2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)梳理6.1圓的基本概念與性質(zhì)

第六章圓6.1圓的基本概念與性質(zhì)◎理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念.◎探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.◎探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系,了解并證明圓周角定理及其推論.◎了解圓內(nèi)接四邊形的概念與性質(zhì).圓是安徽中考的重點(diǎn)考查章節(jié),每年都會(huì)考查,其中“圓的對(duì)稱性、圓周角定理及其推論”是重點(diǎn)考查內(nèi)容,考查的難度一般在中等或偏上,預(yù)測(cè)2022年還會(huì)圍繞本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查.命題點(diǎn)1垂徑定理及其推論[10年7考]1.(2021·安徽第20題)如圖,圓O中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點(diǎn)E.(1)M是CD的中點(diǎn),OM=3,CD=12,求圓O的半徑長(zhǎng);(2)點(diǎn)F在CD上,且CE=EF,求證:AF⊥BD.解:(1)如圖,連接OC,OD.因?yàn)镸是CD的中點(diǎn),且CD=12,所以CM=DM=6,且OM⊥DM.在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD=OM所以圓O的半徑長(zhǎng)為35.(2)如圖,連接AC,延長(zhǎng)AF交BD于點(diǎn)N.在△AEC與△AEF中,因?yàn)锳E=AE,∠AEC=∠AEF,EC=EF,所以△AEC≌△AEF,于是∠EAC=∠EAF.又因?yàn)椤螧AC=∠BDC,所以∠AND=∠BAN+∠ABN=∠BDC+∠ABD=90°,于是AF⊥BD.2.(2019·安徽第19題)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方,且圓被水面截得的弦AB的長(zhǎng)為6米,∠OAB=41.3°.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)(C,O的連線垂直于AB),求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.(參考數(shù)據(jù):sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)解:連接CO并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)D,則CD⊥AB.∴D為AB的中點(diǎn).所求運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長(zhǎng).在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3,∠OAD=41.3°∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=ADcos41∴CD=CO+OD=OA+OD=2.64+4=6.64(米).答:運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離約為6.64米.3.(2013·安徽第10題)如圖,點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓☉O上的點(diǎn),在以下判斷中,不正確的是(C)A.當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí),△APC是等腰三角形B.當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí),PO⊥ACC.當(dāng)PO⊥AC時(shí),∠ACP=30°D.當(dāng)∠ACP=30°時(shí),△BPC是直角三角形【解析】當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí),PB為直徑,又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以PB⊥AC,由垂徑定理可知,PA=PC,A項(xiàng)正確.當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí),分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí),有PA=PC,可知PA與PC相等,所以4.(2021·安徽第13題)如圖,圓O的半徑為1,△ABC內(nèi)接于圓O.若∠A=60°,∠B=75°,則AB=

2.

【解析】解法1:連接BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,連接AD.∵∠BAC=60°,∠ABC=75°,∴∠C=45°,∴∠D=∠C=45°.∵BD是圓O的直徑,∴∠BAD=90°,∴在Rt△ABD中,AB=BD·sin45°=2×22解法2:連接OA,OB.∵∠A=60°,∠B=75°,∴∠C=45°,∴∠AOB=90°.∵圓O的半徑為1,即OA=OB=1,∴AB=2.5.(2012·安徽第13題)如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,點(diǎn)O在∠D的內(nèi)部,四邊形OABC為平行四邊形,則∠OAD+∠OCD=60°.

