隨機(jī)信號(hào)分析課件

第1章隨機(jī)過(guò)程

本章主要內(nèi)容：

隨機(jī)過(guò)程的基本概念

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的微分和積分計(jì)算隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性和遍歷性隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)復(fù)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)過(guò)程馬爾可夫鏈泊松過(guò)程**隨機(jī)變量

與時(shí)間無(wú)關(guān)

隨機(jī)過(guò)程

與時(shí)間相關(guān)

**1.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念及統(tǒng)計(jì)特性

一定義

對(duì)接收機(jī)的噪聲電壓作觀察

**1樣本函數(shù)：，，，…，，都是時(shí)間的函數(shù)，稱(chēng)為樣本函數(shù)。

2隨機(jī)性：一次試驗(yàn)，隨機(jī)過(guò)程必取一個(gè)樣本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機(jī)性。因此，隨機(jī)過(guò)程不僅是時(shí)間t的函數(shù)，還是可能結(jié)果的函數(shù)，記為，簡(jiǎn)寫(xiě)成。

**定義2：若對(duì)于每個(gè)特定的時(shí)間，都是隨機(jī)變量，則稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻的狀態(tài)。定義1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若對(duì)于每個(gè)元素，總有一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)與它對(duì)應(yīng)，這樣，對(duì)于所有的，就可以得到一簇時(shí)間t的函數(shù)，稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程。簇中的每一個(gè)函數(shù)稱(chēng)為樣本函數(shù)。3隨機(jī)過(guò)程的定義：

**4定義的理解：

上面兩種隨機(jī)過(guò)程的定義，從兩個(gè)角度描述了隨機(jī)過(guò)程。具體的說(shuō)，作觀測(cè)時(shí)，常用定義1，這樣通過(guò)觀測(cè)的試驗(yàn)樣本來(lái)得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性；對(duì)隨機(jī)過(guò)程作理論分析時(shí)，常用定義2，這樣可以把隨機(jī)過(guò)程看成為n維隨機(jī)變量，n越大，采樣時(shí)間越小，所得到的統(tǒng)計(jì)特性越準(zhǔn)確。

**理解：

一個(gè)時(shí)間函數(shù)族

一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)確定值1和都是變量2是變量而固定3

固定而是變量

4

和都固定

**二分類(lèi)

1按隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間和狀態(tài)來(lái)分類(lèi)

連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻的取值都是連續(xù)型隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻的取值都是離散型隨機(jī)變量。

**

離散隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間t只能取某些時(shí)刻，如，2，…..，n，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，即時(shí)間和狀態(tài)是離散的。相當(dāng)于采樣后再量化。

連續(xù)隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間t只能取某些時(shí)刻，如，2，…..，n，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量，即時(shí)間是離散的。相當(dāng)于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程的采樣。

**2按樣本函數(shù)的形式來(lái)分類(lèi)

不確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)的值不能被預(yù)測(cè)。例如接收機(jī)噪聲電壓波形。

確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)的值能被預(yù)測(cè)。例如，樣本函數(shù)為正弦信號(hào)。

3按概率分布的特性來(lái)分類(lèi)**三隨機(jī)過(guò)程的概率分布

1一維概率分布

隨機(jī)過(guò)程X(t)在任意tiT的取值X(t1)是一維隨機(jī)變量。概率P{X(t)≤x1}是取值x1，時(shí)刻t1的函數(shù)，記為Fx(x1；t1)=P{X(t1)≤x1}，稱(chēng)作隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布函數(shù)。

若的偏導(dǎo)數(shù)存在，則有**2二維概率分布

FX(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}

為了描述S.P在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2的狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系,可以引入二維隨機(jī)變量[X(t1),X(t2)]的分布函數(shù)FX(x1,x2;t1,t2)，它是二隨機(jī)事件{X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同時(shí)出現(xiàn)的概率，即稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維分布函數(shù)。

若FX(x1,x2;t1,t2)對(duì)x1，x2的二階混合偏導(dǎo)存在，則為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率密度**3

n維概率分布

隨機(jī)過(guò)程

在任意n個(gè)時(shí)刻

的取值

構(gòu)成n維隨機(jī)變量即為n維空間的隨機(jī)矢量X。類(lèi)似的，可以定義隨機(jī)過(guò)程的n維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)為**性質(zhì)：

123456若統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有

**四

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

隨機(jī)變量的數(shù)字特征通常是確定值；隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)。

對(duì)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征的計(jì)算方法，是先把時(shí)間t固定，然后用隨機(jī)變量的分析方法來(lái)計(jì)算。

**1數(shù)學(xué)期望

顯然，

是某一個(gè)平均函數(shù)，隨機(jī)過(guò)程的諸樣本在它的附近起伏變化，如圖所示：

物理意義：如果隨機(jī)過(guò)程表示接收機(jī)的輸出電壓，那么它的數(shù)學(xué)期望就是輸出電壓的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)平均值。

**2均方值和方差

隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)刻t的取值是一個(gè)隨機(jī)變量。我們把二階原點(diǎn)矩稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的均方值，把二階中心矩記作隨機(jī)過(guò)程的方差。即：

且**

物理意義：如果表示噪聲電壓，則均方值和方差分別表示消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率統(tǒng)計(jì)平均值和瞬時(shí)交流功率統(tǒng)計(jì)平均值。

標(biāo)準(zhǔn)差或均方差：

**3自相關(guān)函數(shù)

先比較具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

**

自相關(guān)函數(shù)用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用描述。

**4自協(xié)方差函數(shù)

若用隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻之間的二階混合中心矩來(lái)定義相關(guān)函數(shù)，我們稱(chēng)之為自協(xié)方差。用表示，它反映了任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間相關(guān)程度。

**比較自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

))]()())(()([(),(111121tmtXtmtXEttKXXX--=比較自協(xié)方差和方差的關(guān)系令則**例：求隨機(jī)相應(yīng)止弦波的數(shù)字期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，為常數(shù)，是區(qū)間[0，]上均勻分布的隨機(jī)變量。解：由題可知：（1）＝同理**（2）＝＝＝可知

**（3）＝＝＝**五

隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)1一維特征函數(shù)

隨機(jī)過(guò)程在任一特定時(shí)刻t的取值是一維隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為:其反變換為：

n階矩**2二維特征函數(shù)

其反變換為：

**3n維特征函數(shù)

**1.2連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的微分和積分

一隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性

1預(yù)備知識(shí)：對(duì)于確定性函數(shù)，若則在處連續(xù)。**2隨機(jī)過(guò)程連續(xù)性定義

如果隨機(jī)過(guò)程

滿(mǎn)足

則稱(chēng)

依均方收斂意義下在t點(diǎn)連續(xù)，簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程

在t點(diǎn)均方連續(xù)。**3隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則連續(xù)

因此，如果對(duì)

時(shí)刻，函數(shù)

