廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，即可求解.【詳解】命題“，”的否定是“,”,故選：A2.下列不等式中成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】A，如時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；BCD，利用作差法比較大小分析得解.【詳解】A.若，則錯(cuò)誤，如時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；更多優(yōu)質(zhì)支援請嘉威鑫MXSJ663B.若，則，所以該選項(xiàng)正確；C.若，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性判斷即可.【詳解】，則，或，；，，則，所以是，的必要不充分條件.故選：D.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.5.下列四組函數(shù)中，與表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】分別判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，即可對選項(xiàng)一一判斷是否為同一函數(shù)．【詳解】對于A，與的定義域均為，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，與的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對于D，與的定義域均為，與的對應(yīng)關(guān)系相同，故是同一個(gè)函數(shù).故選：D.6.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)取值范圍為A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系，解不等式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上具有單調(diào)性，所以或，即得以或，選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56%C46% D.42%【答案】C【解析】【分析】由容斥原理即可得解..【詳解】由題意，該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.8.關(guān)于的方程，有下列四個(gè)命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；?。涸摲匠虄筛愄枺绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】對甲、乙、丙、丁分別是假命題進(jìn)行分類討論，分析各種情況下方程的兩根，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關(guān)于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根同號，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵就是對甲、乙、丙、丁分別是假命題進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件求出方程的兩根，再結(jié)合各命題的真假進(jìn)行判斷.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則以下正確的有（）A. B.C. D.集合A的真子集個(gè)數(shù)為4【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，先求出集合，再對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，則選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)榧吓c集合間的關(guān)系是包含關(guān)系，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋虾?個(gè)元素，故集合A的真子集個(gè)數(shù)為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.定義在上的偶函數(shù)在上的圖象如下圖，下列說法不正確的是（）A.僅有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B.有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間C.在其定義域內(nèi)的最大值是5D.在其定義域內(nèi)的最小值是-5【答案】ABD【解析】【分析】補(bǔ)齊函數(shù)圖象，觀察即可判斷.【詳解】因?yàn)槭嵌x在的偶函數(shù)，所以其圖象如下圖：由圖知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤；，C正確；由圖無法知曉其最小值，D錯(cuò)誤.故選：ABD11.正數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其性質(zhì)可判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.12.定義在正有理數(shù)集合上的函數(shù)具有以下性質(zhì)：①對于所有的正有理數(shù)a和b，；②對于每一個(gè)質(zhì)數(shù)，.則以下正確的是（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)所給條件，對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，由題知，，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，對于所有的正有理數(shù)a和b，有，故取，得到，即，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，令，得到，得到，故，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算即可.【詳解】由，即，即，即，所以不等式的解集是.故答案為：.14.函數(shù)的定義域?yàn)開___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式，列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15.若函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①定義域?yàn)榍沂窃龊瘮?shù)；②；③只有1個(gè)解.請寫出一個(gè)符合要求的函數(shù).________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意寫出滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，是增函?shù)，且為奇函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)，則可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?故答案為：（答案不唯一）.16.實(shí)數(shù)x，y滿足，則________.【答案】2【解析】【分析】將方程組中的方程，形式化成相同，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得結(jié)論．【詳解】方程組可化為設(shè)，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),故答案為：2四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.集合，，求，，【答案】，，【解析】【詳解】，，，，，或，或．18.已知不等式的解集為,集合，集合.（1）求b和c的值：（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)一元二次不等式化簡集合，即可根據(jù)子集關(guān)系，分情況求解即可.【小問1詳解】由于不等式的解集為，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故且，所以，【小問2詳解】，由可得,當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可知：或19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明：（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，分和，兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明如下：任取且，則，因?yàn)榍?，可得，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】解：由函數(shù)，任取，且，可得，若時(shí)，可得，所以，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，可得，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，可得，可得，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.20.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元.（1）寫出函數(shù)，的函數(shù)解析式：（2）這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和（）最?。俊敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）直接設(shè)出，根據(jù)題設(shè)條件可求出，，再根據(jù)實(shí)際問題知，即可求出結(jié)果；（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題可設(shè)，又在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，所以，得到，，得到，又由實(shí)際問題知，故.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即千米時(shí)，取等號，所以這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和（）最小.21.已知函數(shù)，且．（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域；（3）解不等式：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題可得，即求；（2）分段求值域，再求并集即得；（3）分情況討論，轉(zhuǎn)化為不等式組，最后求并集即得.【小問1詳解】∵，∴解得，∴，∴【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，的值域?yàn)?【小問3詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即，由，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為即，由，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為即，由，解得，綜上所述，不等式的解集為.22.設(shè)