面面垂直的判定和性質定理

平面與平面的垂直關系2021/5/91一、平面與平面垂直1．平面與平面垂直的定義

如果兩個平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就說這兩個平面互相垂直．

思考：如果你是一個質檢員，你怎樣去檢測、判斷建筑中的一面墻和地面是否垂直呢？2021/5/92平面與平面垂直的判定定理：

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.αβa簡記：線面垂直，則面面垂直.

面面垂直線面垂直線線垂直符號語言:2021/5/93如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．已知：AB⊥β，ABα（圖1）．求證：α⊥β。∵AB⊥β，CDβ，兩個平面垂直的判定定理證明：設α∩β=CD，∴AB⊥CD．在平面β內過點B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。2021/5/94探究1：ACBDA1C1B1D1面面垂直線面垂直線線垂直如圖為正方體,請問哪些平面與面垂直?2021/5/95請問哪些平面是互相垂直的,為什么?ABCD探究2：2021/5/963.兩個平面垂直應用舉例例1:AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，點C是⊙O上不同于A,B的任一點，求證：平面PAC⊥平面PBC．O2021/5/974.在解題時注意應用.3.證明面面垂直要從尋找面的垂線入手;2.理解面面垂直的判定都要依賴面面垂直的定義;1.定義面面垂直是在建立在二面角的平面角的基礎上的;小結：2021/5/98直線與平面垂直的性質平面與平面垂直的性質2021/5/992.線面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

1.線面垂直定義：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直。

復習回顧：3.平面與平面垂直的定義:如果兩個平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就說這兩個平面互相垂直．4.兩個平面垂直的判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．

2021/5/910直線與平面垂直的性質

在平面內，如果兩條直線同時垂直于另一條直線，那么這兩條直線平行。在空間中有相同或者類似的結論嗎？

觀察下面的長方體，找出所有標記的線面之間的位置關系。線面垂直的性質定理1：垂直于同一個平面的兩條直線平行。線面垂直的性質定理2：垂直于同一條直線的兩個平面平行。2021/5/911

如果兩個平面垂直，那么一個平面內的直線是否一定垂直于另一個平面?思考1：2021/5/912思考2：黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?思考3：如果兩個平面互相垂直，那么在第一個平面內垂直于交線的直線，是否垂直于第二個平面呢？2021/5/913[分析]在β內作BE⊥CD。要證AB⊥β，只需證AB垂直于β內的兩條相交直線就行。思考2：如圖2，α⊥β，ABα，AB⊥CD，α∩β=CD，求證：AB⊥β。兩個平面垂直的性質定理1兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．

而我們已經(jīng)有AB⊥CD，只需尋求另一條就夠了。而我們還有α⊥β這個條件沒使用，由α⊥β定義，則∠ABE為直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，問題也就得到解決．

2021/5/914思考3：設平面α

⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，直線a與平面α具有什么位置關系？2021/5/915β

cP已知：

⊥β，P∈

，P∈a,a⊥β.求證：a

∩證明：設

∩β=c，過點P在平面

內,

作直線b⊥c，根據(jù)上面的定理有b⊥β.因為經(jīng)過一點只能有一條直線與平面β垂直，所以直線a應與直線b重合.所以a

.∩abβ

cPba2021/5/916兩個平面垂直的性質定理2如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內．兩個平面垂直的性質定理1兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．

2021/5/9171．給出下列四個命題：

①垂直于同一個平面的兩個平面平行；

②垂直于同一條直線的兩個平面平行；

③垂直于同一個平面的兩條直線平行；

④垂直于同一條直線的兩條直線平行．

其中正確的命題的個數(shù)是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4B

課堂練習：2021/5/9182．給出下列四個命題：（其中a，b表示直線，α，β，γ表示平面）。

①若a⊥b，a∥α，則b⊥α；

②若a∥α，α⊥β，則a⊥β；

③若β∥γ，α∥γ，則α⊥β；

④若α⊥β，a⊥β，則a∥α。

其中不正確的命題的個數(shù)是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4D2021/5/919

3．已知兩個平面垂直，下列命題①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確的個數(shù)是（）（A）3（B）2（C）1（D）02021/5/9204．若兩個平面互相垂直，在第一個平面內的一條直線a垂直于第二個平面內的一條直線b，那么（）（A）直線a垂直于第二個平面;（B）直線b垂直于第一個平面;（C）直線a不一定垂直第二個平面;（D）過a的平面必垂直于過b的平面.2021/5/921解：在內作垂直于與交線的直線b，即直線a與平面平行。2021/5/922證明：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于該平面。2021/5/923小結：1.線面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.兩個平面垂直的性質定理1兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．

3.兩個平面垂直的性質定理2如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內．2021/5/9242021/5/925練習：如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都等于a，D、F分別是AC1、BB1的中點，（1）求證：DF//面A1B1C1（2）求證：DF⊥AC1,DF⊥BB1（3）求二面角F-AC1-C的大小。2021/5/926例1：如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N是邊AB、PC的中點，PA=AD，求證：（1）MN//面PAD

（2）面MND⊥面PDCPDCBANM2021/5/927BFECPA例2：如圖，已知AB是圓O的直徑，C是圓周上不同于A、B的點，PA垂直于圓O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PF于F。求證：面AEF⊥面PAB2021/5/928例4：已知正方體的棱長是a,求點C到面A1BD的距離及直線A1C與面A1BD所成的角；ABCDA1D1C1B12021/5/9292021/5/9302021/