【解析】根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半,所以∠AOC=2∠D.因?yàn)樗倪呅蜲ABC是平行四邊形,所以∠B=∠AOC.因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),所以∠B+∠D=180°,所以∠D=60°.連接OD,則OA=OD,OD=OC,所以∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,即有∠OAD+∠OCD=∠ADC=60°.6.(2014·安徽第19題)如圖,在☉O中,半徑OC與弦AB垂直,垂足為E,以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個(gè)交點(diǎn)為F,D是CF延長(zhǎng)線與☉O的交點(diǎn).若OE=4,OF=6,求☉O的半徑和CD的長(zhǎng).解:∵OC為小圓的直徑,∴∠OFC=90°,∴CF=DF.∵OE⊥AB,∴∠OEF=∠OFC=90°.又∵∠FOE=∠COF,∴△OEF∽△OFC,∴OEOF∴OC=OF2OE=624在Rt△OFC中,CF=OC∴CD=2CF=65.命題點(diǎn)3與圓的基本性質(zhì)相關(guān)的最值問(wèn)題[10年2考]7.(2016·安徽第10題)如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為(B)A.32 B.2C.81313 D【解析】∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴點(diǎn)P在以AB為直徑的☉O上,連接OC交☉O于點(diǎn)P,此時(shí)CP最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=OB2+BC2=5,∴CP=OC－OP=5－8.(2015·安徽第20題)在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時(shí),求PQ的長(zhǎng);(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí),求PQ長(zhǎng)的最大值.解:(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=3.連接OQ.在Rt△OPQ中,PQ=OQ(2)連接OQ.∵PQ2=OQ2－OP2=9－OP2,∴當(dāng)OP最小時(shí),PQ最大,此時(shí),OP⊥BC,OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=32∴PQ長(zhǎng)的最大值為9-3考點(diǎn)1垂徑定理及其推論典例1(2020·四川甘孜州)如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)H.若AB=10,CD=8,則OH的長(zhǎng)度為.

【解析】連接OC.∵CD⊥AB,∴CH=DH=12CD【答案】3運(yùn)用垂徑定理解決圓的有關(guān)證明和計(jì)算問(wèn)題,常用的作輔助線的方法是過(guò)圓心作弦的垂線,得到直角三角形,再結(jié)合勾股定理解決問(wèn)題.提分1往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后,截面如圖所示.若水面寬AB=48cm,則水的最大深度為(C)A.8cm B.10cmC.16cm D.20cm【解析】過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,連接OB.∵OC⊥AB,∴AC=BC=24cm,∠OCB=90°,∴在Rt△OCB中,OC=OB2-BC2=10cm,提分2AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足為M,連接OA.若△AOM中有一個(gè)角是30°,OM=23,則弦AB的長(zhǎng)為12或4.

【解析】∵OM⊥AB,∴AM=BM.如圖1,若∠OAM=30°,則tan∠OAM=OMAM=23AM=33,∴AM=6,∴AB=2AM=12;如圖2,考點(diǎn)2圓周角定理及其推論典例2(2021·湖北宜昌)如圖,C,D是☉O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn),設(shè)∠ABC=25°,則∠BDC=()A.85° B.75°C.70° D.65°【解析】∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠ABC=25°,∴∠BAC=90°－25°=65°,∴∠BDC=∠BAC=65°.【答案】D【思維教練】在圓中求一個(gè)角的度數(shù)時(shí),已知圓的直徑可得到90°的圓周角,我們可以利用三角形的內(nèi)角和定理求角度,也可以根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換求角度.提分3(2021·四川雅安)如圖,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形.若四邊形OBCD為菱形,則∠BAD的度數(shù)為(B)A.45° B.60°C.72° D.36°【解析】∵四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠BAD+∠BCD=180°.由圓周角定理得∠BOD=2∠BAD,∵四邊形OBCD為菱形,∴∠BOD=∠BCD,∴∠BAD+2∠BAD=180°,解得∠BAD=60°.提分4(2021·浙江湖州)如圖,AB是☉O的直徑,∠ACD是AD所對(duì)的圓周角,∠ACD=30°.(1)求∠DAB的度數(shù).(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,DE的延長(zhǎng)線交☉O于點(diǎn)F.若AB=4,求DF的長(zhǎng).解:(1)解法1:連接BD.∵∠ACD=30°,∴∠B=∠ACD=30°.∵AB是☉O