fan2003初二用全等等腰壓軸題

（山東東營(yíng)）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD＋CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD＋CE是否成立？如成立；請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線l上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀．DDAElBCBCDAElFBCDAEl圖（1）圖（2）圖（3）DAElBC圖（1）證明：（1）∵BDDAElBC圖（1）∴∠BDA＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD又AB＝AC，∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CEBCDAEl圖（2）（2）BCDAEl圖（2）∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α∴∠DBA＝∠CAE∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC∴△ADB≌△CEA，∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE（3）由（2）知，△ADB≌△CEABD＝AE，∠DBA＝∠CAEFBCDAEl圖（FBCDAEl圖（3）∴∠ABF＝∠CAF＝60°∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF∴∠DBF＝∠FAE∵BF＝AF，∴△DBF≌△EAF∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°∴△DEF為等邊三角形（江蘇模擬）如圖，等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，且∠APB＝120°，∠APC＝90°．（1）求證：AP＝2BP（2）D為BC上一點(diǎn)，且∠CPD＝30°，探究線段BD與線段AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．AABCP（1）將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBE，連接PE則△BPE為等邊三角形，BP＝BE＝PE，∠BPE＝∠BEP＝60°ABCEPDF∵∠APB＝120°，∴∠APBABCEPDF∴A、P、E三點(diǎn)在同一直線上∵∠APC＝90°，∴∠CPE＝90°∵∠CEB＝∠APB＝120°，∴∠PEC＝60°∴∠PCE＝30°，∴CE＝2PE∴AP＝2BP（2）延長(zhǎng)PD交CE于F∵∠CPD＝30°，∴∠EPF＝60°，∠PCF＝∠CPF＝30°∴∠PFC＝120°，PF＝CF＝EF∴DF∥BE，∴BD＝CD＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)ACACEHBDGF（江蘇模擬）已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，分別以AC、AB為邊向外作等邊△ACD和等邊△ABE，DE交AC于F，交AB于GACEHBDGF（1）求證：DG＝GE；（2）求證：∠DHE＝120°；（3）求DF:FG:GE的值．（1）過(guò)E作EM⊥AB于M∵△ABE是等邊三角形，∴ME＝EQ\F(eq\r(,3),2)AB∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°∴AC＝EQ\F(eq\r(,3),2)ABACEHBDMGF∵△ACD是等邊三角形，∴AD＝AC＝EQ\F(eq\r(,3),2)ACEHBDMGF∴AD＝ME又∠DAG＝60°＋30°＝90°＝∠EMG，∠AGD＝∠MGE∴△ADG≌△MEG，∴DG＝GE（2）∵AD＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°＋30°＝90°，AB＝AE∴△ADB≌△ACE，∴∠ABD＝∠AEC∴∠DHE＝∠DBE＋∠BEC＝(∠ABD＋60°)＋(60°－∠AEC)＝120°ACEHBDMGFN（3）取ACEHBDMGFN則DN⊥AC，MN∥BC，MN⊥AC∴D、N、M三點(diǎn)共線，∴DM∥AE∴EQ\F(DF,FE)＝EQ\F(DN,AE)＝EQ\F(EQ\F(eq\r(,3),2)×EQ\F(eq\r(,3),2)AB,AB)＝EQ\F(3,4)設(shè)DF＝3k，F(xiàn)G＝x，則FE＝4k∵DG＝GE，∴3k＋x＝4k－x∴x＝EQ\F(1,2)k，∴GE＝3k＋x＝EQ\F(7,2)k∴DF:FG:GE＝6:1:7（江蘇模擬）已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中點(diǎn)，PD⊥AC，PE⊥PC，交直線AB于E．