在點(diǎn)上連續(xù)，則隨機(jī)過(guò)程

必在點(diǎn)t上連續(xù)。

**4隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù)

證：

由均方連續(xù)的定義，，則不等式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于0（均值的平方不可能小于0）

設(shè)**即：

注意為確定性函數(shù)，由預(yù)備知識(shí)，可知連續(xù)。

可將此結(jié)果寫(xiě)成**二隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)

預(yù)備知識(shí)：對(duì)于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的可導(dǎo)定義如下：

一階可導(dǎo)：

如果存在，則在t處可導(dǎo)，記為。

**二階可導(dǎo)：

存在，則二階可導(dǎo)，記為

若**1隨機(jī)過(guò)程可導(dǎo)的定義

如果隨機(jī)過(guò)程

滿(mǎn)足

則稱(chēng)

在t時(shí)刻具有均方倒數(shù)，表示為

**2判別方法

判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否均方可微的方法是采用柯西準(zhǔn)則,即

而**若時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)則=

可見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程X(t)在t處均可微的充分條件為：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在**3數(shù)字特征

（1）隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)

證明：

**（2）隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)

證明：

**三隨機(jī)過(guò)程的積分

1預(yù)備知識(shí)

對(duì)于確定性函數(shù)，其中，**2隨機(jī)過(guò)程積分的定義

隨機(jī)過(guò)程在確定區(qū)間上的積分Y是一個(gè)隨機(jī)變量，即若有則稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程在上的積均方積分可以推廣到帶有“權(quán)函數(shù)”的隨機(jī)過(guò)程的積分**3數(shù)字特征

（1）隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望的積分。

證明：**（2）隨機(jī)過(guò)程積分的均方值和方差

隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；其方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二重積分。

****(3)隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù)：等于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)t1,后對(duì)t2積分）

**1.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其遍歷性

一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(1)定義

如果對(duì)于任意的n和，隨機(jī)過(guò)程X(t)的N維概率密度滿(mǎn)足：則稱(chēng)X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)（或狹義）隨機(jī)過(guò)程。**(2)一、二維概率密度及數(shù)學(xué)特征嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)**嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度只與t1,

t2的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)**(3)嚴(yán)平穩(wěn)的判斷

按照嚴(yán)平穩(wěn)的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過(guò)，如果有一個(gè)反例，就可以判斷某隨機(jī)過(guò)程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法有兩個(gè)：(1)若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則與時(shí)間t無(wú)關(guān)。

(2)若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對(duì)于任一時(shí)刻t0，X(t0)具有相同的統(tǒng)計(jì)特性。**2寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程X(t)滿(mǎn)足則稱(chēng)X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的均方值有界，則此過(guò)程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對(duì)于正態(tài)過(guò)程，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。**二平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)

性質(zhì)1平均功率性質(zhì)2偶對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)3極值性證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負(fù)值，即對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程X(t)，有代入前式，可得于是同理**對(duì)周期性平穩(wěn)過(guò)程X(t)=X(t+T)，T為周期，有。

性質(zhì)4

證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到性質(zhì)5

若平穩(wěn)過(guò)程含有一個(gè)周期分量，則含有同一個(gè)周期分量。

**若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)不含有任何周期分量，則性質(zhì)6

對(duì)于此類(lèi)非周期的平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)增大時(shí)，隨機(jī)變量X(t)與X(t+τ)之間的相關(guān)性會(huì)減弱；在的極限情況下，兩者相互獨(dú)立，故有證：亦即同理，可求得**性質(zhì)7

若平穩(wěn)過(guò)程含有平均分量(均值)，則相關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于,即則。若X(t)是非周期的，由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由此若X(t)是非周期，則有證：且在t=0時(shí),可得**平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必須滿(mǎn)足對(duì)所有均成立。

性質(zhì)8

自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負(fù)，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。注：相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線**平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間此值在[－1，1]之間。表示不相關(guān)，表示完全相關(guān)。表示正相關(guān)，表明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號(hào)相同可能性大。

相關(guān)系數(shù)**相關(guān)時(shí)間

當(dāng)相關(guān)系數(shù)中的時(shí)間間隔大于某個(gè)值，可以認(rèn)為兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值不相關(guān)了，這個(gè)時(shí)間就稱(chēng)為相關(guān)時(shí)間。

通常把相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于0.05的時(shí)間間隔，記做相關(guān)時(shí)間,即:時(shí)的時(shí)間間隔為相關(guān)時(shí)間。

有時(shí)我們用鉅形（高為,底為的矩形）面積等于陰影面積(積分的一半）來(lái)定義相關(guān)時(shí)間，即物理意義相關(guān)時(shí)間越小，就意味著相關(guān)系數(shù)隨增加而降落的越快，這表明隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化越劇烈。反之，越大，則表時(shí)隨機(jī)過(guò)程隨時(shí)間變化越慢。

**例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為

RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100

求X(t)的均值、均方值和方差。

RX(t)=（100cos10t）+（100e-10|t|+100）

=RX1(t)+RX2(t)式中，RX1(t)=100cos10t是X(t)中周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值mx1=0;RX2(t)=100e-10|t|+100是X(t)的非周期分量的自相關(guān)，由性質(zhì)6，可得所以有解：**三遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性

1遍歷性過(guò)程的定義

如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t),它的各種時(shí)間平均（時(shí)間足夠長(zhǎng)）依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均,則稱(chēng)X(t)具有嚴(yán)格遍歷性,并稱(chēng)它為嚴(yán)遍歷過(guò)程。

嚴(yán)遍歷性的定義

寬遍歷性的定義

設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,如果其均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性,則稱(chēng)X(t)為寬(或廣義)遍歷過(guò)程,或簡(jiǎn)稱(chēng)遍歷過(guò)程。**定義果它依概率1收斂于集合均值，即則稱(chēng)X(t)均值具有遍歷性。定義時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為則稱(chēng)X(t)自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。如果它依概率1收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，即為時(shí)間均值，如**2遍歷過(guò)程的實(shí)際應(yīng)用

一般隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均是隨機(jī)變量，但遍歷過(guò)程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作中，時(shí)間T不可能無(wú)限長(zhǎng)，只要足夠長(zhǎng)即可。

3遍歷過(guò)程和平穩(wěn)過(guò)程的關(guān)系

遍歷過(guò)程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過(guò)程不一定是遍歷的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）**4遍歷過(guò)程的兩個(gè)判別定理

均值遍歷判別定理

平穩(wěn)過(guò)程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件

自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理

式中：**證：原命題等價(jià)于：

=**設(shè)則**于是從而命題得證。**對(duì)于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則可以證明此過(guò)程具有遍歷性的一個(gè)充分條件為注意：判斷一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是否遍歷的，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否滿(mǎn)足定義要求（即時(shí)間平均以概率1等于統(tǒng)計(jì)平均），一般不用兩個(gè)判別定理。

