《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第41課 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)

第41課常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)課題常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．掌握常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念，及其應(yīng)用2．理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)思政育人目標(biāo)：通過講解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：級數(shù)的基本性質(zhì)、收斂的必要條件、幾何級數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：判斷級數(shù)的斂散性教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→趣味閱讀（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測驗(yàn)（10min）→互助指導(dǎo)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）什么是常數(shù)項(xiàng)級數(shù)？（2）常數(shù)項(xiàng)級數(shù)有何作用？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況趣味閱讀（10min）【教師】講述《馮·諾依曼與蜜蜂問題》，導(dǎo)入無窮級數(shù)的概念【學(xué)生】理解無窮級數(shù)的概念通過趣味閱讀，引導(dǎo)學(xué)生理解無窮級數(shù)的概念講授新課（33min）【教師】通過具體問題推導(dǎo)出常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念，并通過例題介紹其應(yīng)用舉一個具體例子：在計(jì)算半徑為的圓面積時，可先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為，則就是圓面積的一個粗略的近似值，如圖8-1所示．圖8-1如果再以這正六邊形的每一邊為底邊，在弓形內(nèi)作頂點(diǎn)在圓上的六個等腰三角形（是其中之一），得圓內(nèi)接正十二邊形．設(shè)這六個新增的等腰三角形的面積之和為，則圓內(nèi)接正十二邊形的面積為，它也是圓面積的一個近似值，其近似程度要比前一個好．同樣地，再增加十二個等腰三角形，得圓內(nèi)接二十四邊形，設(shè)這十二個等腰三角形的面積為，則圓內(nèi)接二十四邊形的面積為，它仍是圓面積的一個近似值，其程度當(dāng)然比前面的近似值都要好．如此繼續(xù)進(jìn)行次，這個圓的面積就十分地近似等于圓內(nèi)接正邊形的面積：．越大，則近似程度越好．當(dāng)時，和的極限，就是這個圓的面積，也就是說，圓面積是無窮多個數(shù)累加的和，即．把上面的具體問題抽象以后，就得到無窮級數(shù)的一般概念．定義1給定一個數(shù)列，則由這個數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式其中第n項(xiàng)稱為級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)．各項(xiàng)都是常數(shù)的級數(shù)稱為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)．作級數(shù)的前n項(xiàng)和

，稱為級數(shù)的部分和．定義2若級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱無窮級數(shù)收斂，這時極限稱為該級數(shù)的和，并寫成．若數(shù)列沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散．當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和是級數(shù)的和s的近似值，它們之間的差值稱為級數(shù)的余項(xiàng)．例1討論等比級數(shù)（例1的斂散性，其中，為級數(shù)的公比．解若，則部分和．當(dāng)時，因?yàn)?，所以此時級數(shù)收斂，其和為．當(dāng)時，因?yàn)?，所以此時級數(shù)發(fā)散．若，當(dāng)時，，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)成為，隨著為奇數(shù)或偶數(shù)而等于或零，所以的極限不存在，級數(shù)也發(fā)散．綜上所述，若，則級數(shù)收斂，其和為；若，則級數(shù)發(fā)散．（例2～例5詳見教材）【學(xué)生】理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念，并掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的4個基本性質(zhì)，并通過例題介紹其應(yīng)用根據(jù)級數(shù)斂散性的概念，可以得到常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的幾個基本性質(zhì)．性質(zhì)1若級數(shù)收斂于和s，則級數(shù)也收斂，且其和為ks．性質(zhì)2若級數(shù)，分別收斂于s，，則級數(shù)收斂于．例6判斷級數(shù)的斂散性．例6解由幾何級數(shù)的斂散性可知，級數(shù)與均收斂，因此根據(jù)性質(zhì)2可知，級數(shù)也收斂．性質(zhì)3在級數(shù)中添加、去掉或改變有限項(xiàng)，不會改變級數(shù)的斂散性．但對于收斂級數(shù)，其和一般要改變．性質(zhì)4（級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)收斂，則．因?yàn)槭羌墧?shù)收斂的必要條件，所以有以下推論．推論若級數(shù)的通項(xiàng)不趨于零，即，則級數(shù)一定發(fā)散．例7判斷級數(shù)的斂散性．例7解因?yàn)?，所以發(fā)散．【學(xué)生】理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)，掌握其應(yīng)用學(xué)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象互助指導(dǎo)（12min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對同學(xué)掌握答題知識，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念，還理解了常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)，并通過例題介紹了所學(xué)知識的具體應(yīng)用，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題8-1總結(jié)知識點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺查看相關(guān)知識鏈接，完成課后任務(wù)延展知識面，多學(xué)科交叉學(xué)習(xí)教學(xué)反思本節(jié)課由于所講知識中重點(diǎn)和難