（1）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖①，求證：PE＝PC；（2）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)，如圖②、③、④，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接PB，當(dāng)△PBE是等腰三角形時(shí)，∠PBE的度數(shù)為___________．AABCDABCDABCDBCAPEPEPDPEE①②③④（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)DP交AB于F，連接PA、CFABCDPEABCDPE①F123∴PA＝PC，F(xiàn)A＝FC又PF＝PF，∴△PAF≌△PCF∴∠1＝∠2由題意，△ABC是等腰直角三角形，DF是中位線∴CF⊥AB又PE⊥PC，∴∠2＝∠3ABCDPE②F132ABCDPE②F132∴PE＝PC（2）成立如圖②，設(shè)PD交AB于F，連接PA、CF同理可證PA＝PC，∠1＝∠2，∠2＝∠3∴∠1＝∠3，∴PA＝PE∴PE＝PCABCDPE③F3ABCDPE③F312∵∠2＋∠CPD＝90°，∠3＋∠CPD＝90°∴∠2＝∠3∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3∵∠PAE＝∠1＋45°，∠PEA＝∠3＋45°∴∠PAE＝∠PEA，∴PA＝PE∴PE＝PCBCADPE④FG321如圖④，延長(zhǎng)BCADPE④FG321∵∠2＋∠EPD＝90°，∠3＋∠EPD＝90°∴∠2＝∠3∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3∵∠PAE＝∠1＋45°，∠PEA＝∠3＋45°∴∠PAE＝∠PEA，∴PA＝PE∴PE＝PC（3）15°或30°或75°或150°提示：①當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)（如圖①）∵∠3＝∠1＜45°，∴∠PEB＞135°∴只能PE＝BE（如圖⑤）ABC⑤PDEF連接AP并延長(zhǎng)交ABC⑤PDEF易知PC是Rt△ACF斜邊AF的中線∴PC＝PA＝PF∵PE＝PC，∴PA＝PE＝PF易證∠AEF＝90°，∴∠BEF＝90°∴EF＝BE∵PE＝BE，∴EF＝PE，∴PE＝PF＝EF∴△PEF是等邊三角形∴∠PEF＝60°，∴∠PEA＝30°∴∠PBE＝15°②當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)⑥PACBEFDi）如圖②，∵∠1＝∠⑥PACBEFD∴∠PBA＞∠1，∴PA＞PB∵PA＝PE，∴PE＞PB若PB＝BE（如圖⑥）連接AP并延長(zhǎng)交CB延長(zhǎng)線于F，連接EF易知PC是Rt△ACF斜邊AF的中線∴PC＝PA＝PF∵PE＝PC，∴PA＝PE＝PF易證∠AEF＝90°，∴EF＝BE∵PB＝BE，∴∠PEB＝∠BPE，EF＝PB∵∠PEF＝90°－∠PEB，∠CPB＝90°－∠BPE∴∠PEF＝∠CPB又PE＝CP，∴△PEF≌△CPB∴PF＝CB，∴PC＝BC∴AC＝PC＝PA∴△ACP是等邊三角形∴∠ACP＝60°，∴∠PCB＝30°∴∠PBC＝75°，∴∠PBA＝30°∴∠PBE＝150°若PE＝BE（如圖⑦）ACBPE⑦DF連接ACBPE⑦DF易知PC是Rt△ACF斜邊AF的中線∴PC＝PA＝PF∵PE＝PC，∴PA＝PE＝PF易證∠AEF＝90°，∴EF＝BE∵PE＝BE，∴EF＝PE，∴PE＝PF＝EF∴△PEF是等邊三角形∴∠PEF＝60°，∴∠PEB＝30°∴∠PBE＝75°ii）如圖③、圖④，∵∠PCB＞135°∴PB＞PC∵PC＝PE，∴PB＞PE如圖③，連接CE，則∠ACE＜45°∴∠BCE＞45°，∴∠BCE＞∠B∴BE＞CE＞PE如圖④，連接CE，則∠BCE＞90°∴BE＞CE＞PE∴只能PB＝BE（如圖⑧）連接AP并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于F，連接EFABC⑧PDEF易知PCABC⑧PDEF∴PC＝PA＝PF∵PE＝PC，∴PA＝PE＝PF易證∠AEF＝90°，∴EF＝BE∵PB＝BE，∴∠PEB＝∠BPE，EF＝PB∵∠PEF＝90°－∠PEB，∠CPB＝90°－∠BPE∴∠PEF＝∠CPB又PE＝CP，∴△PEF≌△CPB∴PF＝CB，∴PC＝BC∴AC＝PC＝PA∴△ACP是等邊三角形∴∠ACP＝60°，∴∠PCF＝30°，∴∠PBF＝15°∴∠PBE＝30°（浙江湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P，D分別在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：△BPO≌△PDE；（2）若BP平分∠ABO，其余條件不變，求證：AP＝CD；（3）若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過(guò)程）ABABCO備用圖ABDCEOP（1）證明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