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0SKIPIF1<0又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0滿足題意，故SKIPIF1<0．法二：則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)時(shí)，SKIPIF1<0滿足題意.【練習(xí)2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0．（2）見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以每一項(xiàng)均為SKIPIF1<0的常數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【練習(xí)3】已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由函數(shù)SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，上式兩邊都倒過(guò)來(lái)，可得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0﹣2，∴SKIPIF1<0﹣1＝SKIPIF1<0﹣2﹣1＝SKIPIF1<0﹣3＝3（SKIPIF1<0﹣1）．∵SKIPIF1<0﹣1＝3．∴數(shù)列SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：SKIPIF1<0＝3n，∴an＝SKIPIF1<0，n∈N*．∵當(dāng)n∈N*時(shí)，不等式SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0?SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【練習(xí)4】已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0均在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上．若SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，試比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大??；（2）記SKIPIF1<0試證SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0適合上式，因此SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.◆題型二:放縮法證明數(shù)列不等式之函數(shù)型方法解密:數(shù)列放縮較難的的兩類便是形如數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)SKIPIF1<0的不等關(guān)系,即SKIPIF1<0或者數(shù)列前n項(xiàng)積與函數(shù)SKIPIF1<0的不等關(guān)系,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0的問(wèn)題,其中,這里的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積難求或者是根本無(wú)法求.面對(duì)這類題時(shí),首先,我們可以將SKIPIF1<0看成某個(gè)數(shù)列的和或者積,然后通過(guò)比較通項(xiàng)的大小來(lái)解決;其次,我們也可以對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行變形,使之能求和或者求積.往往第二種方法難以把握,對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)要求較高.而第一種方法相對(duì)簡(jiǎn)單易行,所以本專題以“拆項(xiàng)”為主線詳細(xì)講解.【經(jīng)典例題1】已知數(shù)列SKIPIF1<0(1)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,求證:數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列。(2)若數(shù)列SKIPIF1<0懣足SKIPIF1<0,求證:SKIPIF1<0【解析】(1)由題可知SKIPIF1<0,從而有SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0,欲證SKIPIF1<0,只需證SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)成立當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0易證SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.【經(jīng)典例題2】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)一切正整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)積SKIPIF1<0,欲證SKIPIF1<0,只需證SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0成立.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.得證.【練習(xí)1】求證:SKIPIF1<0【解析】不等式左邊是SKIPIF1<0個(gè)式子的乘積,所以也將不等式右邊的SKIPIF1<0看成SKIPIF1<0個(gè)式子的乘積,作商求通項(xiàng).令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,顯然只需證SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0證明.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.該不等式顯然成立,累乘可得SKIPIF1<0,而當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,顯然成立.故不等式得證.【練習(xí)2】已知公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0和前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(2)證明不等式SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)解：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0公差為SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）,(2)設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.欲證SKIPIF1<0,只需證SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，易證SKIPIF1<0.，所以SKIPIF1<0.，即SKIPIF1<0.【練習(xí)3】已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0,欲證SKIPIF1<0,只需證SKIPIF1<0.SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.接下來(lái)需要證明SKIPIF1<0通過(guò)構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0證明.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【練習(xí)4】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0與前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，求證SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述兩個(gè)等式相減可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.(2)設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0,欲證SKIPIF1<0,只需證SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0成立.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0（Ⅱ）見(jiàn)解析【分析】（Ⅰ）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0時(shí)以1為首項(xiàng)公比為2的等比數(shù)列，即可求解．（Ⅱ）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0．【詳解】（Ⅰ）由SKIPIF1<0，于是，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0顯然成立，綜上，對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．2.已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）將題干中的等式因式分解后得出SKIPIF1<0，由此得出SKIPIF1<0，再利用定義證明出數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（2）求出SKIPIF1<0，利用放縮法得出SKIPIF1<0，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證明出結(jié)論成立.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3.已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是正項(xiàng)等比數(shù)列，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（2）證明見(jiàn)解析；【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，相減得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0符合上式，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.（2）證明：由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4.數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0；數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與條件等式兩邊相減，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0=1,SKIPIF1<0.故有SKIPIF1<0所求通項(xiàng)公式分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0只需證明SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故原不等式成立5.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，求證：對(duì)于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<06.已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)解：由題意得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等式兩邊同乘SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.欲證SKIPIF1<0,只需證SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)成立當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0綜上可證：SKIPIF1<0．7.已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF