2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-猜想與證明壓軸題

試卷第=page1010頁(yè)，共=sectionpages1010頁(yè)2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：猜想與證明壓軸題1．在等邊中，D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．(1)如圖1，連接，當(dāng)B、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，取的中點(diǎn)F，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于G點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．2．如圖，在等邊中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請(qǐng)猜想、、的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，點(diǎn)K為邊上一點(diǎn)，連接、，在第（2）問(wèn)的條件下，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．3．在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)不與、重合，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖；(2)在圖的條件下，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，求證：．(3)在圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若點(diǎn)，，恰好在同一條直線時(shí)，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．在中，，，點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)①請(qǐng)補(bǔ)全圖形：②直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系____________；(2)取中點(diǎn)F，連接、，猜想與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明．5．與均為等邊三角形，在邊上，連接．(1)如圖，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖，若，在平面內(nèi)將圖中繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，交于點(diǎn)，連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．6．（1）正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，如圖1，請(qǐng)直接猜想并寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，將（1）中的繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，矩形和有公共頂點(diǎn)，且，則．7．如圖所示，在中，，，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接．操作感知：如果點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作交直線于，如圖所示，從而求得___________．猜想論證：如果點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，以上結(jié)論是否依然成立，并說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用：連接，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為_(kāi)__________．8．如圖，在等腰三角形中，，，，連接，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖中，點(diǎn)、分別在邊、上，線段、的數(shù)量關(guān)系是______，的大小為_(kāi)_____；(2)探究證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、、，圖中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長(zhǎng)AE交于點(diǎn)F，連接DE．猜想證明：(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線段CF與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：(3)如圖①，若AB＝5，CF＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．10．如圖1，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，點(diǎn)A在DG上，連接AE，CG．(1)求證：；(2)猜想：AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在其它條件不變的前提下，如果將正方形ABCD繞著點(diǎn)D按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（如圖2）．那么（2）中結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖3，將正方形ABCD繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得，．當(dāng)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出正方形ABCD的邊長(zhǎng)．11．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)．①線段DE與AC的位置關(guān)系是．（不需證明）②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是，證明你的結(jié)論；(2)猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．12．如圖，點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點(diǎn)C在線段AB上（不與A、B重合）移動(dòng)，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段BE和線段BQ中哪一條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．13．【問(wèn)題情境】如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到．延長(zhǎng)AE交于點(diǎn)F，連接DE．(1)【猜想證明】試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若DA＝DE，猜想線段CF與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)【解決問(wèn)題】如圖1，若AB＝13，CF＝7，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)度．14．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值______．15．如圖1，已知正方形BEFG，點(diǎn)C在BE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A在GB的延長(zhǎng)線上，且AB＝BC，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)D．(1)證明：四邊形ABCD是正方形；(2)當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，使得點(diǎn)G在射線DB上，連接BD和DF，點(diǎn)Q是線段DF的中點(diǎn)，連接CQ和QE，猜想線段CQ和線段QE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)將正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，當(dāng)∠CGB等于45°時(shí)，直線AE交CG于點(diǎn)H，探究線段CH、EG、AH的長(zhǎng)度關(guān)系．16．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE．連接CE、DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)．(1)求證：BD=CE；(2)如圖1所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連接CF，CF的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)P，連接DP，試猜想DP與CE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．(3)如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)BD=2CD時(shí)，連接CF，CF的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，求的值．17．如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想在圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，∠MPN的度數(shù)是______；(2)探究證明若△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)DE分別在邊AB，AC上，AD=AE，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2．連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸若△ABC中∠BAC=120°，AB=AC=13，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE=5，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．①△PMN的是______三角形．②若△PMN面積為S，直接利用①中的結(jié)論，求S的取值取值范圍．18．閱讀材料：如圖①，與都是等腰直角三角形，，且點(diǎn)在邊上，、的中點(diǎn)均為，連接、、，顯然，點(diǎn)、、在同一條直線上，可以證明，所以．解決問(wèn)題：（1）將圖①中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，猜想此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖③，若與都是等邊三角形，、的中點(diǎn)均為，上述（1）中結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)求出與之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖④，若與都是等腰三角形，、的中點(diǎn)均為，且頂角，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系（用含有的式子表示出來(lái)）．答案第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．(1)；(2)，(3)．2．(1)2(2)，(3)3．(3)，4．(1)(2)，，5．(1)(2)，6．（1）；（2）；（3）．7．操作感知：；猜想論證：結(jié)論不成立，；拓展應(yīng)用：的最小值為．8．(1)，(2)成立，9．(1)四邊形BFE是正方形，(2)線段CF與的數(shù)量關(guān)系是CF=，(3)10．(2)AE⊥CG．(3)（2）中結(jié)論仍然成立．(4)11．(1)①，②12．(1)a=2,b=2(2)CD=BD+AC．(3)BQ是定值，13．(1)正方形，(2)，(3)