°∵BO⊥AC于點(diǎn)O，∴∠OBC＝45°∴∠OBC＝∠C＝45°ABDCEOP∵∠PBO＝∠PBD－∠OBC，∠DPEABDCEOP∴∠PBO＝∠DPE又∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP＝∠PED＝90°∵PB＝PD，∴△BPO≌△PDE（2）由（1）可得∠PBO＝∠DPE∵BP平分∠ABO，∴∠ABP＝∠PBO∴∠ABP＝∠DPE又∵∠A＝∠C，PB＝PD，∴△ABP≌△CPD∴AP＝CDABCP′OD′F（3）CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是：CD′＝EQ\F(eq\r(,2),3)ABCP′OD′F解析過(guò)程如下：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F設(shè)PF＝x，則CF＝x，AB＝BC＝4x，PC＝eq\r(,2)x∴AP′＝3eq\r(,2)x，BF＝FD′＝3x∴CD′＝2x∴CD′＝EQ\F(eq\r(,2),3)AP′ABCP（北京模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BAP＝70°，∠ABP＝ABCP（1）求證：△ABP是等腰三角形；（2）連接PC，當(dāng)∠PCB＝30°時(shí)，求∠PBC的度數(shù)．（1）證明：∵∠BPA＝180°－∠BAP－∠ABP＝70°＝∠BAP∴BA＝BP，∴△ABP是等腰三角形ABCPD（2）解：以BC為底邊向上作等邊△BCD，ABCPD則BC＝DC，∠PCD＝∠PCB＝30°又PC＝PC，∴△PDC≌△PBC∴PD＝PB，∴PD＝PB＝AB＝AC又BD＝BC，∴△PBD≌△ABC∴∠PBD＝∠ABC，∴∠ABD＝∠PBC∵∠ABD＋∠PBC＋∠ABP＝60°∴∠PBC＝EQ\F(1,2)(60°－40°)＝10°ABCEMDl（北京模擬）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是BC中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)B，AD⊥l于D，ABCEMDl（1）求證：AD＝DE；（2）探究線段CE與DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（1）在BD上截取BF＝CE，連接AFABCEMDlF∵∠BAC＝90°，∴∠ABCEMDlF∵AD⊥BD，∴∠BAD＋∠ABF＝90°∴∠ABF＝∠DAC∵AD⊥l，CE⊥l，∴AD∥CE∴∠DAC＝∠ACE，∴∠ABF＝∠ACE又AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF'≌△ACE∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠FAC＋∠BAF＝90°∴△AFE是等腰直角三角形∴AD＝DE（2）作CG∥BE，交AD的延長(zhǎng)線于G，連接AM、MG則四邊形DGCE是矩形，∴DE＝GC，DG＝CE∵AD＝DE，∴AD＝GCABCEMDlG∵CG∥ABCEMDlG∵AB＝AC，M是BC中點(diǎn)，∴AM⊥BC∵AD⊥BD，∴∠MAD＝∠DBM∴∠MAD＝∠MCG∵∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形∴AM＝CM，∴△AMD'≌△CMG∴DM＝MG，∠AMD＝∠CMG∴∠DMG＝∠DMC＋∠CMG＝∠DMC＋∠AMD＝90°∴△MDG是等腰直角三角形∴DG＝eq\r(,2)DM，∴CE＝eq\r(,2)DM（北京模擬）在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線，BD、CE相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠ACB＝90°，線段OD與OE之間的數(shù)量關(guān)系是___________；（2）如圖2，若∠ACB≠90°，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)O作OF⊥DE于F，交BC于G，求證：OG＝2OF．AABCOED圖1圖2圖3BCAEDOBCGAEDOF（1）OD＝OE（2）（1）中的結(jié)論OD＝OE仍然成立BCGAEDO證明：在BC上截取BGBCGAEDO∵∠OBE＝∠OBG，OB＝OB，∴△OBE≌△OBG∴∠BOE＝∠BOG，OE＝OG∵∠A＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ABC∴∠OBC＋∠OCB＝EQ\F(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝EQ\F(1,2)(180°－∠A)＝EQ\F(1,2)(180°－60°)＝60°∴∠BOE＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝60°∴∠COG＝60°，∴∠COD＝∠COG又∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCG，∴△COD≌△COGBCGAEDOF∴ODBCGAEDOF（3）∵OD＝OE，OF⊥DE，∴∠DOF＝∠EOF＝EQ\F(1,2)∠DOE∵∠COD＝60°，∴∠DOE＝120°∴∠DOF＝60°，∴∠COG＝60°，OD＝2OF∴∠COD＝∠COG又∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCG，∴△COD≌△COG∴OD＝OG，∴OG＝2OF（山東德州）（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD．請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE＝CD；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD．BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的長(zhǎng)．AABCADFBCEGAEBC圖1圖2圖3ABCEDABCED證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC即∠CAD＝∠EAB∴△CAD≌△EAB∴BE＝CDADFBCEGADFBCEG理由同（1）：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠EAB∴△CAD≌△EAB∴BE＝CD（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，過(guò)A作Rt△ABD，使∠BAD＝90°AEBCD則AD＝AB＝100，∠AEBCD∴BD＝100eq\r(,2)連接CD，則由（2）可得BE＝CD∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100eq\r(,2)∴CD＝eq\r(,1002＋(100eq\r(,2))2)＝100eq\r(,3)∴BE的長(zhǎng)為100eq\r(,3)米等腰1．（北京）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如圖2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．圖圖1圖2AABCDDBCE（1）∠ABD＝30°－EQ\F(α,2)（2）△ABE是等邊三角形證明：連接AD、CD∵∠DBC＝60°，BD＝BC∴△BCD是等邊三角形，∠BDC＝60°，BD＝DCABCDE又∵AB＝AC，AD＝ADABCDE∴∠ADB＝∠ADC，∴∠ADB＝150°∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC又∵BD＝BC，∠ADB＝∠ECB＝150°∴△ABD≌△EBC，∴AB＝EB∴△ABE是等邊三角形（3）解：∵△BDC是等邊三角形，∴∠BCD＝60°∴∠DCE＝∠BCE－∠BCD＝90°又∵∠DEC＝45°，∴CE＝CD＝BC∴∠EBC＝15°∵∠EBC＝∠ABD＝30°－EQ\F(α,2)∴α＝30°（福建模擬）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，且AB＝AD，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD交AD延長(zhǎng)線于M．（1）若AC＝BC，如圖1．①求∠B的度數(shù)；②探究AB＋AC與AM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）若AC≠BC，如圖2．問(wèn)（1）中②的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若BC平分∠ACM，直接寫出EQ\F(AC,AB)的值．AAABCDMBDCM圖2圖1ABCDME解：（1）①設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，則∠ABCDME∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝EQ\F(1,2)(180°－α)＝90°－EQ\F(1,2)α∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B∴2α＝90°－EQ\F(1,2)α，∴α＝36°∠B＝90°－EQ\F(1,2)α＝72°②AB＋AC＝2AM證明：延長(zhǎng)AM至E，使ME＝AM，連接CE∵∠B＝72°，∴∠MDC＝∠ADB＝72°∴∠BAD＝∠CAD＝36°，∠DCM＝18°∵CM⊥AE，∴CM是AE的垂直平分線ABDCME∴AC＝CE，∴∠E＝ABDCME∴∠MCE＝90°－36°＝54°∴∠DCE＝∠DCM＋∠MCE＝18°＋54°＝72°∴∠MDC＝∠DCE，∴CE＝DE，∴AC＝DE∴AB＋AC＝AD＋DE＝AE＝2AM（2）成立證明：延長(zhǎng)AM至E，使ME＝AM，連接CE∵CM⊥AE，∴CM是AE的垂直平分線∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAD設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，則∠E＝α∴∠MCE＝90°－α∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝EQ\F(1,2)(180°－α)＝90°－EQ\F(1,2)α∴∠MDC＝∠ADB＝90°－EQ\F(1,2)α∴∠DCM＝90°－∠MDC＝EQ\F(1,2)αABDCM∴∠DCE＝∠DCM＋∠MCE＝EQ\F(1,2)α＋90°－α＝90°－EQ\F(1,2)αABDCM∴∠MDC＝∠DCE，∴CE＝DE，∴AC＝DE∴AB＋AC＝AD＋DE＝AE＝2AM（3）tanB＝eq\r(,2)＋1提示：∵∠ACB＝∠MCD，∠B＝∠ADB＝∠MDC∴∠BAC＝∠M＝90°∴∠BAD＝∠CAD＝∠ACM＝45°設(shè)AM＝a，則AC＝eq\r(,2)a，AB＝2AM－AC＝(2－eq\r(,2))a∴tanB＝EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(eq\r(,2)a,(2－eq\r(,2))a)＝eq\r(,2)＋1（廣東模擬）已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接DM、BM．（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且不與點(diǎn)B重合，如圖1，求證：BM＝DM且BM⊥DM；（2）如果將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于45°），如圖2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)舉出反例．AACDEMBACBDME圖1圖2（1）在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點(diǎn)ACDEMB∴BM＝EQ\F(1,2)EC＝EMACDEMB∴∠EMB＝2∠ECB在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點(diǎn)∴DM＝EQ\F(1,2)EC＝EM＝MC∴∠EMD＝2∠ECD∴BM＝DM，∠EMB＋∠EMD＝2(∠ECB＋∠ECD)＝2∠ACB＝90°即BM⊥DM（2）（1）中的結(jié)論仍成立連接BD，延長(zhǎng)DM至F，使MF＝DM，連接BF、FC，延長(zhǎng)ED交AC于G∵DM＝MF，EM＝MC，∴四邊形CDEF為平行四邊形∴DE∥CF，ED＝CF∵ED＝AD，∴AD＝CF∵DE∥CF，∴∠AGE＝∠ACF∵∠BAD＝45°－∠DAG＝45°－(90°－∠AGE)＝∠AGE－45°，∠BCF＝∠ACF－45°ACGBDMACGBDMEF又AB＝BC，∴△ABD≌△CBF∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF∴∠DBF＝∠CBF＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC＝∠ABC＝90°∴△BDF是等腰直角三角形又DM＝MF，∴BM＝DM且BM⊥DM（湖北模擬）（1）如圖1，已知點(diǎn)B是線段AD上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），分別以AB、BD為斜邊在AD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE，M是AD的中點(diǎn)，連接CM，EM．求證：△CME是等腰直角三角形；（2）將圖1中的△ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，M是AD的中點(diǎn)，連接CM，EM．（1）的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由；ABDECMBDBDCAMEEAC圖1圖2圖3α（3）將圖ABDECMBDBDCAMEEAC圖1圖2圖3α（1）證明：作CF⊥AB于F，EG⊥BD于GABDECMABDECM圖1FG213∴AF＝BF＝CF＝EQ\F(1,2)AB，BG＝DG＝EG＝EQ\F(1,2)BD∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM＝DM＝EQ\F(1,2)AD∴MF＝AM－AF＝EQ\F(1,2)(AD－AB)＝EQ\F(1,2)BDMG＝DM－DG＝EQ\F(1,2)(AD－BD)＝EQ\F(1,2)AB∴MF＝EG，CF＝MG∴Rt△CFM≌Rt△MGE∴CM＝EM，∠1＝∠2∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°∴∠CME＝90°∴△CME是等腰直角三角形（2）仍然成立證明：作CF⊥AB于F，EG⊥BD于G，連接MF、MGBDCAMEBDCAME圖2FG12∴F是AB的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