5.**例：設(shè),式中a，為常數(shù)，是在上均勻分布的隨機(jī)變量。試問(wèn)：X(t)是否平穩(wěn)？是否遍歷？故X(t)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。解：**故X(t)也是寬遍歷隨機(jī)過(guò)程。**1.4隨機(jī)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和,它們的概率密度分別為定義這兩個(gè)過(guò)程的(n+m)維聯(lián)合分布函數(shù)為：**定義這兩個(gè)過(guò)程的(n+m)維聯(lián)合概率密度為：1）若兩個(gè)過(guò)程的n+m維聯(lián)合概率分布給定，則它們的全部統(tǒng)計(jì)特性也確定了。注2）可以由高維聯(lián)合分布求出它們的低維聯(lián)合概率分布。3）若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間平移而變化，即與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此二過(guò)程為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)相依。**

設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和，它們?cè)谌我鈨蓚€(gè)時(shí)刻t1，t2的取值為隨機(jī)變量、,則定義它們的互相關(guān)函數(shù)為：二兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)式中，

是隨機(jī)過(guò)程和的二維聯(lián)合概率密度。1定義**隨機(jī)過(guò)程和的中心互相關(guān)函數(shù)定義為：式中，和分別是隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望。此式也可以寫(xiě)成**2統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交的概念

1）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立若或

則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程和相互獨(dú)立。**2）不相關(guān)

若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2都具有或，3）正交則稱(chēng)和不相關(guān)。若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2都具有或，則稱(chēng)和互為正交過(guò)程。**(1)如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程相互獨(dú)立，且他們的二階矩都存在，則必互不相關(guān)。

(2)正態(tài)過(guò)程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)。推論

**三聯(lián)合寬平穩(wěn)和聯(lián)合寬遍歷（1）聯(lián)合寬平穩(wěn)定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和，如果：

和分別寬平穩(wěn)

互相關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間差的函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)即則稱(chēng)和為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依。1定義**（2）聯(lián)合寬遍歷定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和，如果：

和聯(lián)合寬平穩(wěn)

定義它們的時(shí)間互相關(guān)函數(shù)為：若依概率1收斂于互相關(guān)函數(shù)則稱(chēng)和具有聯(lián)合寬遍歷性。即**（3）互協(xié)方差與互相關(guān)系數(shù)當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，它們的互協(xié)方差互相關(guān)系數(shù)又稱(chēng)作歸一化互樣關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)。注：。當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量和互不相關(guān)。**2聯(lián)合寬平穩(wěn)的性質(zhì)

(1)證明：按定義即可證明，說(shuō)明互相關(guān)函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的影像關(guān)系**(2)證明：由于，為任意實(shí)數(shù)展開(kāi)得：這是關(guān)于的二階方程。注意,要使上式恒成立，即方程無(wú)解或只有同根，則方程的系數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足,則有所以，

同理，**(3)證明：由性質(zhì)(2)，得注意到因此，（任何正數(shù)的幾何平均小于算術(shù)平均）**設(shè)兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程試問(wèn)：X(t)和Y(t)是否平穩(wěn)相依？是否正交、不相關(guān)、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為：故這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)相依的。例故KXY(t1,t2)僅在時(shí)等于零，此時(shí)X(t1)和Y(t2)是相關(guān)的，因而它們不是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。解：**四復(fù)隨機(jī)過(guò)程

復(fù)隨機(jī)變量1定義2分布函數(shù)即由X,Y的聯(lián)合概率分布描述。

我們把復(fù)隨機(jī)變量Z定義為Z=X+jy，式中,X和Y為實(shí)隨機(jī)變量。**3數(shù)字特征(1)數(shù)學(xué)期望(2)方差其中注：ⅰ)復(fù)隨機(jī)過(guò)程的方差等于它的實(shí)部與虛部的方差之和

ⅱ)復(fù)隨機(jī)過(guò)程的方差為非負(fù)的實(shí)數(shù)。**(3)相關(guān)矩設(shè)Z1、Z2為兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，則(4)互協(xié)方差**4兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的獨(dú)立、不相關(guān)、正交1）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立2）不相關(guān)3）正交**復(fù)隨機(jī)過(guò)程

1定義設(shè)，為實(shí)隨機(jī)過(guò)程，則定義Z(t)=X(t)+jY(t)為復(fù)隨機(jī)過(guò)程。2概率密度函數(shù)Z(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由X(t)和Y(t)的2n維聯(lián)合概率分布完整地描述，其概率密度為：**3數(shù)字特征(1)數(shù)學(xué)期望(2)方差(3)自相關(guān)函數(shù)**

(5)互相關(guān)函數(shù)(6)互協(xié)方差函數(shù)注：ⅰ）若，則Z1，Z2不相關(guān)。ⅱ）若，則Z1，Z2正交。(4)自協(xié)方差函數(shù)**4復(fù)隨機(jī)過(guò)程的寬平穩(wěn)性若復(fù)隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足：穩(wěn)的復(fù)過(guò)程。若兩個(gè)平穩(wěn)的復(fù)過(guò)程X(t)和Y(t)滿(mǎn)足,則稱(chēng)X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn)。,則稱(chēng)Z(t)為寬平求復(fù)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征時(shí)要注意，其均值為復(fù)數(shù)，方差等二階矩為非負(fù)實(shí)數(shù)，因此，求其二階矩時(shí)（包括方差，相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差）采用一個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程與其共軛相乘，再求數(shù)學(xué)期望的方法，其它性質(zhì)和特性與實(shí)隨機(jī)過(guò)程類(lèi)似。小結(jié)**1.5正態(tài)隨機(jī)過(guò)程一正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的一般概念

1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義

如果隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，則稱(chēng)它為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程或高斯隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。**2概率密度函數(shù)

式中,mX是n維向量，K是n維陣，其中：**性質(zhì):

正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)由它的一、二階矩（均值、方差和相關(guān)系數(shù)完全決定）。推論:

若復(fù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程Z(t)的n個(gè)采樣時(shí)刻得到n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，即

其中,Xi、Yi皆為實(shí)隨機(jī)變量。此n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度應(yīng)是2n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。**二平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程

1平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義

若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程滿(mǎn)足下列條件，則它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。

由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的三大條件（均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，均方值有界）可知，那么為確定值，而方差＝必為常數(shù)，顯然，方差為常數(shù)，則理解

也為常數(shù)，物理意義是總平均功率等于交流平均功率與直流平均功率之和。**2平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程的n維概率密度

平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程一、二維概率密度表達(dá)式

**平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程n維概率密度表達(dá)式：

式中，R是相關(guān)系數(shù)rik構(gòu)成的行列式，具有下列形式Rik為行列式中元素rik的代表余子式。**3平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程的n維特征函數(shù)

式中，為隨機(jī)變量Xk、Xi的協(xié)方差特別：一維和二維特征函數(shù)

函數(shù)。n維特征函數(shù)：**三正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)

正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度完全由它的均值集合，協(xié)方差函數(shù)集合所確定。性質(zhì)1：性質(zhì)2：正態(tài)過(guò)程的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。1）由正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的概率密度表達(dá)式可知，它的任意n維概率密度僅由均值,方差和相關(guān)系數(shù)唯一確定。如果正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)寬平穩(wěn)，則其均值和方差是常數(shù)，相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，因此它的任意n維概率密度函數(shù)僅與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，由嚴(yán)平穩(wěn)定義得證。2）由于正態(tài)過(guò)程的均方值總是有界的，因此嚴(yán)平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程一定是寬平穩(wěn)的。證明：**正態(tài)過(guò)程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)。性質(zhì)3：若X(t)在n個(gè)不同時(shí)刻采樣得到一組隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn證明：（1）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間相互獨(dú)立，則（2）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間互不相關(guān)，則當(dāng)時(shí)。所以，兩兩互不相關(guān)。**即兩兩相互獨(dú)立。

因此所以則

**性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程與確定信號(hào)之和仍為正態(tài)分布。

設(shè)X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程，S(t)為確定性信號(hào)，Y(t)=X(t)+s(t)那么，對(duì)于任意時(shí)刻t，Y(t)=X(t)+s(t)為隨機(jī)變量，這時(shí)，s(t)具有確定值，由隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度求法，Y(t)的一維概率密度函數(shù)為：

證明：因?yàn)闉檎龖B(tài)分布，所以顯然是正態(tài)分布。同理，Y(t)的二維概率密度為：正態(tài)分布。同理，可證明合成信號(hào)的n維概率密度也是正態(tài)過(guò)程。

**性質(zhì)5：

n維正態(tài)隨機(jī)矢量序列的均方極限仍為n維正態(tài)隨機(jī)矢量，即設(shè)為n維實(shí)正態(tài)隨機(jī)變量，又，即對(duì)于每個(gè)1,2,…,n均有，則X=（X1,X2,…Xn）為n維正態(tài)隨機(jī)矢量。**若正態(tài)過(guò)程X(t)在T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù)X(t)也是正態(tài)過(guò)程。性質(zhì)6：

若正態(tài)過(guò)程X(t)在T上均方可積，則積分過(guò)程性質(zhì)7：

也是正態(tài)過(guò)程。正態(tài)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過(guò)程。

性質(zhì)8：

推論：正態(tài)過(guò)程的線性變換仍為正態(tài)過(guò)程。

**1.6馬爾可夫過(guò)程1.6.1馬爾可夫過(guò)程的概念

當(dāng)已知隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻所處的狀態(tài)的條件下，過(guò)程在時(shí)刻所處的狀態(tài)與過(guò)程在時(shí)刻以前的狀態(tài)無(wú)關(guān)，而僅與過(guò)程在所處的狀態(tài)有關(guān)，則稱(chēng)該過(guò)程為馬爾可夫過(guò)程。這種特性稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的“無(wú)后效性”或馬爾可夫性。分為四類(lèi)：1T和E都取連續(xù)集時(shí)，稱(chēng)為馬爾可夫過(guò)程。2若T取連續(xù)集而E取離散集時(shí)，稱(chēng)為可列馬爾可夫過(guò)程。3若T取離散集而E取連續(xù)集時(shí)，稱(chēng)為馬爾可夫序列。4若T和E都取離散集時(shí)，稱(chēng)為馬爾可夫鏈。狀態(tài)可列的馬爾可夫鏈稱(chēng)為可列馬爾可夫鏈；狀態(tài)有限的馬爾可夫鏈稱(chēng)為有限馬爾可夫鏈。**1.6.2馬爾可夫序列一、馬爾可夫序列的定義

設(shè)表示隨機(jī)過(guò)程在為整數(shù)時(shí)刻的取樣的隨機(jī)序列，記為（簡(jiǎn)記為或），則可按以下方式定義馬爾可夫序列。定義33：若對(duì)于任意的n，有

則稱(chēng)此為馬爾可夫序列。這一概率密度函數(shù)稱(chēng)為轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)?？梢酝瞥?/p>

即聯(lián)合概率密度函數(shù)可由轉(zhuǎn)移概率密度和起始時(shí)刻的一維概率密度來(lái)確定。

**二、馬爾可夫序列的性質(zhì)一個(gè)馬爾可夫序列的子序列仍為馬爾可夫序列。證：對(duì)于馬爾可夫序列設(shè)子序列則有所以子序列也是馬爾可夫序列。**（2）一個(gè)馬爾可夫序列按其相反方向組成的逆序列仍為馬爾可夫序列。即對(duì)于任意的整數(shù)n和k,有證：因?yàn)橥砀鶕?jù)條件概率定義和以上兩式有所以**（3），有(3)證：所以若對(duì)于序列，則稱(chēng)此序列為“鞅”。**（4）若，并在給定條件下，隨機(jī)變量與是獨(dú)立的，則有證：因?yàn)樗栽Y(jié)論成立。證畢**（5）若對(duì)于任意，序列滿(mǎn)足則該序列為2重馬爾可夫序列。此概念可推廣到對(duì)于多個(gè)序列有重馬爾可夫序列。**（6）如果條件概率密度與（7）如果一個(gè)馬爾可夫序列是齊次的，并且所有的隨機(jī)變量具有相同的概率密度，則稱(chēng)該馬爾可夫序列是平穩(wěn)的。馬爾可夫序列的轉(zhuǎn)移概率滿(mǎn)足此式就是有名的切普曼—柯?tīng)柲缏宸蚍匠蹋–-K方程）。無(wú)關(guān)，則稱(chēng)該馬爾可夫序列（8）對(duì)于是齊次的。**1.6.3馬爾可夫鏈一、馬爾可夫鏈的定義為一隨機(jī)序列，其狀態(tài)空間，若對(duì)于任意的，滿(mǎn)足

則稱(chēng)為馬爾可夫鏈（簡(jiǎn)稱(chēng)馬氏鏈）。定義34：設(shè)**二、馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率及性質(zhì)一步轉(zhuǎn)移概率在齊次條件下，令式（1.6.9）中時(shí)，有稱(chēng)為一步轉(zhuǎn)移概率。由所有一步轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)轉(zhuǎn)移概率矩陣。（1）

（2）**2n步轉(zhuǎn)移概率在齊次條件下，令式（1.6.9）中時(shí)，可得到步轉(zhuǎn)移概率可構(gòu)成n步轉(zhuǎn)移概率矩陣

由所有n步轉(zhuǎn)移概率（1）

（2）

為了數(shù)學(xué)處理便利，通常規(guī)定

**3．切普曼-柯?tīng)柲缏宸蚍匠蹋–-K方程）對(duì)于步轉(zhuǎn)移概率，有如下的切普曼-柯?tīng)柲缏宸蚍匠痰碾x散形式

若用概率矩陣表示，有當(dāng)時(shí)，有同理可推出，當(dāng)時(shí)，有即任意k步轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣自乘k次來(lái)得到。**例1-18在某數(shù)字通信系統(tǒng)中多級(jí)傳輸0、1兩種數(shù)字信號(hào)。由于系統(tǒng)中存在干擾，在任一級(jí)輸入0、1數(shù)字信號(hào)后，其輸出不產(chǎn)生錯(cuò)誤的概率為p，產(chǎn)生錯(cuò)誤的概率為q=1-p，求兩級(jí)傳輸時(shí)的概率轉(zhuǎn)移矩陣。解：系統(tǒng)每一級(jí)的輸入狀態(tài)和輸出狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)兩狀態(tài)的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為于是，兩級(jí)傳輸時(shí)的概率轉(zhuǎn)移矩陣等效于兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣為**4．初始分布與絕對(duì)分布定義35設(shè)為一馬氏鏈，其狀態(tài)空間或?yàn)橛邢拮蛹?。令，且?duì)任意的（1）（2）則稱(chēng)為該馬氏鏈的初始分布，也稱(chēng)初始概率。初始概率是馬氏鏈在初始時(shí)間時(shí)處于狀態(tài)i的概率。當(dāng)時(shí)，馬氏鏈處于狀態(tài)i的概率稱(chēng)為絕對(duì)概率或絕對(duì)分布。均有定義36設(shè)為一馬氏鏈，其狀態(tài)空間或?yàn)橛邢拮蛹Ａ?，且?duì)任意的（1）（2）則稱(chēng)為該馬氏鏈的絕對(duì)分布，也稱(chēng)絕對(duì)概率。均有**定理3馬氏鏈的絕對(duì)概率由初始分布和相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率唯一確定。為一馬氏鏈，為狀態(tài)集，則對(duì)任意時(shí)馬氏鏈處于狀態(tài)的概率為

即:時(shí),絕對(duì)概率由初始概率及一步轉(zhuǎn)移概率唯一確定。時(shí)，絕對(duì)概率由下式確定：即:絕對(duì)概率由初始概率及n步轉(zhuǎn)移概率唯一確定。利用C-K方程，則n步轉(zhuǎn)移矩陣可由一步轉(zhuǎn)移矩陣唯一確定。證：設(shè)當(dāng)**推論：馬氏鏈的絕對(duì)概率由初始分布及一步轉(zhuǎn)移概率唯一確定。

由馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率和初始分布，不僅可以完全確定其絕對(duì)分布，也可以完全確定其有限維分布。即**三、轉(zhuǎn)移圖（狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與概率轉(zhuǎn)移圖）若一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為則相應(yīng)的概率轉(zhuǎn)移圖如圖1-11所示。**四、馬氏鏈中的狀態(tài)分類(lèi)到達(dá)與相通定義37（到達(dá)定義）：如果對(duì)于狀態(tài)與

（可簡(jiǎn)寫(xiě)為i和j)總存在某個(gè)，使得，則稱(chēng)自i狀態(tài)經(jīng)過(guò)n步可以到達(dá)j狀態(tài)，并記為反之，若對(duì)所有的有，則自i狀態(tài)不可以到達(dá)j狀態(tài)，并記為到達(dá)具有傳遞性，即若,,則定義38（相通定義）：若自狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j，同時(shí)自狀態(tài)j也可達(dá)狀態(tài)i，則稱(chēng)狀態(tài)和狀態(tài)相通，記為相通具有以下等價(jià)關(guān)系：（1）若，則,自返性（2）若，則，對(duì)稱(chēng)性（3）若，，則，傳遞性**例1-21設(shè)一兩狀態(tài)馬氏鏈具有以下轉(zhuǎn)移概率矩陣

解：要討論這一馬氏鏈兩個(gè)狀態(tài)的到達(dá)性，可先求出它的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣。由于對(duì)于所有的n,，故狀態(tài)“1”不能到達(dá)狀態(tài)“0”；而存在n使得故狀態(tài)“0”可以到達(dá)狀態(tài)“1”。討論其狀態(tài)的到達(dá)特性。**例1-22無(wú)限制的隨機(jī)游走問(wèn)題?？紤]一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在直線上作隨機(jī)游走．如果在某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于i,則下一步質(zhì)點(diǎn)將以概率向前游走一步到達(dá)i+1處，或以概率向后游走一步到達(dá)i-1處?，F(xiàn)規(guī)定，這一質(zhì)點(diǎn)只能“向前”或“向后”游走一步，并且經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間它必須“向前”或“向后”游走。討論其狀態(tài)的相通性。解：如果以表示n時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，則是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。而且，當(dāng)時(shí)，等在時(shí)刻n后質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài)僅與有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻n以前是如何到達(dá)i的無(wú)關(guān)．故它是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈。狀態(tài)空間，一步轉(zhuǎn)移概率為從而一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為**

下面求n步轉(zhuǎn)移概率

如在n次轉(zhuǎn)移的結(jié)果是從i到j(luò),n次轉(zhuǎn)移中恰好向前游走m次，向后游走k次，則有

聯(lián)立上兩式求解可得根據(jù)概率法則，不難求得n步轉(zhuǎn)移概率為

其中時(shí)，反映了在n，i，j之間存在的一種約束關(guān)系。由于對(duì)于滿(mǎn)足要求的n，i，j，，所以無(wú)限制的隨機(jī)游走中的各個(gè)狀態(tài)是相通的。**2．狀態(tài)的分類(lèi)定義39設(shè)為一馬氏鏈，對(duì)任一狀態(tài)i與j，稱(chēng)為自狀態(tài)i出發(fā)首次進(jìn)入狀態(tài)j的時(shí)刻，或稱(chēng)為自i到j(luò)的首達(dá)時(shí)。是一隨機(jī)變量。另外，

可能永不取值i，這時(shí)我們就規(guī)定

定義40設(shè)為一馬氏鏈，對(duì)任一狀態(tài)i與j，稱(chēng)為自狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)過(guò)n步首次進(jìn)入狀態(tài)j的概率。顯然有

從而

**定義41設(shè)為一馬氏鏈，對(duì)任一狀態(tài)i與j，稱(chēng)為自狀態(tài)i出發(fā)遲早要到達(dá)狀態(tài)j的概率。顯然有**定理4對(duì)任何狀態(tài)，有證明：因?yàn)?/p>

**定義42如果，則稱(chēng)狀態(tài)j是常返的。如果，則稱(chēng)狀態(tài)j是非常返的（或稱(chēng)為瞬時(shí)的）。如果馬爾可夫鏈的任一狀態(tài)都是常返的，則稱(chēng)此鏈為常返馬爾可夫鏈。定理5的充要條件是證明：充分性：若，則根據(jù)到達(dá)的定義，總存在某個(gè)，使所以這樣，至少有一個(gè)為正（不為0），所以必要性：若，則由至少有一個(gè)使，故

表示自狀態(tài)i出發(fā)，在有限步內(nèi)遲早要返回狀態(tài)i的概率，是在0與1之間的一個(gè)數(shù)。**定理6狀態(tài)i是常返（）的充要條件為證明：充分性：因?yàn)橛袃蛇厡?duì)n從1到N求和有

于是有注意到，所以在上式中令時(shí)有現(xiàn)已知，則上式左邊極限為1，于是有狀態(tài)j是常返態(tài)。令**必要性：因?yàn)槿羧?則有于是有如果,則在上式中令時(shí)有再令有由非常返的定義，狀態(tài)j是非常返的，這與必要性的前提假設(shè)矛盾，所以必須有**系：如果狀態(tài)j是非常返的，則必有

設(shè)i是一常返態(tài)，則從i出發(fā)可經(jīng)過(guò)n步首次返回i，在的條件下的分布列為12…nP………由數(shù)學(xué)期望的定義，可得稱(chēng)為狀態(tài)i的平均返回時(shí)間。**定義43設(shè)i是常返態(tài)，如果，則稱(chēng)狀態(tài)i是正常返態(tài)；如果

,則稱(chēng)狀態(tài)i是零常返態(tài)。定理7設(shè)i為常返狀態(tài)，有周期,則系：如果j是常返態(tài)，則（1）j零常返當(dāng)且僅當(dāng)（2）j遍歷當(dāng)且僅當(dāng)定義44對(duì)于狀態(tài)i，若正整數(shù)集合非空，則稱(chēng)該集合的最大公約數(shù)L為狀態(tài)i的周期。若，則稱(chēng)狀態(tài)i是周期的，若，則稱(chēng)狀態(tài)i是非周期的。如果狀態(tài)i是非周期且正常返的，則稱(chēng)狀態(tài)i是遍歷的。**馬氏狀態(tài)分類(lèi)圖**狀態(tài)分類(lèi)判別法：（1）i非常返（2）i零常返且且（4）i遍歷且（3）i正常返**

引理1對(duì)任意i和j，若，則存在正數(shù)、及正整數(shù)l、m，使對(duì)任一正整數(shù)n，有、

定理8若，則（1）i與j同為常返或同為非常返；（2）若i與j常返，則i與j同為正常返或同為零常返；（3）i與j或同為非周期的，或同為周期的且有相同的周期。**3．遍歷性與平穩(wěn)分布定義45：設(shè)齊次馬氏鏈的狀態(tài)空間為E，若對(duì)一切，存在不依賴(lài)于i的極限則稱(chēng)馬爾可夫鏈具有遍歷性。并稱(chēng)為狀態(tài)j的穩(wěn)態(tài)概率。定理9對(duì)于一有限狀態(tài)的馬氏鏈，若存在一正整數(shù)m，使（對(duì)所有的狀態(tài)）則此鏈?zhǔn)潜闅v性的，且是的滿(mǎn)足條件的唯一解。**對(duì)平穩(wěn)分布，有=

一個(gè)非周期，不可約的馬氏鏈?zhǔn)浅７档?，它存在一個(gè)平穩(wěn)分布，即，即平穩(wěn)分布就是極限分布。

遍歷的馬氏鏈一定具有平穩(wěn)性，但平穩(wěn)的馬氏鏈不一定具有遍歷性（不遍歷的馬氏鏈也可具有平穩(wěn)性）。**例1-23設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣試對(duì)該鏈進(jìn)行分類(lèi)，并說(shuō)明其遍歷性。解：根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可畫(huà)出如圖1-12所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。從圖中可知，①和②都是非周期的正常返狀態(tài)，③、④狀態(tài)都是非常返狀態(tài)。由于說(shuō)明存在（i=1,2,3,4）,但與i有關(guān)，所以該鏈不是遍歷的。**五、狀態(tài)空間分解

定義46設(shè)，若從V中任一狀態(tài)出發(fā)不能到達(dá)V外的任一狀態(tài)，則稱(chēng)V為閉集。顯然，對(duì)一切和有

若中僅含有單個(gè)狀態(tài)，則此閉集稱(chēng)為吸收態(tài)。它構(gòu)成了一個(gè)較小的閉集。而整個(gè)空間構(gòu)成一個(gè)較大的閉集。除了整個(gè)狀態(tài)空間外，沒(méi)有別的閉集的馬爾可夫鏈稱(chēng)為不可約的馬爾可夫鏈。此時(shí)整個(gè)空間的所有狀態(tài)皆是相通的。閉集內(nèi)任一狀態(tài)，不論轉(zhuǎn)移多少步，都不能轉(zhuǎn)移到閉集之外的狀態(tài)上去，即隨著時(shí)間的推移，閉集內(nèi)任一狀態(tài)只能在閉集內(nèi)部的狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移。定理10馬爾可夫鏈的所有常返狀態(tài)構(gòu)成的集合是一閉集。**定理11（分解定理）狀態(tài)空間E必可分解為

其中N是全體非常返態(tài)組成的集合，是互不相交的常返態(tài)閉集組成。而且（1）對(duì)每一確定的k,內(nèi)任意兩狀態(tài)相通；（2）與()中的狀態(tài)之間不相通；**例1-25設(shè)齊次馬氏鏈的狀態(tài)空間，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為試對(duì)該空間進(jìn)行分解。**解：根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可畫(huà)出如圖所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。

由圖可知，，而當(dāng)時(shí)，，所以，可見(jiàn)狀態(tài)1為正常返，且周期。含有狀態(tài)1的常返閉集為

同理，因?yàn)?，，在時(shí)，，所以可見(jiàn)狀態(tài)6為正常返，且是非周期的。含有狀態(tài)6的常返閉集為狀態(tài)2，6為遍歷狀態(tài).