)又∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)∴MF＝EQ\F(1,2)BD＝EG，MG＝EQ\F(1,2)AB＝CFMF∥BD，MG∥AB∴四邊形BFMG是平行四邊形∴∠1＝∠2，∴∠CFM＝∠MGE∴△CFM≌△MGE∴CM＝EM，∠CMF＝∠MEG∴∠CMF＋∠FMG＋∠EMG＝∠MEG＋(180°－∠2)＋(180°－∠MEG－∠MGE)＝360°－(∠2＋∠MGE)＝360°－90°＝270°∴∠CME＝90°∴△CME是等腰直角三角形（3）EQ\F(4＋eq\r(,7),3)提示：取AD中點(diǎn)M，連接EM，過(guò)E作EH⊥BC交BC延長(zhǎng)線于H則四邊形CMEH是正方形，CH＝EHBDACM圖3αEH設(shè)BDACM圖3αEH∵BD＝2AB，∴BE＝2BC＝2a在Rt△BEH中，x2＋(x＋a)2＝(2a)2解得x＝EQ\F(eq\r(,7)－1,2)a，∴BH＝x＋a＝EQ\F(eq\r(,7)＋1,2)a∵∠ABC＋∠EBD＝45°＋45°＝90°∴α＋∠CBE＝90°∵∠BEH＋∠CBE＝90°，∴α＝∠BEH∴tanα＝tan∠BEH＝EQ\F(BH,EH)＝EQ\F(4＋eq\r(,7),3)ABCD（四川模擬）已知：△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，∠ABC的平分線BD與∠ACB的平分線CD相交于點(diǎn)D，且CD＝AB，求證：∠A＝ABCD證明：過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交BD延長(zhǎng)線于E，連接CE，設(shè)AC、BE相交于點(diǎn)O則∠1＝∠ACB，∠2＝∠3ABCDE1234O675∵ABCDE1234O675∴OB＝OC，∠1＝∠2∴OA＝OE又∠AOB＝∠EOC，∴△AOB≌△EOC∴∠BAC＝∠CED，∠5＝∠4＝∠3，AB＝CE∵CD＝AB，∴CD＝CE∴∠CED＝∠CDE＝∠3＋∠6又∠DCE＝∠5＋∠7，∠6＝∠7∴∠CED＝∠CDE＝∠DCE＝60°∴∠BAC＝∠CED＝60°（湖北模擬）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，∠DCB＝∠EBC＝EQ\F(1,2)∠A，求證：BD＝CE．AABCDEABCDEFGO證明：作BF⊥CD于F，CG⊥BE于ABCDEFGO∵∠DCB＝∠EBC，BC＝BC∴Rt△FBC≌Rt△GCB，∴BF＝CG∵∠DCB＝∠EBC＝EQ\F(1,2)∠A，∴∠EOC＝∠A∵∠OCE＝∠ACD，∴∠GEC＝∠ADC＝∠FDB∴Rt△BDF≌Rt△CEG，∴BD＝CE（湖北模擬）已知△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，DF⊥DE交AC于F，BM平分∠ABC交DE于M，CN平分∠ACB交DF于N，連接AM、AN．ABCDEFMN求證：∠MAN＝EQ\F(1,2ABCDEFMN證明：將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABN′則AN′＝AN，BN′＝CN，∠1＝∠2，∠3＝∠4ABCDEFMNN′G34ABCDEFMNN′G34125678延長(zhǎng)ND至G，使DG＝DN，連接BG、MN、MN′∵DG＝DN，∠BDG＝∠CDN，BD＝CD∴△BDG≌△CDN，∴BG＝CN，∠6＝∠5∴BN′＝BG∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∵∠7＝∠8＝EQ\F(1,2)∠ABC，∠2＝∠5＝EQ\F(1,2)∠ACB∴∠7＝∠8＝∠2＝∠5，∴∠1＝∠6＝∠7＝∠8∴∠MBN′＝∠MBG又BM＝BM，∴△BMN′≌△BMG∴MN′＝MG∵M(jìn)D⊥GN，DG＝DN，∴MN＝MG∴MN′＝MN又AM＝AM，AN′＝AN∴△AMN′≌△AMG，∴∠MAN′＝∠MAN＝EQ\F(1,2)∠N′AN∵∠3＝∠4，∴∠N′AN＝∠BAC∴∠MAN＝EQ\F(1,2)∠BAC（遼寧模擬）在等邊△ABC中，D為射線BC上一點(diǎn)，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上．求證：①AD＝DE；②BC＝DC＋2CF；（2）如圖2，若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．AABCDEFABCDEF圖1圖2AABCDEFG（1）①過(guò)D作DG∥AC交AB于G∵△ABC是等邊三角形，AB＝BC，∴∠B＝∠ACB＝60°∴∠BDG＝∠ACB＝60°，∴∠BGD＝60°∴△BDG是等邊三角形，∴BG＝BD∴AG＝DC∵CE是∠ACB外角的平分線，∴∠DCE＝120°＝∠AGD∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°＝∠ADB＋∠DAG∴∠EDC＝∠DAG，∴△AGD≌△DCE∴AD＝DEABCDEFG②∵△AGD≌△DCE，∴GDABCDEFG∴BC＝CE＋DC＝DC＋2CF（2）①成立；②不成立，此時(shí)BC＝2CF－CD證明：過(guò)D作DG∥AC交AB延長(zhǎng)線于G以下略等邊三角形（遼寧模擬）已知O是等邊△ABC的中心，E、F分別是直線AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EOF＝60°．記△AEF的周長(zhǎng)為m，△ABC的周長(zhǎng)為n．（1）如圖1，當(dāng)E、F在邊AB、AC上，且AE＝AF時(shí)，BE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系是_____________；此時(shí)EQ\F(m,n)＝_________；（2）如圖2，當(dāng)E、F在邊AB、AC上，且AE≠AF時(shí)，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)E在邊AB上，F(xiàn)在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AF＝2，求m與n的關(guān)系式．AAAABCBCBC圖1圖2圖3OOOEFEFFE（1）BE＝EF＋AF；EQ\F(m,n)＝EQ\F(1,3)（2）猜想：（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立證明：在AC上取點(diǎn)G，使∠EOG＝120°，連接OA、OBABC圖2OEFGABC圖2OEFG∴OA＝OB，∠AOB＝120°，∠OAG＝∠OBE＝30°∴∠AOG＝∠BOE＝120°－∠AOE∴△AOG≌△BOE，∴AG＝BE，OG＝OE∵∠EOF＝60°，∴∠GOF＝60°＝∠EOF又∵OF＝OF，∴△EOF≌△GOF∴EF＝FG∴BE＝AG＝AF＋FG＝AF＋EF即BE＝EF＋AFABC圖3OFEGEQ\F(m,n)＝EQ\F(AE＋AF＋EF,3AB)＝EQ\F(AE＋BE,3AB)＝EQ\F(AB,3AB)＝EQ\F(1,3)ABC圖3OFEG即EQ\F(m,n)＝EQ\F(1,3)（3）在AC上取點(diǎn)G，使∠EOG＝120°，連接OA、OB同理可證：△AOG≌△BOE，△EOF≌△GOF∴AG＝BE，EF＝FG∴BE＝AG＝FG－AF＝EF－AF∵AF＝2，∴EF＝BE＋2∴m＝AE＋AF＋EF＝AE＋2＋BE＋2＝4＋AB＝EQ\F(1,3)n＋4即m＝EQ\F(1,3)n＋4等邊三角形（遼寧阜新）已知△ABC為等邊三角形，D為AB邊所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC的兩側(cè)作等邊△DCE和等邊△DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC的左側(cè)或下側(cè)），連接AE，BF．（1）如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想線段AE，BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．（2）如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE，BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（不需要證明）；（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，探究線段AE，BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并直接寫出結(jié)論（不需要證明）．AAEBCDFAEBDCFABC圖1圖2圖3（1）AB＝BF＋AE證明：∵△ABC為等邊三角形∴AC＝BC，∠ACB＝60°又∵△DCE和△DCF是以DC為公共邊的等邊三角形∴DC＝FC＝EC，∠DCF＝∠DCE＝60°EDFABC∴∠BCF＝∠DCA＝60°－∠DCB，∠ACE＝∠DCBEDFABC∴△DCA≌△FCB，△ECA≌△DCB∴AD＝BF，BD＝AE∴AB＝AD＋BD＝BF＋AE（2）結(jié)論：AB＝BF－AE（3）正確畫出圖形結(jié)論：AB＝AE－BF（遼寧鞍山）（1）如圖1，AB＝AC，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC＝180°，點(diǎn)A，E，F(xiàn)在一條直線上，△ABE與△CAF全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；BACEF12BAC21FED圖1圖2（2）如圖2，△ABC為等腰三角形，AB＝AC＞BC，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC＝180°，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，D在一條直線上，點(diǎn)D在BACEF12BAC21FED圖1圖2解：（1）△ABE≌△CAF理由：∵點(diǎn)A，E，F(xiàn)在一條直線上，∴∠1＋∠BEF＝180°又∵∠1＋∠BAC＝180°，∴∠BE