由于，在時(shí)，，所以?？梢?jiàn)狀態(tài)4為非常返。故**1.7泊松過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程

設(shè)有一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)任意時(shí)刻，過(guò)程的增量、、是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱(chēng)為獨(dú)立增量過(guò)程，又稱(chēng)為可加過(guò)程。泊松過(guò)程

設(shè)隨機(jī)過(guò)程，，其狀態(tài)只取非負(fù)整數(shù)值，若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：（2）為均勻獨(dú)立增量過(guò)程；（1）

（3）對(duì)任意時(shí)刻，，相應(yīng)的隨機(jī)變量的增量服從數(shù)學(xué)期望為的泊松分布，即對(duì)于k=0,1,2,….,有其中，則稱(chēng)為泊松過(guò)程。**一、泊松過(guò)程的一般概念泊松過(guò)程滿(mǎn)足如下條件：（1）對(duì)于任意時(shí)刻，出現(xiàn)事件次數(shù)是相互獨(dú)立的；（2）對(duì)于充分小的，在內(nèi)出現(xiàn)時(shí)間一次的概率為

其中是在時(shí)關(guān)于的高階無(wú)窮小量；常數(shù)，稱(chēng)為過(guò)程的強(qiáng)度；（3）對(duì)于充分小的，在內(nèi)出現(xiàn)事件兩次及兩次以上的概率為這就是說(shuō)，一個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果能滿(mǎn)足上述三個(gè)條件，則它為泊松過(guò)程。**圖1-14（a）給出了泊松過(guò)程的示意圖。由圖可見(jiàn)，泊松過(guò)程的每一個(gè)樣本函數(shù)都呈階梯形，它在每個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的階躍（即：步長(zhǎng)為“1”）。對(duì)于給定的，等于在時(shí)間間隔隨機(jī)點(diǎn)數(shù)。如果用計(jì)數(shù)器記錄各隨機(jī)時(shí)刻射出的電子數(shù)目，則在時(shí)刻，計(jì)數(shù)器的指示數(shù)即為。處產(chǎn)生單位為“1”內(nèi)的**圖1-14（a）泊松過(guò)程得示意圖；（b）泊松增量；（c）泊松沖激序列**二、泊松過(guò)程的統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的時(shí)刻和，且，式（1.7.1）可改寫(xiě)成先來(lái)討論服從泊松分布的隨機(jī)變量及的數(shù)學(xué)期望，方差和相關(guān)函數(shù)等統(tǒng)計(jì)量。1．?dāng)?shù)學(xué)期望令

，因此，均值為=2.均方值與方差令，故均方值為=**而方差為=3.相關(guān)函數(shù)若

，則時(shí)間間隔和因此，隨機(jī)變量與的數(shù)學(xué)期望等于它們各自數(shù)學(xué)期望之積，即互不交疊（圖1-15(a)），統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，故它們之積

若，則時(shí)間間隔和相重疊（圖1-15b）），因此，上式不再成立。圖1-15時(shí)間位置圖**經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算后，可得式中，就是間隔與我們可推導(dǎo)出泊松過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)。交疊部分的長(zhǎng)度。然后，運(yùn)用上述結(jié)果，令

，可得的數(shù)學(xué)期望為令，可得的相關(guān)函數(shù)為

**若隨機(jī)點(diǎn)具有非均勻密度，我們用代替則前述結(jié)果仍然是成立的。即有，**三、泊松增量

由泊松過(guò)程X(t)在給定的時(shí)間間隔內(nèi)的增量與之比，我們構(gòu)成一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)它為泊松增量。為了確定Y(t)的自相關(guān)函數(shù)，需要分別考慮兩種情況：若，則間隔與是不重疊的

或若，則間隔與相交疊或圖1-16時(shí)間位置圖**對(duì)于，我們也能得到與上式類(lèi)似的結(jié)果。于是圖1-17示出了作為的函數(shù)的圖形。由圖可見(jiàn)，這個(gè)函數(shù)是常數(shù)與面積等于的三角形之和。當(dāng)時(shí)，此三角形趨近于沖擊圖1-17作為的函數(shù)之曲線**四、泊松沖激序列階梯性的泊松過(guò)程X(t)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，便可得到與時(shí)間軸上的隨機(jī)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的沖擊序列Z(t),稱(chēng)此離散隨機(jī)過(guò)程為泊松沖激序列。其表示式為不難看出其中X(t)和Y(t)在前面都已經(jīng)定義過(guò)。這樣Z(t)的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)可分別由式（1.7.23）和式(1.7.24)取的極限求得，即由此可見(jiàn)，泊松沖擊序列是平穩(wěn)的。**五、過(guò)濾的泊松過(guò)程與散粒噪聲

設(shè)有一泊松沖激脈沖序列經(jīng)過(guò)線形時(shí)不變?yōu)V波器，則此濾波器輸出是隨機(jī)過(guò)程X(t)（如圖1-18所示）由圖可見(jiàn)

，圖1-18過(guò)濾的泊松過(guò)程示意圖式中h(t)為濾波器的沖激響應(yīng)；為第i個(gè)沖激脈沖出現(xiàn)的時(shí)間；為在內(nèi)輸入到濾波器的沖激脈沖的個(gè)數(shù)，它服從泊松分布，即，式中為單位時(shí)間內(nèi)的平均脈沖數(shù)。我們稱(chēng)滿(mǎn)足式（1.7.29）的隨機(jī)過(guò)程為過(guò)濾的泊松過(guò)程。（1.7.29）**

經(jīng)分析可知，若在[0,T)內(nèi)輸入到濾波器的沖激脈沖數(shù)N(T)為k，則該k個(gè)沖激脈沖出現(xiàn)的時(shí)間均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且此隨機(jī)變量均勻分布在[0,T)內(nèi)，即

在溫度限制的電子二極管中，由散粒（或散彈）效應(yīng)引起的散粒（或散彈）噪聲電流是過(guò)濾的泊松過(guò)程。在晶體管中有三種類(lèi)型的噪聲：（1）熱噪聲；（2）散粒噪聲；（3）閃爍噪聲（又稱(chēng)噪聲，是一種低頻噪聲）。晶體管的散粒噪聲的機(jī)理與電子管的相類(lèi)似，它們皆為過(guò)濾的泊松過(guò)程。**散粒噪聲X(t)的統(tǒng)計(jì)特性1對(duì)于均勻（即為常數(shù)）的情況，可以證明X(t)是平穩(wěn)的圖1-19相關(guān)函數(shù)和功率譜密度曲線（a）泊松沖激序列Z(t)（b）散粒噪聲X(t)**2．對(duì)于非均勻的情況，即隨機(jī)點(diǎn)密度不是常數(shù)，則X(t)的均值與自協(xié)方差函數(shù)分別為式中

**六、電報(bào)信號(hào)

在隨機(jī)密度為常數(shù)的均勻情況下，我們要研究下述泊松過(guò)程的另外兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例的統(tǒng)計(jì)特性。1.半隨機(jī)電報(bào)信號(hào)半隨機(jī)電報(bào)信號(hào)為X(t)只取+1或-1的隨機(jī)過(guò)程，圖1-21給出了X(t)的一條樣本函數(shù)曲線。若在時(shí)間間隔(0,t)內(nèi)，變號(hào)時(shí)刻點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)（或0），則；若為奇數(shù)，則。

圖1-21半隨機(jī)電報(bào)信號(hào)X(t)的樣本函數(shù)X(t)的均值為

自相關(guān)函數(shù)為功率譜密度為

**2.隨機(jī)電報(bào)信號(hào)給定一個(gè)隨機(jī)變量，它以等概率取+1或-1值，即因此，

我們假定上述的隨機(jī)過(guò)程X(t)與隨機(jī)變量A統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，即：對(duì)于每個(gè)t，隨機(jī)變量X(t)與隨機(jī)變量A是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的?，F(xiàn)在，我們構(gòu)成一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)Y(t)為隨機(jī)電報(bào)信號(hào).Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)分別為**第2章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析

本章要解決的問(wèn)題

隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法?

傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？

相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系

功率譜的應(yīng)用

采樣定理

白噪聲的定義**2.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析

一預(yù)備知識(shí)1付氏變換設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t)

滿(mǎn)足

在范圍內(nèi)滿(mǎn)足狄利赫利條件

絕對(duì)可積，即

信號(hào)的總能量有限，即有限個(gè)極值有限個(gè)斷點(diǎn)斷點(diǎn)為有限值**則的傅里葉變換為：

其反變換為：

稱(chēng)為的頻譜密度，也簡(jiǎn)稱(chēng)為頻譜。包含：振幅譜相位譜**2帕塞瓦等式即能量譜密度**二隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

應(yīng)用截取函數(shù)

**當(dāng)x(t)為有限值時(shí)，的傅里葉變換存在

應(yīng)用帕塞瓦等式

除以2T取集合平均**令，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序

功率Q

非負(fù)存在（1）Q為確定性值，不是隨機(jī)變量（2）為確定性實(shí)函數(shù)。注意：**兩個(gè)結(jié)論：

1表示時(shí)間平均

若平穩(wěn)2**功率譜密度：描述了隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率在各個(gè)不同頻率上的分布——

稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度。

對(duì)在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有：

**例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中皆是實(shí)常數(shù)，是服從上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程的平均功率。

解：不是寬平穩(wěn)的****功率譜密度和復(fù)頻率面

（只是記號(hào)相同，函數(shù)形式不同）例：**三功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系

確定信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。

1維納—辛欽定理

若隨機(jī)過(guò)程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：**2.證明：

**設(shè)則所以：**則

(注意，且，。因此，通常情況下，第二項(xiàng)為0)

**推論：對(duì)于一般的隨機(jī)過(guò)程X(t)，有：

平均功率為：

利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納—辛欽定理表示成：

**3．單邊功率譜

由于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程x(t)的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。

**例：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為，A>0，，求過(guò)程的功率譜密度。

解：應(yīng)將積分按＋和－分成兩部分進(jìn)行

**例：設(shè)為隨機(jī)相位隨機(jī)過(guò)程其中，為實(shí)常數(shù)為隨機(jī)相位，在均勻分布?？梢酝茖?dǎo)出這個(gè)過(guò)程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)為求的功率譜密度。**解：注意此時(shí)不是有限值，即不可積，因此的付氏變換不存在，需要引入函數(shù)。**例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中皆為常數(shù)，為具有功率譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。求過(guò)程的功率譜密度。

解：

**四平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)

一功率譜密度的性質(zhì)

1功率譜密度為非負(fù)的,即

證明：2功率譜密度是的實(shí)函數(shù)

**3

對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是的偶函數(shù)，即證明：是實(shí)函數(shù)又**4

功率譜密度可積，即

證明：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有：

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值有限**二譜分解定理

1譜分解

在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中有一大類(lèi)過(guò)程，它們的功率譜密度為的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度都滿(mǎn)足這一條件。即使不滿(mǎn)足，也常常可以用有理函數(shù)來(lái)逼近。這時(shí)可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即

**

若用復(fù)頻率s來(lái)表示功率譜密度，那么，對(duì)于一個(gè)有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式：

**

據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)：（1）

為實(shí)數(shù)。

（2）

的所有虛部不為0的零點(diǎn)和極點(diǎn)都成復(fù)共軛出現(xiàn)。

（3）的所有零、極點(diǎn)皆為偶重的。

（4）M＜N。

**2譜分解定理

根據(jù)上面的性質(zhì)，可將

分解成兩項(xiàng)之積，即：

其中（零極點(diǎn)在s上半平面）（零極點(diǎn)在s下半平面）且譜分解定理

此時(shí)**3為有理函數(shù)時(shí)的均方值求法（1）利用

（2）直接利用積分公式

（3）查表法（4）留數(shù)法**預(yù)備知識(shí)：留數(shù)定理

設(shè)為復(fù)變量s的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線C反時(shí)針?lè)较蛏虾颓€C內(nèi)部只有幾個(gè)極點(diǎn)

則：

一階留數(shù)

二階留數(shù)

**

上式積分路徑是沿著軸，應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，要求積分沿著一個(gè)閉合圍線進(jìn)行。為此，考慮沿著左半平面上的一個(gè)半徑為無(wú)窮大的半園積分。根據(jù)留數(shù)定理，不難得出**例:

考慮一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，具有功率譜密度

求過(guò)程的均方值解:用復(fù)頻率的方法來(lái)求解。用代入上式得用復(fù)頻率s表示得功率譜密度：**因式分解：

在左半平面內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：-1和-3。于是可以分別計(jì)算這兩個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)為：

故：**2.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度一、互譜密度

考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個(gè)截取函數(shù)、為：**

因?yàn)?、都滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍(-T，T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率為:（注意、為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均）

由于、的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即:**

注意到上式中，和是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令得：

**

定義互功率譜密度為：則**同理，有：且**二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

F互相關(guān)函數(shù)互譜密度

F

定義：對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為

即**若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過(guò)程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。**三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：證明：

＝

（令）**性質(zhì)2：

證明：

（令）

同理可證**性質(zhì)3：

證明：類(lèi)似性質(zhì)2證明。性質(zhì)4：

若X(t)與Y(t)正交，則有

證明：若X(t)與Y(t)正交，則所以**性質(zhì)5：

若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和，則

證明：

因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）**性質(zhì)6：

例：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為:

求互譜密度，。**解：

**2.3離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度一離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度1平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)

設(shè)X(n)為廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，或簡(jiǎn)稱(chēng)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為:簡(jiǎn)寫(xiě)為：

**2平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

當(dāng)滿(mǎn)足條件式時(shí)，我們定義的功率譜密度為的離散傅里葉變換，并記為

T是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。

是頻率為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為

奈奎斯特頻率

**因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)，周期為，

在時(shí)**3譜分解①z變換定義

在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為的z變換，并記為，即

式中式中，D為在的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。**②性質(zhì)

（因?yàn)椋圩V分解定理

設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過(guò)程，具有有理功率譜密度函數(shù)。則可分解為：

其中包含了單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)包含了單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)**例：設(shè)，求和解：將z=代人上式，即可求得**連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)

FTDFT

**連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)離散時(shí)間確知信號(hào)采樣香農(nóng)采樣定理**連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

采樣**其中，T為采樣周期，為在時(shí)對(duì)的采樣。1確知信號(hào)的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)

設(shè)為一確知、連續(xù)、限帶、實(shí)信號(hào)，其頻帶范圍，當(dāng)采樣周期T小于或等于時(shí)，可將展開(kāi)為二平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理**連續(xù)時(shí)間確